スピアマンの順位相関係数

統計学において、スピアマンの順位相関係数（ρ）は、2つの順位の相関の強さを示す-1から1までの値をとる数値です。これは、データセットの順位が重要な場合、例えばスポーツなどで用いられます。例えば、統計学者が短距離走で上位にランクインしている選手が長距離走でも上位にランクインしているかどうかを知りたい場合、スピアマンの順位相関係数を用います。

この係数はチャールズ・スピアマン^{[ 1 ]}にちなんで名付けられ、しばしばギリシャ文字で表されます。${\displaystyle \rho }$(ロー) または$\displaystyle r_{s}}$これは、順位相関（ 2 つの変数の順位間の統計的依存性）のノンパラメトリックな尺度です。2 つの変数間の関係が単調関数を使用してどの程度うまく記述できるかを評価します。

2つの変数間のスピアマン相関係数は、それらの変数の順位値間のピアソン相関係数と等しくなります。ピアソン相関係数は線形関係を評価するのに対し、スピアマン相関係数は単調関係（線形か否かを問わず）を評価します。重複するデータ値がない場合、各変数が他方の変数の完全な単調関数である場合に、スピアマン相関係数は+1または-1になります。

直感的に言えば、2つの変数間のスピアマン相関係数は、観測値が2つの変数間で類似した（相関係数が1の場合は同一）順位（つまり、変数内での観測値の相対的な位置ラベル：1位、2位、3位など）を持つ場合に高くなり、観測値が2つの変数間で類似していない（相関係数が-1の場合は完全に反対）順位を持つ場合に低くなります。

スピアマンの順位相関係数は、連続変数と離散順序変数の両方に適しています。^{[ 2 ] [ 3 ]}スピアマンの順位相関係数は、連続変数と離散順序変数の両方に適しています。${\displaystyle \rho }$そしてケンドールの$\displaystyle \tau }$より一般的な相関係数の特殊なケースとして定式化することができる。

この係数は、テキスト文書の類似性を判断する場合のように、データがモデルにどれだけ適合するかを判断するために使用できます。 ^{[ 4 ] [ 5 ]}

スピアマン相関係数は、順位変数間のピアソン相関係数として定義される。^{[ 6 ]}

サンプルサイズが${\displaystyle \ n\ ,}$の${\displaystyle \ n\ }$生スコアのペア${\displaystyle \ \left(X_{i},Y_{i}\right)\ }$ランクに変換される${\displaystyle \ \operatorname {R} [X_{i}],\operatorname {R} [Y_{i}]\ ,}$そして${\displaystyle \ r_{s}\ }$は次のように計算されます

${\displaystyle r_{s}=\operatorname {\rho } {\bigl [}\ \operatorname {R} [X],\operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}={\frac {\ \operatorname {cov} {\bigl [}\ \operatorname {R} [X],\operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}\ }{\ \sigma _{\operatorname {R} [X]}\ \sigma _{\operatorname {R} [Y]}\ }},}$

どこ

${\displaystyle \operatorname {\rho } \ }$は従来のピアソン相関係数演算子を表しますが、順位変数に適用されます。

${\displaystyle \operatorname {cov} {\bigl [}\ \operatorname {R} [X],\operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}\ }$はランク変数の共分散であり、

${\displaystyle \sigma _{\operatorname {R} [X]}\ }$そして${\displaystyle \ \sigma _{\operatorname {R} [Y]}\ }$これらは順位変数の標準偏差です。

すべての${\displaystyle \ n\ }$順位は異なる整数（同順位なし）であり、一般的な公式を使用して計算できます。

${\displaystyle r_{s}=1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}\ ,}$

どこ

${\displaystyle d_{i}\equiv \operatorname {R} [X_{i}]-\operatorname {R} [Y_{i}]\ }$各観測値の2つの順位の差は、

