閉曲線上の特異積分作用素

数学において、閉曲線上の特異積分作用素は解析学、特に複素解析と調和解析の問題で生じる。2 つの主な特異積分作用素、ヒルベルト変換とコーシー変換は、複素平面上の任意の滑らかなジョルダン曲線に対して定義でき、簡単な代数式で関連付けられる。単位円に対するフーリエ級数の特殊なケースでは、これらの作用素は古典的なコーシー変換、ハーディ空間への直交射影、およびヒルベルト変換の実直交線型複素構造となる。一般に、コーシー変換は非自己随伴冪等であり、ヒルベルト変換は非直交複素構造である。コーシー変換の値域は、ジョルダン曲線で囲まれた有界領域のハーディ空間である。元の曲線の理論は単位円の理論から演繹することができ、回転対称性のため、両方の作用素は畳み込み型の古典的な特異積分作用素である。ヒルベルト変換は、プレメリとソホーツキーのジャンプ関係を満たし、元の関数を領域上の正則関数の境界値とその補関数の差として表現します。特異積分作用素は、ヘルダー空間、L ^{p空間、ソボレフ空間など、さまざまなクラスの関数で研究されています。L 2}空間の場合（以下で詳しく説明します）、ハーディ空間へのセゲー射影やノイマン-ポアンカレ作用素など、閉曲線に関連付けられた他の作用素は、コーシー変換とその随伴関数で表現できます。

fがL ² ( T )に属する場合、それはフーリエ級数展開される^{[1] [2]}

${\displaystyle \displaystyle {f(\theta )=\sum _{n\in {\mathbf {Z} }}a_{n}e^{in\theta }.}}$

ハーディ空間H ² ( T )は、負の係数が0となる関数、すなわち_{n < 0に対してn} = 0となる関数から構成される。これらは、単位円| z | < 1における正則関数の境界値として生じる2乗可積分関数とまったく同じである。実際、fは関数の境界値である 。

${\displaystyle \displaystyle {F(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n},}}$

関数が

${\displaystyle \displaystyle {f_{r}(\theta )=F(re^{i\theta })},}$

Fの同心円への制限によって定義される| z | = rは、

${\displaystyle \displaystyle {\|f_{r}-f\|_{2}\rightarrow 0}}$として。${\displaystyle \displaystyle {r\rightarrow 1}}$

L ² ( T ) から H ² ( T ) への直交射影P はSzegő 射影と呼ばれます。これは演算子ノルムが1 である L ² ( T )上の有界演算子です。

コーシーの定理により

${\displaystyle \displaystyle {F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{|\zeta |=1}{f(\zeta ) \over \zeta -z}\,d\zeta ={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\theta ) \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\theta .}}$

したがって

${\displaystyle \displaystyle {F(re^{i\varphi })={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-re^{i\theta }}\,d\theta .}}$

rが1のとき、右辺の被積分関数はθ = 0で特異点を持つ。打ち切りヒルベルト変換は次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle {H^{\varepsilon }f(\varphi )={i \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-e^{i\theta }}\,d\theta ={1 \over \pi }\int _{|\zeta -e^{i\varphi }|\geq \delta }{f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta ,}}$

ここでδ = |1 – e ^{i ε} |である。これは有界関数との畳み込みとして定義されているため、L ² ( T )上の有界演算子である。

${\displaystyle \displaystyle {H^{\varepsilon }{1}={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }2\Re (1-e^{i\theta })^{-1}\,d\theta ={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }1\,d\theta =i-{i\varepsilon \over \pi }.}}$

fがzの多項式であれ ば

${\displaystyle \displaystyle {H^{\varepsilon }f(z)-{i(1-\varepsilon ) \over \pi }f(z)={1 \over \pi i}\int _{|\zeta -z|\geq \delta }{f(\zeta )-f(z) \over \zeta -z}\,d\zeta .}}$

コーシーの定理によれば、右辺はε、したがってδが0に近づくにつれて一様に0に近づく。したがって

${\displaystyle \displaystyle {H^{\varepsilon }f\rightarrow if}}$

多項式に対して一様である 。一方、u ( z ) = z の場合には、

${\displaystyle \displaystyle {{\overline {H^{\varepsilon }f}}=-u^{-1}H^{\varepsilon }(u{\overline {f}}).}}$

