分割八元数

数学において、分割八元数は、実数上の8 次元の非結合代数です。標準八元数とは異なり、分割八元数には非可逆な非ゼロ元が含まれます。また、二次形式の符号も異なります。分割八元数は分割符号 (4,4) を持ちますが、八元数は正定値符号 (8,0) を持ちます。

同型性を除き、八元数と分割八元数は、実数上の唯一の 2 つの 8 次元合成代数です。また、これらは実数上の唯一の 2 つの八元数代数でもあります。分割八元数に類似した分割八元数代数は、任意の体上で定義できます。

八元数と分割八元数は、ケイリー・ディクソン構成から、四元数のペアの乗算を定義することによって得ることができる。新しい虚数単位 ℓ を導入し、四元数のペア( a、b ) をa + ℓ bの形式で書きます。積は次の規則によって定義されます: ^[1]

${\displaystyle (a+\ell b)(c+\ell d)=(ac+\lambda {\bar {d}}b)+\ell (da+b{\bar {c}})}$

どこ

${\displaystyle \lambda =\ell ^{2}.}$

λ を-1 に選択すると、八元数が得られます。代わりに、+1 にすると、分割八元数が得られます。分割四元数のケイリー・ディクソン倍加によって分割八元数を得ることもできます。ここで、 λ (±1)のどちらを選択しても、分割八元数が得られます。

分割八元数の基底は集合 によって与えられます。 ${\displaystyle \{\ 1,\ i,\ j,\ k,\ \ell ,\ \ell i,\ \ell j,\ \ell k\ \}}$

すべての分割八元数は基底要素の 線形結合として表すことができ、${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,\ell +x_{5}\,\ell i+x_{6}\,\ell j+x_{7}\,\ell k,}$

実係数を持つ。 ${\displaystyle x_{a}}$

線形性により、分割八元数の乗算は次の乗算表によって完全に決定されます。

右の図は、分割八元数の掛け算表を表しており、便利な記憶法です。この表は、次のように定義される親八元数 (480 種類あるうちの 1 つ) から派生したものです。

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},\,}$

ここで、はクロネッカーのデルタであり、 は、のときの値を持つレヴィ・チヴィタ記号であり、次のとおりです。 ${\displaystyle \delta_{ij}}$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle ijk=123,154,176,264,257,374,365,}$

${\displaystyle e_{i}e_{0}=e_{0}e_{i}=e_{i};\,\,\,\,e_{0}e_{0}=e_{0},}$

スカラー要素と${\displaystyle e_{0}}$${\displaystyle i,j,k=1...7.}$

赤い矢印は、この掛け算表で分割八元数を作成する親の右下象限を否定することによって課される可能性のある方向反転を示しています。

分割八元数xの共役は次のように与えられる。

${\displaystyle {\bar {x}}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,\ell -x_{5}\,\ell i-x_{6}\,\ell j-x_{7}\,\ell k,}$

八元数の場合も同様です。

xの二次形式は次のように与えられる 。

${\displaystyle N(x)={\bar {x}}x=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}).}$

この二次形式N ( x ) は、 N ( x ) = 0となる非ゼロの分割八元数xが存在するため、等方二次形式です。 Nの場合、分割八元数はR上の 8 次元の擬似ユークリッド空間を形成し、二次形式の符号を示すためにR ^4,4と書かれることもあります。

N ( x ) ≠ 0ならば、 xには（両側）逆数 x ⁻¹があり、これは次のように表される。

${\displaystyle x^{-1}=N(x)^{-1}{\bar {x}}.}$

分割八元数は八元数と同様に非可換かつ非結合的である。また、八元数と同様に、二次形式Nが乗法的であるため、合成代数を形成する。つまり、

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y).}$

分割八元数は、Moufang恒等式を満たすため、代替代数を形成します。したがって、アルティンの定理により、任意の2つの要素によって生成される部分代数は結合的です。すべての可逆要素（つまり、 N ( x ) ≠ 0 となる要素）の集合は、Moufangループを形成します。

分割八元数の自己同型群は 14 次元のリー群であり、例外的な単純リー群G ₂の分割実数形式です。

分割八元数は非結合的であるため、通常の行列では表現できません（行列の乗算は常に結合的です）。Zornは、行列の乗算の修正版を使用して、スカラーとベクトルの両方を含む「行列」として分割八元数を表現する方法を発見しました。^[2]具体的には、ベクトル行列を次の形式の2×2行列として定義します。 ^{[3] [4] [5] [6]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}},}$

ここで、aとbは実数、vとwはR ³のベクトルである。これらの行列の乗算を次の規則で定義する。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a'&\mathbf {v} '\\\mathbf {w } '&b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} '&a\mathbf {v} '+b'\mathbf {v} +\mathbf {w} \times \mathbf {w} '\\a'\mathbf {w} +b\mathbf {w} ' -\mathbf {v} \times \mathbf {v} '&bb'+\mathbf {v} '\cdot \mathbf {w} \end{bmatrix}}}$

ここで、· と × は、3次元ベクトルの通常のドット積とクロス積です。通常どおりに定義された加算とスカラー乗算により、このような行列の集合は、実数上の非結合単位8次元代数を形成し、ゾルンのベクトル行列代数と呼ばれます。

ベクトル行列の 「行列式」を次の規則で定義する。

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}=ab-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }$。

この行列式は、合成規則を満たすツォルン代数上の二次形式です。

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B).\,}$

ツォルンのベクトル行列代数は、実は分割八元数の代数と同型である。八元数を次の形式で 書くと、${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=(a+\mathbf {v} )+\ell (b+\mathbf {w} )}$

ここで、 と は実数であり、vとw はR ³のベクトルとしてみなされる純虚数四元数である。分割八元数からゾルン代数への同型性は次のように与えられる。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle x\mapsto \phi (x)={\begin{bmatrix}a+b&\mathbf {v} +\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +\mathbf {w} &a-b\ end{bmatrix}}.}$

この同型性は 以来ノルムを保存します。 ${\displaystyle N(x)=\det(\phi (x))}$

分割八元数は物理法則の記述に使用されます。例:

• 物理学におけるディラック方程式（電子や陽子などの自由スピン1/2粒子の運動方程式）は、ネイティブの分割八元数演算で表現できます。^[7]
• 超対称量子力学はオクトニオン拡張を持っています。^[8]
• ゾルンベースの分割八元数代数は、局所ゲージ対称SU(3)量子色力学のモデル化に使用できる。^[9]
• 半径が3倍のボールの上を滑らずに転がるボールの問題は、分割八元数を使って記述できるため、例外群G ₂の分割実数形式を対称群として持つ。^[10]

• R. フット & GC ジョシ (1990)「時空、超弦、分割合成代数の非標準シグネチャ」、数理物理学論文集19: 65–71
• ハーヴェイ、F. リース (1990)。スピノルとキャリブレーション。サンディエゴ: アカデミック プレス。ISBN 0-12-329650-1。
• ナッシュ、パトリックL (1990)「分割八元数代数の構造について」、Il Nuovo Cimento B 105(1): 31–41。doi :10.1007/BF02723550
• TA州スプリンガー。 FD フェルドカンプ (2000)。オクタニオン、ジョルダン代数、および例外群。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 3-540-66337-1。