${\displaystyle \ n\ }$は観測数です。

同一の値には通常^{[ 7 ]}、値の昇順における位置の平均に等しい小数ランクが割り当てられます。これは、すべての可能な順列の平均を取ることと同じです。

データセットに同順位が存在する場合、上記の簡略化された式は誤った結果をもたらします。両方の変数ですべての順位が異なる場合にのみ、${\displaystyle \ \sigma _{\operatorname {R} [X]}\ \sigma _{\operatorname {R} [Y]}}$${\displaystyle {}=\operatorname {var} {\bigl [}\ \operatorname {R} [X]\ {\bigr ]}}$${\displaystyle =\operatorname {var} {\bigl [}\ \operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}}$${\displaystyle ={\tfrac {\ 1\ }{12}}(n^{2}-1)\ }$（偏りのある分散に基づいて計算されます）。最初の式（標準偏差で正規化する）は、順位が [0, 1] に正規化されている場合（「相対順位」）でも使用できます 。これは、この式が平行移動と線形スケーリングの両方に影響されないためです。

簡略化された方法は、データセットが切り捨てられている場合にも使用すべきではありません。つまり、上位Xレコード (変更前順位、変更後順位、またはその両方による) のスピアマンの相関係数が必要な場合は、上記のピアソン相関係数の式を使用する必要があります。^{[ 8 ]}

観測値のペア間の統計的依存性の程度を定量化する数値指標は他にもいくつかあります。最も一般的なのはピアソン積率相関係数で、これはスピアマンの順位相関係数と同様の相関分析手法であり、数値の順位間ではなく、数値同士の「線形」関係を測定します。

スピアマン順位相関の別名は「グレード相関」です。^{[ 9 ]}この場合、観測値の「順位」は「グレード」に置き換えられます。連続分布では、慣例として、観測値のグレードは常に順位の半分以下であるため、この場合、グレード相関と順位相関は同じになります。より一般的には、観測値の「グレード」は、与えられた値より小さい母集団の割合の推定値に比例し、観測値では観測値の半分が調整されます。したがって、これは同順位の処理方法の 1 つに対応します。「グレード相関」という用語は一般的ではありませんが、現在でも使用されています。^{[ 10 ]}

正および負のスピアマン順位相関係数

スピアマン相関係数が正であることは、XとYの間に単調増加傾向があることを示しています。

負のスピアマン相関係数は、 XとYの間に単調減少傾向があることを示します。

スピアマン相関係数の符号は、 X（独立変数）とY（従属変数） の関連性の方向を示します。Xが増加するとYが増加する傾向がある場合、スピアマン相関係数は正になります。Xが増加するとYが減少する傾向がある場合、スピアマン相関係数は負になります。スピアマン相関係数がゼロの場合、 Xが増加するとYが増加または減少する傾向がないことを示します。スピアマン相関係数は、XとYが互いに完全に単調な関数に近づくにつれて大きくなります。XとYが完全に単調な関係にある場合、スピアマン相関係数は1になります。完全に単調増加の関係は、任意の2組のデータ値X _i、Y _iとX _j、Y _jについて、X _i − X _jとY _i − Y _jが常に同じ符号を持つことを意味します。完全に単調減少の関係は、これらの差が常に反対の符号を持つことを意味します。

スピアマン相関係数はしばしば「ノンパラメトリック」であると表現されます。これには2つの意味があります。まず、XとYが単調関数で関係している場合、完全なスピアマン相関が得られます。これに対し、ピアソン相関は、 XとYが線形関数で関係している場合にのみ完全な値が得られます。スピアマン相関がノンパラメトリックであるもう1つの意味は、 XとYの同時確率分布の知識（つまり、パラメータを知ること）を必要とせずに、その正確な標本分布を得ることができるということです。

