メトリックマップ

距離空間の数学理論において、距離写像とは、距離を増加させない距離空間間の関数である。これらの写像は、距離空間のカテゴリーMetにおける射である。^{[ 1 ]}このような関数は常に 連続関数である。これらはまた、リプシッツ定数1 のリプシッツ関数、非拡大写像、非拡大写像、弱縮小写像、または短写像とも呼ばれる。

具体的には、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$は距離空間であり、${\displaystyle f}$は関数です${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$したがって、任意の点に対して、距離マップが得られます。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$で${\displaystyle X}$、 $$\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))\leq d_{X}(x,y).\!}$$ ここ$d_X$そして$d_Y$の指標を表す${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$それぞれ。

距離空間を考える${\displaystyle [0,1/2]}$ユークリッド距離を用いて。すると関数は${\displaystyle f(x)=x^{2}}$はメトリックマップです。${\displaystyle x\neq y}$、${\displaystyle |f(x)-f(y)|=|x+y||xy|<|xy|}$この例ではリプシッツ定数は 1 であり、これは計量写像を意味します。

2 つのメトリックマップの関数合成は、別のメトリックマップであり、恒等マップである。${\displaystyle \mathrm {id} _{M}\colon M\rightarrow M}$距離空間において${\displaystyle M}$は距離写像であり、関数合成の単位元でもあります。したがって、距離空間と距離写像は圏Metを形成します。Metは、距離空間とリプシッツ関数の圏の部分圏です。距離空間間の写像が等長写像であるのは、それが全単射の距離写像であり、その逆写像も距離写像である場合に限ります。したがって、Metにおける同型写像は、まさに等長写像です。

マッピング${\displaystyle T\colon X\to {\mathcal {N}}(X)}$距離空間から${\displaystyle X}$空でない部分集合の族へ${\displaystyle X}$が存在する場合、それはリプシッツであると言われる。${\displaystyle L\geq 0}$そのため $${\displaystyle H(Tx,Ty)\leq Ld(x,y),}$$ すべての人々のために${\displaystyle x,y\in X}$、 どこ${\displaystyle H}$はハウスドルフ距離です。${\displaystyle L=1}$、${\displaystyle T}$は非膨張性と呼ばれ、${\displaystyle L<1}$、${\displaystyle T}$これは縮約と呼ばれます。

• 縮約（作用素論）－単位ノルムが小さい有界作用素 
• 縮約マッピング– すべての点間の距離を縮小する関数 
• ストレッチファクター– 埋め込みの数学的パラメータ 
• サブコントラクテーションマップ– すべての点間の距離を短縮する機能リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