サードの定理

数学において、サード定理（サードの定理、別名サードの補題、モース・サード定理）は、あるユークリッド空間または多様体から別のユークリッド空間または多様体への滑らかな関数fの臨界値の集合（つまり、臨界点の集合の像）は零集合、すなわちルベーグ測度が 0 であることを主張する数学的解析の結果である。これにより、臨界値の集合は一般的な性質の意味で「小さい」ものとなる。この定理は、アンソニー・モースとアーサー・サードにちなんで名付けられた。

より明確に言えば 、^[1]

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

は （つまり、倍連続的に微分可能）であり、 です。の臨界集合を と表し、その集合は のヤコビ行列が階数を持つ点の集合です。このとき、像はにおいてルベーグ測度 0 を持ちます。 ${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle <m}$ ${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

直感的に言えば、これは、 は大きいかもしれないが、その像はルベーグ測度の意味で小さくなければならないことを意味します。つまり、 は領域内に多くの臨界点を持つかもしれませんが、像 内には臨界値がほとんどないはずです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

より一般的には、この結果は、それぞれ次元がとの微分可能多様体 との間の写像にも当てはまる。関数 の臨界集合${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle f:N\rightarrow M}$

差分が

${\displaystyle df:TN\rightarrow TM}$

は線型変換としてよりも階数が低い。 の場合、サード定理は の像が の部分集合として測度 0 を持つことを主張する。 この結果の定式化は、座標パッチの可算な集合を取ることによって、ユークリッド空間のバージョンから導かれる。 定理の結論は局所的なものである。なぜなら、測度 0 の集合の可算な和集合は測度 0 の集合であり、測度 0 を持つ座標パッチの部分集合の性質は微分同相写像 の下で不変だからである。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$

この補題には多くのバリエーションがあり、他の分野の中でも特異点理論において基本的な役割を果たしている。このケースは1939年にアンソニー・P・モースによって証明され、 ^[2]一般的なケースは1942年にアーサー・サードによって証明された。 ^[1]${\displaystyle m=1}$

無限次元バナッハ多様体のバージョンはスティーブン・スメールによって証明された。^[3]

この主張は非常に強力であり、その証明には解析が必要です。位相幾何学では、ブラウワーの不動点定理やモース理論のいくつかの応用のように、「定数でない滑らかな写像には少なくとも 1 つの正則値がある」という弱い系を証明するために、この主張が頻繁に引用されます。

1965 年にサードは定理をさらに一般化し、 が に対してであり、がより厳密に小さい階数を持つ点の集合である場合、のr次元ハウスドルフ測度は0 であると述べました。^[4]特に、のハウスドルフ次元は最大でrです。注意: のハウスドルフ次元はrに任意に近くなることがあります。^[5]${\displaystyle f:N\rightarrow M}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$${\displaystyle A_{r}\subseteq N}$${\displaystyle x\in N}$${\displaystyle df_{x}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle f(A_{r})}$${\displaystyle f(A_{r})}$${\displaystyle f(A_{r})}$

• 汎用プロパティ

• ハーシュ、モリス W. (1976)、微分位相学、ニューヨーク：シュプリンガー、pp. 67–84、ISBN 0-387-90148-5。
• シュロモ・スターンバーグ（1964年）「微分幾何学講義」、ニュージャージー州エングルウッドクリフス：プレンティス・ホール、MR  0193578、Zbl  0129.13102。