相関の強さも相関分析の解釈において重要な考慮事項ですが、相関の強さの記述は普遍的に受け入れられているわけではありません。非常に大きなサンプルで計算された小さな相関係数は、変数間の量的関係を示さずに統計的に有意である可能性があります。同様に、小さなサンプルサイズで計算された大きな相関係数は、相関係数が統計的に有意でなくても、変数間の量的方程式が可能であることを示している可能性があります。Akoglu (2018) ^{[ 11 ] は}、強さの一貫した記述の必要性を指摘し、心理学、政治学、医学に対して異なる記述子と閾値を持つ異なる相関の強さの記述子を提供しています。相関の強さについては一般的に合意が得られていないため、Granato (2014) ^{[ 12 ] は}、雨水処理統計の水文解析で使用するために、相関係数の絶対値の操作的定義を弱い (0.5 未満)、中程度 (0.5 以上 0.75 未満)、やや強い (0.75 以上 0.85 未満)、強い (0.85 以上) と定義しました。同様に、Schober ら (2018) ^{[ 13 ]}は、「...カットオフポイントは恣意的で一貫性がなく、慎重に使用する必要がある...」と述べています。Schober ら (2018) は警告にもかかわらず、相関が 0.1 以下は無視できるほど小さく、0.1 以上 0.39 以下は弱い相関であることを示す表を提供しています。相関係数が0.39より大きく0.69以下の場合は中程度の相関、0.69より大きく0.89以下の場合は強い相関、0.89より大きい場合は非常に強い相関とみなされます。相関の強さに関する記述は、変数間の量的関係を構築する可能性を示していますが、相関係数自体と同様に、因果関係を示すものではありません。

この例では、下の表にある任意の生データを使用して、人のIQと1週間あたりのテレビ視聴時間（架空の値が使用されています）との相関関係を計算します。

まず評価します${\displaystyle d_{i}^{2}}$そのためには、以下の表に示す手順に従ってください。

1. データを最初の列でソートします（${\displaystyle X_{i}}$新しい列を作成します。${\displaystyle x_{i}}$そして、1、2、3、...、nという順位値を割り当てます。
2. 次に、拡張された (${\displaystyle x_{i}}$）2列目のデータ（${\displaystyle Y_{i}}$4列目を作成します。${\displaystyle y_{i}}$同様に、1、2、3、...、n の順位値を割り当てます。
3. 5列目を作成する${\displaystyle d_{i}}$2 つのランク列間の差を保持するため (${\displaystyle x_{i}}$そして${\displaystyle y_{i}}$)
4. 最後に1列作成する${\displaystyle d_{i}^{2}}$列の値を保持する${\displaystyle d_{i}}$二乗。

と${\displaystyle d_{i}^{2}}$見つかりました、検索に追加します${\displaystyle \sum d_{i}^{2}=194}$nの値は10です。これらの値を方程式に代入することができます。

${\displaystyle \rho =1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}}$

与える

${\displaystyle \rho =1-{\frac {6\times 194}{10(10^{2}-1)}},}$

これはρ = −29/165 = −0.175757575...となり、 p値は0.627188です（t分布を使用）。

値がゼロに近いということは、IQとテレビ視聴時間の相関が非常に低いことを示していますが、負の値は、テレビ視聴時間が長くなるほどIQが低くなることを示唆しています。元の値に同点がある場合は、この式を使用しないでください。代わりに、順位に基づいてピアソン相関係数を計算する必要があります（同点の場合は、上記のように順位が与えられます）。

スピアマンのρの信頼区間は、de CarvalhoとMarques（2012）のジャックナイフユークリッド尤度法を用いて容易に求めることができる。^{[ 14 ]}レベルが0の信頼区間は、${\displaystyle \alpha }$これは、後者の論文で示されたウィルクスの定理に基づいており、次のように表される。

${\displaystyle \left\{\theta$ :{\frac {\{\sum _{i=1}^{n}(Z_{i}-\theta )\}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(Z_{i}-\theta )^{2}}}\leq \chi _{1,\alpha }^{2}\right\},}

どこ${\displaystyle \chi _{1,\alpha }^{2}}$は${\displaystyle \alpha }$自由度1のカイ二乗分布の分位点、${\displaystyle Z_{i}}$これらはジャックナイフ法による擬似値です。この手法はRパッケージspearmanCIで実装されています。