したがって、fがz ⁻¹の定数項のない 多項式である場合、

${\displaystyle \displaystyle {H^{\varepsilon }f\rightarrow -if}}$均一に。

円上の ヒルベルト変換を次のように定義する。

${\displaystyle \displaystyle {H=i(2P-I).}}$

したがって、fが三角多項式である 場合

${\displaystyle \displaystyle {H^{\varepsilon }f\rightarrow Hf}}$均一に。

したがって、fが任意のL ²関数 である場合、

${\displaystyle \displaystyle {H^{\varepsilon }f\rightarrow Hf}}$L ²ノルムで。

これは、 H _{ε が}演算子ノルムで一様に制限されているため、三角多項式の結果の結果です。実際、それらのフーリエ係数は一様に制限されています。

また、円上の連続関数fに対して、 H _ε f はHfに一様収束し、特に点ごとに収束する。点ごとの極限はコーシー主値であり、次のように表される 。

${\displaystyle \displaystyle {Hf=\mathrm {P.V.} \,{1 \over \pi }\int {f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta .}}$

ヒルベルト変換は円の向きを保存する微分同相写像と自然に互換性がある。^[3]したがって、Hが円の微分同相写像で

${\displaystyle \displaystyle {H(e^{i\theta })=e^{ih(\theta )},\,\,\,h(\theta +2\pi )=h(\theta )+2\pi ,}}$

そしてオペレーター

${\displaystyle \displaystyle {H_{h}^{\varepsilon }f(e^{i\varphi })={1 \over \pi }\int _{|e^{ih(\theta )}-e^{ih(\varphi )}|\geq \varepsilon }{f(e^{i\theta }) \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\,e^{i\theta }\,d\theta ,}}$

は一様有界であり、強い作用素位相ではHに近づく。さらに、Vf ( z ) = f ( H ( z ) ) ならば、VHV ⁻¹ – H は滑らかな核を持つ作用素なので、ヒルベルト・シュミット作用素となる。

単位円上のハーディ空間は、滑らかな境界 ∂Ω を持つ任意の多重連結な有界領域 Ω に一般化できます。ハーディ空間 H ² (∂Ω) は、いくつかの同等の方法で定義できます。最も単純な定義方法は、Ω の閉包上の滑らかな関数に連続的に拡張される Ω 上の正則関数の空間のL ^{2 (∂Ω) 内の閉包として定義することです。}ウォルシュが証明したように、メルゲリアン定理の前身となる結果では、閉包に連続的に拡張される Ω 上の任意の正則関数は、補完領域 Ω ^cに極を持つ有理関数によって一様ノルムで近似できます。Ω が単連結である場合、有理関数は多項式として取ることができます。この定理の境界上の対応物として、ハートッグス・ローゼンタール定理があり、これは任意の連続関数 ∂Ω は、∂Ω の補関数に極を持つ有理関数によって一様ノルムで近似できるというものである。従って、∂Ω が単純な閉曲線である単連結領域では、H ² (∂Ω) は多項式の閉包にすぎない。一般に、それは ∂Ω から外れた極を持つ有理関数の空間の閉包である。^[4]

単位円上では、フーリエ級数展開された L ²関数fは

${\displaystyle \displaystyle {f(e^{i\theta })=\sum a_{n}e^{in\theta }}}$

ポアソン積分によって与えられる単位円板上の調和関数への一意の拡張を持つ

${\displaystyle \displaystyle {f(re^{i\theta })=P_{r}f(e^{i\theta })=\sum a_{n}r^{|n|}e^{in\theta }.}}$

特に

${\displaystyle \displaystyle {\|P_{r}f\|^{2}=\sum |a_{n}|^{2}r^{2|n|},}}$

r = 1のときのノルムはfのノルムにまで増加する。単位円の補集合でも同様であり、調和拡張は次のように与えられる。

${\displaystyle \displaystyle {F_{R}(e^{i\theta })=F(Re^{i\theta })=\sum a_{n}R^{-|n|}a_{n}e^{in\theta }.}}$

この場合、ノルムはR = ∞の値からfのノルム、つまりR = 1の値まで増加します。

同様の結果は、L2ノルムが境界の管状近傍の等高線上でとられることを条件として、滑らかな境界を持つ単連結領域上の調和関数fに対しても成り立つ^。 [ 5 ]^ベクトル表記 v ( t )=( x ( t ), y ( t ))を使用して境界曲線を弧の長さでパラメータ化すると、次の古典的な公式が成り立つ。

