カバーセット

数学において、整数列の被覆集合とは、その列のすべての項がその集合の少なくとも1つの要素で割り切れる素数の集合を指します。 ^{[1] 「被覆集合」という用語は、}指数関数的に増加する 列に関連してのみ使用されます。

「被覆集合」という用語の使用は、シェルピンスキー数とリーゼル数に関連しています。これらは、式 k 2 n + 1 (シェルピンスキー数) または k 2 n − 1 (リーゼル数) が素数を 生成^し ない奇数の 自然^数 kです。^{[2] 1960 年以来、シェルピンスキー数とリーゼル数の両方が}無限数存在することがわかりました(集合{3、5、17、257、641、65537、6700417 }に基づく合同族の解として) ^{[a]しかし、任意の}kに対してk  2 ⁿ  + 1またはk  2 ⁿ  − 1の形式の数が無限にあるため、k がシェルピンスキー数またはリーゼル数であることを証明するには、シーケンスk  2 ⁿ  + 1またはk  2 ⁿ  − 1のすべての項が被覆集合の素数の 1 つで割り切れることを示すことしかありません。

これらの被覆集合は、基数 2で周期が短い素数から形成される。完全な被覆集合を実現するために、Wacław Sierpiński は、数列が 24 個より多く繰り返されることはできないことを示した。24 個ごとの繰り返しは被覆集合{3, 5, 7, 13, 17, 241 } を与え、36 項ごとの繰り返しは複数の被覆集合を与える: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 }; {3, 5, 7, 13, 19, 37, 109 }; {3, 5, 7, 13 , 19, 73, 109 } および{3, 5, 7, 13, 37, 73, 109 }。^[4]

リーゼル数はシェルピンスキー数と同じ被覆集合を持ちます。

被覆集合（つまりシェルピンスキー数とリーゼル数）は2以外の基数に対しても存在する^{。[5] [6] [7]}

被覆集合は、20615674205555510 と 3794765361567513 で始まる数列など、 最初の 2 つの項が互いに素である合成一般化フィボナッチ数列(素数のない数列)の存在を証明するためにも使用されます。

被覆集合の概念は、他のシーケンスに簡単に一般化することができ、はるかに単純になります。

次の例では、+ は正規表現で1 以上を意味するために使用されます。たとえば、91 ^{+ 3 は}、{913、9113、91113、911113、… } のセットを意味します。

例として、次の 8 つのシーケンスがあります。

• (29·10 ⁿ − 191) / 9 または 32 ⁺ 01
• (37·10 ⁿ + 359) / 9 または 41 ⁺ 51
• (46·10 ⁿ + 629) / 9 または 51 ⁺ 81
• (59·10 ⁿ − 293) / 9 または 65 ⁺ 23
• (82·10 ⁿ + 17) / 9 または 91 ⁺ 3
• (85·10 ⁿ + 41) / 9 または 94 ⁺ 9
• (86·10 ⁿ + 31) / 9 または 95 ⁺ 9
• (89·10 ⁿ + 593) / 9 または 98 ⁺ 23

いずれの場合も、すべての項は集合{3, 7, 11, 13 }の素数のいずれかで割り切れます。 ^[8]これらの素数は、シェルピンスキー数とリーゼル数とまったく同じ被覆集合を形成すると言えます。[ ^9]被覆集合{3, 7, 11, 37 } は、次のようないくつかの類似した数列に対して見つかります。^[9]

• (38·10 ⁿ − 137) / 9 または 42 ⁺ 07
• (4·10 ⁿ − 337) / 9 または 4 ⁺ 07
• (73·10 ⁿ + 359) / 9 または 81 ⁺ 51

• 9175·10 ⁿ + 1 または 91750 ⁺ 1
• 10176·10 ⁿ − 1 または 101759 ⁺
• (334·10 ⁿ − 1)/9 または 371 ⁺
• (12211·10 ⁿ − 1)/3 または 40703 ⁺
• (8026·10 ⁿ − 7)/9 または 8917 ⁺

10 以外の基数の場合も同様です。

• 521·12 ⁿ + 1 または12進数では 3750 ⁺ 1
• (1288·12 ⁿ − 1)/11 または 12進数では991 ⁺
• (4517·12 ⁿ − 7)/11 または 2X27 ⁺ 12進数で
• 376·12 ⁿ − 1 または 12進数では273E ⁺

それらの被覆集合は{5, 13, 29 } である。

さらに単純なケースは次のシーケンスで見つかります。

• (76·10 ⁿ − 67) / 99 ( n は奇数でなければならない) または (76) ⁺ 7 (数列: 7、767、76767、7676767、767676767 など)

ここでは、次のことが示されます。

• wは3k（n = 6k + 1）の形をしています：（76）+ 7^は7で割り切れます
• wは3k + 1（n = 6k + ^{3）の形をしています：（76）+} 7は13で割り切れます
• wは3k + 2（n = 6k + 5）の形をしています：（76） ⁺ 7は3で割り切れます

したがって、3つの素数{3, 7, 13 }のみを含む被覆集合が得られます。 ^[10]これは、シーケンスが奇数nに対してのみ整数項を与えるためのみ可能です。

被覆集合は次のシーケンスにも出現します。

• (343·10 ⁿ − 1) / 9 または 381 ⁺ .

ここでは、次のことが示されます。

• n = 3 k + 1の場合、(343·10 ⁿ − 1) / 9 は3で割り切れます。
• n = 3 k + 2の場合、(343·10 ⁿ − 1) / 9 は37 で割り切れます。
• n = 3 kの場合、(343·10 ⁿ − 1) / 9 は代数的に因数分解すると((7·10 ^k − 1) / 3)·((49·10 ^{2 k} + 7·10 ^k + 1) / 3) となります。

(7·10 ^k − 1) / 3は23 ⁺と表記できるので、数列381 ^{+に対して{3, 37, 23 +} }の被覆集合、つまり無限個の項を持つ被覆集合が得られる。^[9]

^{(343×10 n} − 1)/9の状態は、3511808×63 ⁿ + 1 の状態と同様です 。

• n = 3 k + 1の場合、3511808·63 ⁿ + 1は 37 で割り切れます。
• n = 3 k + 2の場合、3511808·63 ⁿ + 1は 109 で割り切れます。
• n = 3 kの場合、3511808·63 ⁿ + 1は代数的に因数分解すると(152·63 ^k + 1)·(23104·63 ^{2 k} − 152·63 ^k + 1)となる。

したがって、{37、109、152×63 + 1、152×63 ² + 1、152×63 ³ + 1、...} または {37、109、63 を底とする 2Q0 ^{+ 1} の被覆が得られます。これは、}無限に多くの項を持つ被覆集合です。

もっと単純な例は 4×9 ⁿ − 1 で、これは (2×3 ⁿ − 1) × (2×3 ⁿ + 1) に等しいので、その被覆集合は{5, 17, 53, 161, 485, ... } と{7, 19, 55, 163, 487, ... } です。より一般的には、r > 1 の奇数に対してkとb が両方ともr乗である場合 、k × b ⁿ + 1 は素数にはならず、r  > 1に対してkとb が両方ともr乗である場合、 k × b ⁿ − 1 は素数にはなり得ません。

別の例としては1369×30 ⁿ − 1があり、その被覆は{7, 13, 19, 37×30 ^k − 1 ( k  = 1, 2, 3, ...)} である。

• カバーシステム

• 問題 49: シェルピンスキーのような数