ρの観測値がゼロと有意に異なるかどうか（rは常に-1 ≤ r ≤ 1を維持する）を検定する1つの方法は、順列検定を用いて、帰無仮説の下で観測されたr以上となる確率を計算することです。この方法の利点は、サンプル内の同順位のデータ値の数と、順位相関を計算する際にそれらのデータ値がどのように扱われるかを自動的に考慮に入れることです。

別のアプローチとしては、ピアソン積率相関係数の場合におけるフィッシャー変換の使用法に類似した方法がある。すなわち、母集団値ρに関する信頼区間や仮説検定は、フィッシャー変換を用いて行うことができる。

${\displaystyle F(r)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+r}{1-r}}=\operatorname {arctanh} r.}$

F ( r )がrのフィッシャー変換であり、 rは標本スピアマン順位相関係数、nは標本サイズである場合、

${\displaystyle z={\sqrt {\frac {n-3}{1.06}}}F(r)}$

はrのzスコアであり、統計的独立性の帰無仮説( ρ = 0 )の下では標準正規分布にほぼ従います。^{[ 15 ] [ 16 ]}

また、以下の方法で有意性を検定することもできます。

${\displaystyle t=r{\sqrt {\frac {n-2}{1-r^{2}}}},}$

これは、帰無仮説の下では、自由度n − 2 のスチューデントのt分布に近似的に従う。^{[ 17 ]}この結果の正当化は、順列の議論に基づいている。^{[ 18 ]}

スピアマン係数の一般化は、3 つ以上の条件があり、それぞれの条件で多数の被験者が観察され、観察結果が特定の順序になると予測される状況で役立ちます。たとえば、多数の被験者に同じ課題で 3 回の試行が与えられ、試行ごとにパフォーマンスが向上すると予測される場合などです。このような状況における条件間の傾向の有意性の検定は EB Page ^{[ 19 ]}によって開発され、通常は順序付き代替案に対するPage の傾向検定と呼ばれています。

古典的な対応分析は、2つの名義変数の各値にスコアを割り当てる統計的手法です。この方法により、2つの変数間のピアソン相関係数が最大化されます。

この方法と同等の方法として、スピアマンのρまたはケンドールのτを最大化するグレード対応分析と呼ばれるものがある。^{[ 20 ]}

ストリーミングデータからスピアマンの順位相関係数を近似する既存のアプローチは 2 つあります。^{[ 21 ] [ 22 ]}最初のアプローチ^{[ 21 ]} は、結合分布を粗大化することを含みます。${\displaystyle (X,Y)}$連続的に${\displaystyle X,Y}$値:${\displaystyle m_{1},m_{2}}$カットポイントは、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$それぞれ、これらの確率変数を離散化します。デフォルトのカットポイントは、${\displaystyle -\infty }$そして${\displaystyle \infty }$サイズが のカウント行列${\displaystyle (m_{1}+1)\times (m_{2}+1)}$、と表記される${\displaystyle M}$、次に構築されるのは${\displaystyle M[i,j]}$インデックスによって指定された2次元セルに該当する観測値の数を格納します。${\displaystyle (i,j)}$ストリーミングデータの場合、新しい観測値が到着すると、適切な${\displaystyle M[i,j]}$要素がインクリメントされます。その後、カウント行列に基づいてスピアマンの順位相関係数を計算できます。${\displaystyle M}$線形代数演算を使用します（アルゴリズム 2 ^{[ 21 ]}）。離散確率変数の場合、離散化手順は不要であることに注意してください。この方法は、定常ストリーミングデータと大規模データセットの両方に適用できます。スピアマンの順位相関係数が時間とともに変化する非定常ストリーミングデータの場合、同じ手順を適用できますが、観測の移動ウィンドウに対して適用します。移動ウィンドウを使用する場合、メモリ要件は選択したウィンドウサイズに比例して増加します。