${\displaystyle \displaystyle {{\dot {\mathbf {v} }}\cdot {\dot {\mathbf {v} }}=1,\,\,\,{\ddot {\mathbf {v} }}\cdot {\dot {\mathbf {v} }}=0.}}$

したがって、 tにおける単位接線ベクトルt ( t )と方向付けられた法線ベクトル n ( t )は次のように与えられる。

${\displaystyle \displaystyle {\mathbf {t} ={\dot {\mathbf {v} }},\,\,\,\,\,\,\mathbf {n} =(-{\dot {y}},{\dot {x}}).}}$

加速度ベクトルと法線ベクトルを関連付ける定数は曲線の 曲率です。

${\displaystyle \displaystyle {{\ddot {\mathbf {v} }}=\kappa (t)\,\mathbf {n} (t),\,\,\,\,\,\kappa (t)={\ddot {\mathbf {v} }}\cdot \mathbf {n} ={\ddot {y}}{\dot {x}}-{\ddot {x}}{\dot {y}}.}}$

フレネの式にはさらに2つあります。

${\displaystyle \displaystyle {{\dot {\mathbf {n} }}=-\kappa \mathbf {t} ,\,\,\,{\ddot {\mathbf {n} }}={\dot {\kappa }}\mathbf {n} -\kappa ^{2}\mathbf {t} .}}$

境界の管状近傍は次のように与えられる。

${\displaystyle \displaystyle {\mathbf {v} _{s}(t)=\mathbf {v} (t)+s\mathbf {n} (t),}}$

すると、準位曲線は ∂Ω _sとなり、 s 個の定数境界領域 Ω _sを持つ。さらに^[6]

${\displaystyle \displaystyle {{\dot {\mathbf {v} }}_{s}(t)=(1-s\kappa )\mathbf {t} ,\,\,\,\,\partial _{s}|{\dot {\mathbf {v} }}_{s}|=-\kappa .}}$

したがって、積分平均をsに関して微分すると、内向きの法線の方向の導関数は次のように表される。

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{s}\int _{\partial \Omega _{s}}|f|^{2}=-\int _{\partial \Omega _{s}}(\partial _{n}f{\overline {f}}+f{\overline {\partial _{n}f}})-\int _{\partial \Omega _{s}}\kappa (1-\kappa s)^{-1}|f|^{2}=-2\iint _{\Omega _{s}}|\nabla f|^{2}-\int _{\partial \Omega _{s}}\kappa (1-\kappa s)^{-1}|f|^{2},}}$

グリーンの定理を用いると、sが小さい 場合

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{s}\|f|_{\partial \Omega _{s}}\|^{2}\leq M\|f|_{\partial \Omega _{s}}\|^{2},}}$

fに依存しない定数Mに対して、

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{s}e^{-Ms}\|f|_{\partial \Omega _{s}}\|^{2}\leq 0,}}$

したがって、この不等式を積分すると、ノルムは境界の近くで制限されます。

${\displaystyle \displaystyle {\|f|_{\partial \Omega _{s}}\|\leq e^{Ms/2}\|f|_{\partial \Omega }\|.}}$

^{この不等式は、L 2}ハーディ空間 H ² (Ω)の関数が、コーシー積分作用素C を介して、積分が

${\displaystyle \displaystyle {\int _{\partial \Omega _{s}}|f|^{2}}}$

は有界である。さらに、 ∂Ω _sへのfの制限f _{s は}、∂Ω と自然に同一視でき、L ²ではハーディ空間の元の関数に近づく。^[7]実際、H ^{2 (Ω) は、有理関数（Ω が単連結であれば多項式と見なすことができる）の L 2} (Ω)における閉包として定義されている。Ω ^cのみに極を持つ任意の有理関数は、その境界値gからコーシーの積分公式によって Ω 内で復元できる。

${\displaystyle \displaystyle {Cg(a)={1 \over 2\pi i}\int _{\partial \Omega }{g(z) \over z-a}\,dz.}}$

上記の推定は、関数Cg | _{∂Ω s が}Cg | _∂Ωに連続的に依存することを示しています。さらに、この場合、関数は境界値に一様に近づき、したがって L ²内でも、空間 L ² (∂Ω _s ) と L ² (∂Ω) の自然な同一視を用いています。hは∂Ω 上で積分可能であるため、任意の L ^{2関数に対して}Ch をΩ上の正則関数として定義できます。hは有理関数gの L ²における極限であるため、積分平均に対して同じ不等式を使用して、 hとChに対して同じ結果が成り立ちます。同様に、h は関数Ch | _{∂Ω s}^{の L 2} (∂Ω)における極限です。

