サレン・キー位相

サレン・キートポロジーは、2次アクティブフィルタを実装するために使用される電子フィルタトポロジーであり、そのシンプルさが特に評価されています。^{[1]これは、}電圧制御電圧源（VCVS）フィルタトポロジーの退化した形式です。 1955年にMITリンカーン研究所のRPサレンとELキーによって導入されました。^[2]

VCVS フィルタは、実質的に無限の入力インピーダンスとゼロの出力インピーダンスを持つ電圧増幅器を使用して、2 極の ローパス、ハイパス、バンドパス、バンドストップ、またはオールパス 応答を実装します。VCVS フィルタを使用すると、インダクタを使用せずに高いQ 係数と通過帯域ゲインを実現できます。VCVS フィルタには独立性という利点もあります。つまり、VCVS フィルタは、ステージが互いのチューニングに影響を与えることなくカスケード接続できます。Sallen–Key フィルタは、ユニティ ゲインアンプ (つまり、バッファ アンプ)を使用する VCVS フィルタのバリエーションです。

1955 年、Sallen と Key は真空管 カソードフォロワ アンプを使用しました。カソード フォロワは、電圧ゲインが 1 のアンプの妥当な近似値です。現代のアナログ フィルタの実装では、演算増幅器(オペアンプとも呼ばれる) が使用されることがあります。入力インピーダンスが高く、ゲインを簡単に選択できるため、従来の非反転構成の演算増幅器がVCVS 実装でよく使用されます。^{[要出典] Sallen–Key フィルタの実装では、}電圧フォロワとして構成されたオペアンプがよく使用されますが、バッファ アンプにはエミッタ フォロワまたはソースフォロワも一般的に選択されます。

VCVSフィルタは部品の許容誤差に対して比較的耐性がありますが、高いQ値を得るには部品値の極端な広がりや高い増幅器ゲインが必要になる場合があります。^[1] 2段以上の段をカスケード接続することで高次フィルタを実現できます。

ユニティ ゲイン オペアンプを使用して実装された一般的なユニティ ゲイン Sallen-Key フィルタ トポロジを図 1 に示します。以下の分析は、オペアンプが理想的であるという仮定に基づいています。

オペアンプは負帰還構成であるため、入力と入力は一致している必要があります（つまり、）。ただし、反転入力は出力に直接接続されているため、 ${\displaystyle v_{+}}$${\displaystyle v_{-}}$${\displaystyle v_{+}=v_{-}}$${\displaystyle v_{-}}$${\displaystyle v_{\text{out}}}$

キルヒホッフの電流法則（KCL）をノードに適用すると、 ${\displaystyle v_{x}}$

式（１）と式（２）を組み合わせると、

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}.}$

式（１）とKCLをオペアンプの非反転入力に適用すると、 ${\displaystyle v_{+}}$

${\displaystyle {\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}={\frac {v_{\text{out}}}{Z_{4}}},}$

つまり

式（２）と式（３）を組み合わせると、

式（4）を変形すると伝達関数は次のようになる。

これは通常、2次の線形時間不変(LTI)システムを記述します。

コンポーネントが ではなくグランドに接続されている場合、フィルタはおよび コンポーネントで構成される電圧分割器と、およびコンポーネントで構成される別の電圧分割器がカスケード接続された状態になります。バッファ アンプは、コンポーネントの「下部」をフィルタの出力にブートストラップします。これにより、単純な 2 つの分割器の場合よりも改善されます。この解釈は、Sallen–Key フィルタがオペアンプの非反転入力を反転入力の下に配置して描かれることが多い理由であり、これにより出力とグランドの類似性が強調されます。 ${\displaystyle Z_{3}}$${\displaystyle v_{\text{out}}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{3}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle Z_{4}}$${\displaystyle Z_{3}}$

、、、およびに異なる受動部品（抵抗器やコンデンサなど）を選択することで、ローパス、バンドパス、およびハイパス特性を持つフィルタを作成できます。以下の例では、抵抗器の抵抗値は インピーダンスが${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle Z_{4}}$${\displaystyle Z_{3}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Z_{R}}$

${\displaystyle Z_{R}=R,}$

容量 のコンデンサの インピーダンスは${\displaystyle C}$${\displaystyle Z_{C}}$

${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{sC}},}$

ここで、（ここでは虚数単位を表す）は複素角周波数、 は純粋な正弦波入力の周波数です。つまり、コンデンサのインピーダンスは周波数に依存しますが、抵抗器のインピーダンスは依存しません。 ${\displaystyle s=j\omega =2\pi jf}$${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$

ユニティゲインローパス構成の例を図2に示します。ここではバッファとしてオペアンプを使用していますが、エミッタフォロワも有効です。この回路は、上記の一般的なケースと同等ですが、