ストリーミングデータからスピアマンの順位相関係数を近似する 2 番目のアプローチは、エルミート級数に基づく推定器を使用することです。^{[ 22 ]}エルミート多項式に基づくこれらの推定器は、単変量および二変量の場合の確率密度関数と累積分布関数の逐次推定を可能にします。二変量エルミート級数密度推定器と単変量エルミート級数に基づく累積分布関数推定器は、スピアマンの順位相関係数推定器の大規模サンプルバージョンに組み込まれ、逐次スピアマン相関推定器が得られます。この推定器は、計算効率のために線形代数演算の観点から表現されています (式 (8) およびアルゴリズム 1 と 2 ^{[ 22 ]} )。これらのアルゴリズムは連続確率変数データにのみ適用可能ですが、この設定ではカウント行列アプローチよりもいくつかの利点があります。最初の利点は、多数の観測に適用した場合の精度の向上です。 2つ目の利点は、スピアマンの順位相関係数を移動ウィンドウに頼らずに非定常ストリーム上で計算できることです。代わりに、エルミート級数に基づく推定器は、指数重み付けスキームを使用して、ストリーミングデータから時間変動するスピアマンの順位相関を追跡します。このスキームでは、「実効」移動ウィンドウサイズに関して一定のメモリ要件が必要です。これらのエルミート級数に基づくアルゴリズムのソフトウェア実装が存在し^{[ 23 ]}、ソフトウェア実装の項で説明されています。

• Rcor.test(x, y, method = "spearman")の統計基本パッケージは、その「stats」パッケージで検定を実装しています（これも機能します） 。spearmanCIcor(x, y, method = "spearman")パッケージは信頼区間を計算します。hermiter パッケージ[ ^{23 ]は}、スピアマン相関の高速バッチ推定値と逐次推定値（つまり、新しい観測値が組み込まれるにつれてオンライン/増分的に更新される推定値）を計算します。
• Stataでの実装：varlist内のすべての変数について、すべてのペアワイズ相関係数を計算します。 spearman varlist
• MATLAB実装:[r,p] = corr(x,y,'Type','Spearman')ここでr、 はスピアマンの順位相関係数、pは p 値、 およびxはyベクトルです。^{[ 24 ]}
• Pythonには、スピアマン相関統計量のさまざまな実装があります。モジュールのspearmanrscipy.stats関数、pandasDataFrame.corr(method='spearman')ライブラリのメソッド、統計パッケージpingouinの関数を使用して計算できます。corr(x, y, method='spearman')

• ケンドールのタウ順位相関係数
• チェビシェフの和の不等式、並べ替えの不等式（これら2つの記事は、スピアマンのρの数学的性質を明らかにするのに役立つかもしれません。） 
• 距離相関
• ポリコリック相関

• Corder, G. W. & Foreman, D. I. (2014). ノンパラメトリック統計学：ステップバイステップのアプローチ、Wiley。ISBN 978-1118840313。
• Daniel, Wayne W. (1990). 「スピアマン順位相関係数」 .応用ノンパラメトリック統計学（第2 版）. ボストン：PWS-Kent. pp. 358–365 . ISBN  978-0-534-91976-4。
• Spearman C. (1904). 「2つの事物間の関連性の証明と測定」 . American Journal of Psychology . 15 (1): 72– 101. doi : 10.2307/1412159 . JSTOR 1412159 . 
• Bonett, DG; Wright, TA (2000). 「ピアソン、ケンドール、スピアマン相関のサンプルサイズ要件」。Psychometrika . 65 : 23–28 . doi : 10.1007 /bf02294183 . S2CID 120558581 . 
• Kendall MG (1970).順位相関法（第4 版）. ロンドン：Griffin. ISBN 978-0-852-6419-96OCLC 136868。​ 
• Hollander M.、Wolfe DA (1973).ノンパラメトリック統計手法. ニューヨーク: Wiley. ISBN 978-0-471-40635-8OCLC 520735​​ 
• Caruso JC、Cliff N. (1997)「スピアマンのρの信頼区間の経験的サイズ、カバレッジ、および検出力」Educational and Psychological Measurement . 57 (4): 637–654 . doi : 10.1177/0013164497057004009 . S2CID 120481551 . 

• 小標本における有意性のためのρの臨界値表
• スピアマンの順位相関係数 – Excel ガイド：英国王立地理学会が開発した Excel 用のサンプルデータと数式。