境界付近の積分平均の上記の推定値は、CfがL ² (Ω)にあり、そのL ^{2ノルムが}fのノルムによって制限されることを示しています。Cfは正則でもあるため、 Ωのベルクマン空間A ² (Ω)にあります。したがって、コーシー積分演算子Cは、境界のハーディ空間から内部のベルクマン空間への自然なマッピングを定義します。^[8]

ハーディ空間 H ² (Ω) には、自然なパートナー、つまり、Ω にのみ極を持つ、∞で消える有理関数の境界値のL ^{2 (∂Ω) における閉包があります。この部分空間を H 2} _{+ (∂Ω) で表して、これも H} ² ₋ (∂Ω)で表される元のハーディ空間と区別すると、上記と同じ推論を適用できます。H ² ₊ (∂Ω)の関数hに適用すると、コーシー積分演算子は、∞ で消えるΩ ^cの正則関数F を定義します。境界の近くでは、境界と同一視されるレベル曲線へのFの制限は、L ^2でhに近づきます。円の場合とは異なり、H ² ₋ (∂Ω) と H ² ₊ (∂Ω) は直交空間ではありません。ハルトッグス−ローゼンタール定理により、それらの和は L ² (∂Ω) で稠密です。以下に示すように、これらは ∂Ω 上のヒルベルト変換の ±i 固有空間なので、それらの和は実際には直接的であり、L ² (∂Ω) 全体になります。

滑らかな境界∂Ωを持つ複素平面上の有界単連結領域Ωに対して、ヒルベルト変換の理論は単位円のヒルベルト変換と直接比較することによって演繹することができる。^[9]

L ² (∂Ω) 上のヒルベルト変換H _∂Ωを定義するには、∂Ω を弧長でパラメータ化し、関数z ( t ) とする。ヒルベルト変換は、次のように定義される切断演算子H _∂Ω ^εの強演算子位相における極限として定義される。

${\displaystyle \displaystyle {H_{\partial \Omega }^{\varepsilon }f(s)={1 \over \pi i}\int _{|s-t|\geq \varepsilon }\,\,\,\,{f(t) \over z(t)-z(s)}\,{\dot {z}}(t)\,dt.}}$

比較するには、 Cでスケーリング変換を適用して、∂Ω の長さが 2π になるようにすると便利です。(これは、上記の演算子を固定された正の係数だけ変更します。) すると、L ² (∂Ω) から L ² ( T ) への標準ユニタリ同型が存在するため、2 つの空間を識別できます。切り捨てられた演算子H _∂Ω ^{εは、切り捨てられたヒルベルト変換}H ^ε と直接比較できます 。

${\displaystyle \displaystyle {H_{\partial \Omega }^{\varepsilon }g(s)-H^{\varepsilon }g(s)={1 \over \pi i}\int _{|t-s|\geq \varepsilon }K(s,t)\cdot g(t)\,dt,}}$

どこ

${\displaystyle \displaystyle {K(u,v)={{\dot {z}}(t) \over z(t)-z(s)}-{ie^{it} \over e^{it}-e^{is}}=\partial _{t}\log \left({z(t)-z(s) \over e^{it}-e^{is}}\right).}}$

したがって、核K はT × T上で滑らかであるため、上記の差は、強い位相では、核によって定義されるヒルベルト・シュミット演算子に近づきます。したがって、切断された演算子H _∂Ω ^εはノルムで一様に制限され、強い演算子位相でH _{∂Ωと表され、∂Ω 上の}ヒルベルト変換と呼ばれる極限を持ちます。

${\displaystyle \displaystyle {H_{\partial \Omega }g=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}H_{\partial \Omega }^{\varepsilon }g.}}$

εを0に近づけると、次の式が得られます。

${\displaystyle \displaystyle {H_{\partial \Omega }g(s)-Hg(s)={1 \over \pi i}\int _{0}^{2\pi }K(s,t)\cdot g(t)\,dt.}}$

