シェルピンスキー数

数論において、シェルピンスキー数は、すべての自然数nに対して合成数となる奇数の自然 数 kである。1960 年に、ヴァツワフ・シェルピンスキーは、この性質を持つ奇数の整数kが無限に存在することを証明した。 ${\displaystyle k\times 2^{n}+1}$

言い換えれば、kがシェルピンスキー数の場合、次の集合のすべての要素は合成数です。

${\displaystyle \left\{\,k\cdot 2^{n}+1:n\in \mathbb {N} \,\right\}.}$

代わりに の形式の場合、k はリーゼル数になります。 ${\displaystyle k\times 2^{n}-1}$

現在知られているシェルピンスキー数列は次のように始まります。

78557、271129、271577、322523、327739、482719、575041、603713、903983、934909、965431、1259779、1290677、1518781、1624097、1639459、1777613、2131043、2131099、2191531、2510177、2541601、2576089、2931767、2931991、...（OEISの配列A076336 ）。

78557 という数は1962 年にジョン・セル​​フリッジによってシェルピンスキー数であることが証明されました。セルフリッジは、 78557⋅2 ⁿ + 1 という形式のすべての数は、被覆集合{3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 }に因数を持つことを示しました。別の既知のシェルピンスキー数 271129 の場合、被覆集合は{3, 5, 7, 13, 17, 241 } です。現在知られているシェルピンスキー数のほとんどは、同様の被覆集合を持っています。^[1]

しかし、1995年にASイゾトフは、 nのすべての値に対する被覆集合を確立することなく、いくつかの4乗がシェルピンスキー数であることを証明できることを示した。彼の証明は、オーリフィーユ因数分解 t ⁴ ⋅2 ^{4 m +2} + 1 = ( t ² ⋅2 ^{2 m +1} + t ⋅2 ^{m +1} + 1)⋅( t ² ⋅2 ^{2 m +1} − t ⋅2 ^{m +1} + 1)に依存している。これにより、すべてのn≡2（mod 4）は合成数を生じることが証明され、したがって被覆集合を使用してn≡0、1、3（mod 4）のみを消去することが残っている。 [ 2 ^]

シェルピンスキー問題は、最小のシェルピンスキー数を求める問題である。ポール・エルデシュとの私信の中で、セルフリッジは78,557が最小のシェルピンスキー数であると推測した。^[3]これより小さいシェルピンスキー数は発見されておらず、現在では78,557が最小の数であると考えられている。^[4]

78,557 が本当に最小のシェルピンスキー数であることを示すには、78,557 より小さいすべての奇数はシェルピンスキー数ではないことを示す必要があります。つまり、78,557 より小さいすべての奇数kに対して、 k 2 ⁿ + 1が素数となる正の整数n が存在する必要があります。^[1]分散ボランティアコンピューティングプロジェクトPrimeGrid は、残りのkの値をすべて排除しようとしています。^[5]

k = 21181、22699、24737、55459、および 67607。

1976年、ネイサン・メンデルソンは、2番目に証明可能なシェルピンスキー数は素数k = 271129であると判定した。素数シェルピンスキー問題は、最小の素数シェルピンスキー数の値を求める問題であり、271129が素数でもある最初のシェルピンスキー数であることを証明しようとする「素数シェルピンスキー探索」が進行中である。^[6]

前述の 2 つのシェルピンスキー問題が最終的に解決され、78557 が最小のシェルピンスキー数であり、271129 が最小の素シェルピンスキー数であることが示されたと仮定します。それでも、2 番目のシェルピンスキー数の問題は未解決のままです。つまり、 となる合成シェルピンスキー数k が存在する可能性があります。現在行われている研究では、78557 から 271129 までのすべてのk の値を素数かどうかに関わらずテストすることで、271129 が 2 番目のシェルピンスキー数であることを証明しようとしています。^[7]${\displaystyle 78557<k<271129}$

シェルピンスキーとリーゼルの両方の条件を満たす数はブライア数（エリック・ブライアにちなむ）と呼ばれる。最も小さい5つの既知の例は、3316923598096294713661、10439679896374780276373、11615103277955704975673、12607110588854501953787、および17855036657007596110949（A076335）である。^[8]

• カレン数
• プロス番号
• 17歳か破滅か
• ウッドオール数

• ガイ、リチャード・K.（2004）、数論における未解決問題、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、p. 120、ISBN 0-387-20860-7

• シェルピンスキー問題: 定義と現状
• Weisstein, Eric W.「シェルピンスキーの合成数定理」。MathWorld。
• Ghostarchive および Wayback Machine にアーカイブされています: Grime, Dr. James. 「78557 と Proth 素数」(ビデオ) . YouTube . Brady Haran . 2017 年11 月 13 日閲覧。