Hは歪随伴であり、H ∂Ω_は滑らかなカーネルを持つヒルベルト・シュミット演算子によってHと異なるため、 H _∂Ω + H _∂Ω * は滑らかなカーネルを持つヒルベルト・シュミット演算子になります。カーネルは、∂Ω の切り捨てられたヒルベルト変換を使用して明示的に計算することもできます。

${\displaystyle \displaystyle {C(s,t)={1 \over \pi i}\left({{\dot {z}}(t) \over z(t)-z(s)}-{{\overline {{\dot {z}}(s)}} \over {\overline {z(t)}}-{\overline {z(s)}}}\right),}}$

そしてこれがT × T上の滑らかな関数であることは直接検証できる。^[10]

C ₋とC _{+ をΩとΩ} ^cのコーシー積分演算子とする。すると

${\displaystyle \displaystyle {C_{\pm }\circ H=\pm iC_{\pm }.}}$

演算子C ₋、C ₊、Hは有界なので、ハルトッグス・ローゼンタール定理によって ∂Ω から外れ、∞ で消える有理関数Fについてこれを確認すれば十分である。有理関数は関数F = F ₋ + F ₊の和として表すことができる。ここで、F _{− は}Ω ^cにのみ極を持ち、F _{+ は}Ω cにのみ極を持つ。 f、f _{± を}f、f _±の ∂Ω への制限とする。コーシーの積分公式により

${\displaystyle \displaystyle {C_{\pm }f_{\pm }=F_{\pm },\,\,\,C_{\pm }f_{\mp }=0.}}$

一方、^{[11]を確認するのは簡単です。}

${\displaystyle \displaystyle {Hf_{\pm }=\pm if_{\pm }.}}$

実際、コーシーの定理によれば、F _{− は}Ωにおいて正則なので、

${\displaystyle \displaystyle {\int _{\partial \Omega ,\,\,|z-w|\geq \varepsilon }{f_{-}(z) \over z-w}\,dz=-\int _{|z-w|=\varepsilon ,\,\,z\in \Omega }{F_{-}(z) \over z-w}\,dz.}}$

ε が 0 に近づくにつれて、後者の積分は留数計算によって π i f ₋ ( w )に近づく。同様の議論がf _{+にも当てはまり、Ω} ^{c の}内側右側に円形の輪郭をとる。^[12]

連続性により、HはH ² _−上のiによる乗算、およびH ² _+上の−iによる乗算として作用する。これらの空間は閉じており、その和は稠密であるため、

${\displaystyle \displaystyle {H^{2}=-I.}}$

さらに、H ² ₋と H ² _{+ は}Hの± i個の固有空間でなければならないので、それらの和は L ² (∂Ω)全体となる。L ² (∂Ω)におけるfに対するPlemelj–Sokhotski 関係は、次の関係である。

${\displaystyle \displaystyle {-iHf=C_{-}f|_{\partial \Omega }-C_{+}f|_{\partial \Omega }.}}$

これはハーディ空間H ² _{± (∂Ω)の}fに対して証明されており、それらの和に対しても成り立つ。コーシー冪等元Eは次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle {H=i(2E-I).}}$

したがって、 Eの範囲はH ² ₋ (∂Ω)であり、I − Eの範囲はH ² ₊ (∂Ω)である。上記^{[13]から、}

${\displaystyle \displaystyle {Ef=C_{-}f|_{\partial \Omega },\,\,\,\,(I-E)f=C_{+}f|_{\partial \Omega }.}}$

閉曲線∂Ω上で定義される他の2つの演算子は、ヒルベルト変換Hとコーシー変換Eで表すことができます。 ^[14]

セゲー射影 Pはハーディ空間H ² (∂Ω)への直交射影として定義される。Eは範囲H ² (∂Ω)の冪等なので、Pはケルツマン・スタインの公式で与えられる。

${\displaystyle \displaystyle {P=E(I+E-E^{*})^{-1}.}}$

実際、E − E *は歪随伴なので、そのスペクトルは純虚数であり、したがって演算子I + E − E *は可逆である 。^[15]

${\displaystyle \displaystyle {EP=P,\,\,\,PE=E.}}$

したがってPE * = Pとなる。

${\displaystyle \displaystyle {P(I+E-E^{*})=P+E-P=E.}}$

演算子H + H *は滑らかな核を持つヒルベルト・シュミット演算子なので、 E − E *についても同様である。^[16]

さらに、J が複素共役の共役線型演算子であり、U が単位接線ベクトルによる乗算の演算子である場合、

${\displaystyle \displaystyle {Jf(t)={\overline {f(t)}},\,\,\,Uf(t)={\dot {z}}(t)\cdot f(t).}}$

すると、∂Ω上の切断ヒルベルト変換の公式は、直ちに次の随伴項の恒等式を与える。

${\displaystyle \displaystyle {(H^{\varepsilon })^{*}=JUH^{\varepsilon }U^{*}J.}}$

εを0に近づけると、

${\displaystyle \displaystyle {H^{*}=JUHU^{*}J}}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle \displaystyle {I-E^{*}=JUEU^{*}J.}}$

円のヒルベルト変換との比較から、円の微分同相写像を持つHとEの交換子はヒルベルト・シュミット作用素であることが分かる。同様に、円上の滑らかな関数fに対応する乗算演算子を持つそれらの交換子もヒルベルト・シュミット作用素である。定数を除けば、Hとの交換子の核は滑らかな関数で与えられる。

${\displaystyle \displaystyle {A(s,t)={f(s)-f(t) \over z(s)-z(t)}.}}$

ノイマン・ポアンカレ作用素 Tは実関数f上で次のように 定義される。

${\displaystyle \displaystyle {Tf(w)={1 \over 2\pi }\int _{\partial \Omega }\partial _{n}(\log |z-w|)f(z)={1 \over 2}\Re (Hf)(w).}}$

h = f + igと書くと、^[17]

${\displaystyle \displaystyle {2Th=\Re (Hf)+i\Re (Hg)={1 \over 2}(Hf+JHf+iHg+iJHg)={1 \over 2}(H+JHJ)h}}$

となることによって

${\displaystyle \displaystyle {T={1 \over 4}(H+JHJ)={1 \over 4}(H+UH^{*}U^{*}),}}$

ヒルベルト・シュミット演算子。

ハーディ空間の古典的な定義は、関数F _s = F | _{∂Ω s}が L ² (∂Ω)で有界ノルムを持つような Ω 上の正則関数Fの空間である。カラテオドリ核定理に基づく議論は、Ω にジョルダン曲線の族があり、最終的にその内部にFの積分平均が有界となる任意のコンパクト部分集合が含まれる場合は常にこの条件が満たされることを示している。^[18]

ハーディ空間の古典的な定義が空間 H ² (∂Ω) を与えることを証明するには、上記のようにFを取る。ある部分列h _n = F _{s n は}L ² (∂Ω)でhに弱収束する。したがって、Ω ではCh = Fとなる。実際、C _{n がΩ s n}に対応するコーシー積分演算子である場合、^[19]

${\displaystyle \displaystyle {Ch(a)-F(a)=Ch(a)-C_{n}h_{n}(a)=C(h-h_{n})(a)+[(C-C_{n})h_{n}](a).}}$

右辺第1項はh − h _nと固定L ^{2関数の組み合わせ}_で定義されるため、ゼロに近づく。z n ( t ) がv _{s n}に対応する複素数である場合、

${\displaystyle \displaystyle {[(C-C_{n})h_{n}](a)={1 \over 2\pi i}\int h_{n}(t)\left({{\dot {z}}(t) \over z(t)-a}-{{\dot {z}}_{n}(t) \over z_{n}(t)-a}\right)\,dt.}}$

この積分は、 h _nのL ²ノルムが一様に制限されている一方で、積分関数内の括弧内の式が一様に 0 に近づくため、つまり L ²で 0 に近づくため、ゼロに近づきます。

したがってF = Chである。一方、E が範囲 H ² (∂Ω)の Cauchy 冪等である場合、 C ∘ E = C である。したがってF = Ch = C ( Eh ) である。すでに示したように、F _{s は}L ^{2 (∂Ω) で}Chに近づく。しかし、部分列はhに弱く近づく。したがってCh = hであり、したがって 2 つの定義は同等である。^[20]

滑らかな境界を持つ多重連結な有界領域の理論は、単連結の場合から簡単に導かれる。^[21]演算子H、E、Pの類似物がある。境界の与えられた成分において、HとEへの特異寄与はその境界成分上の特異積分から来るので、理論の技術的な部分は単連結の場合の直接的な結果である。

ホルダー連続関数の空間上の特異積分作用素については Gakhov (1990) で議論されている。L ^{p 空間}とソボレフ空間への作用についてはMikhlin & Prössdorf (1986) で議論されている。

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