${\displaystyle Z_{1}=R_{1},\quad Z_{2}=R_{2},\quad Z_{3}={\frac {1}{sC_{1}}},\quad Z_{4}={\frac {1}{sC_{2}}}.}$

この2次ユニティゲインローパスフィルタの伝達関数は

${\displaystyle H(s)={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}}},}$

ここで、減衰のない固有振動数 、減衰、Q値、減衰比は次のように表される。 ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

そして

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}}\right).}$

それで、

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}.}$

この係数は、フィルタの周波数応答のピークの高さと幅を決定します。このパラメータが増加すると、フィルタは、ほぼ単一の共振周波数で「鳴る」傾向があります(関連する説明については、「LC フィルタ」を参照してください)。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle f_{0}}$

この伝達関数には（有限の）零点がなく、複素s平面に2つの極が位置します。

${\displaystyle s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.}$

無限大には 2 つのゼロがあります (伝達関数は分母の各項でゼロになります)。 ${\displaystyle s}$

設計者は、アプリケーションに適したと を選択する必要があります。 値は、最終的な形状を決定する上で重要です。たとえば、通過帯域周波数応答が最大限に平坦な2 次バターワース フィルタの はです。比較すると、 の値は、2 つの同一の単純なローパス フィルタの直列カスケードに相当します。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle Q=1/2}$

2 つのパラメータと 4 つの未知数があるため、設計手順では通常、2 つの抵抗器間の比率とコンデンサ間の比率が固定されます。1 つの可能性は、と 間の比率を に対して に設定し、と間の比率をに対してに設定することです。つまり、 ${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 1/m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&=mR,\\R_{2}&=R/m,\\C_{1}&=nC,\\C_{2}&=C/n.\end{aligned}}}$

その結果、および式は次のように簡略化される。 ${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{RC}}}$

そして

${\displaystyle Q={\frac {mn}{m^{2}+1}}.}$

例えば、およびを多かれ少なかれ任意に選択することで、およびの適切な値を、望ましいおよびを考慮して計算することができます。実際には、実際の演算増幅器の非理想性により、部品の値の特定の選択は他の選択よりも優れたパフォーマンスを発揮します。^[3]たとえば、抵抗値が高いと回路のノイズ生成が増加し、バイポーラ入力トランジスタを備えたオペアンプの出力のDCオフセット電圧に寄与します。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

例えば、図3の回路は、およびを持ちます。伝達関数は次のように表されます。 ${\displaystyle f_{0}=15.9~{\text{kHz}}}$${\displaystyle Q=0.5}$

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {C_{2}(R_{1}+R_{2})} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}} _{\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}s^{2}}},}$

そして、代入後、この式は次の式に等しくなります。

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {\frac {RC(m+1/m)}{n}} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {R^{2}C^{2}} _{\frac {1}{{\omega _{0}}^{2}}}s^{2}}},}$

これは、すべての組み合わせに、同じものを提供するための何らかの組み合わせがいくつかあることを示しています。また、ローパス フィルターの場合も同様です。以下の他のフィルターにも、同様の設計アプローチが使用されています。 ${\displaystyle (R,C)}$${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

2次ユニティゲインサレンキーローパスフィルタの入力インピーダンスも設計者にとって興味深いものです。これはCartwrightとKaminsky ^[4]の式(3)で次のように 表されます。

${\displaystyle Z(s)=R_{1}{\frac {s'^{2}+s'/Q+1}{s'^{2}+s'k/Q}},}$

ここで、および。 ${\displaystyle s'={\frac {s}{\omega _{0}}}}$${\displaystyle k={\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}={\frac {m}{m+1/m}}}$

さらに、に対して、インピーダンスの大きさの最小値があり、これはCartwrightとKaminskyの式(16)で与えられ、次のように述べている ^{[4] 。}${\displaystyle Q>{\sqrt {\frac {1-k^{2}}{2}}}}$

${\displaystyle |Z(s)|_{\text{min}}=R_{1}{\sqrt {1-{\frac {(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}}{2Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}+2Q^{2}{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}}}}.}$

^{幸いなことに、この式は[4]}によってよく近似される。

${\displaystyle |Z(s)|_{\text{min}}\approx R_{1}{\sqrt {\frac {1}{Q^{2}+k^{2}+0.34}}}}$

この範囲外の値の場合、誤差を最小限に抑えるために 0.34 定数を変更する必要があります。 ${\displaystyle 0.25\leq k\leq 0.75}$${\displaystyle k}$

また、インピーダンスの最小値が発生する周波数は、CartwrightとKaminskyの式(15)で与えられます。^[4]すなわち、

${\displaystyle \omega _{\text{min}}=\omega _{0}{\sqrt {\frac {Q^{2}+{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}}.}$

この式は、カートライトとカミンスキーの式 (20) ^[4]を用いて近似することもできる。

${\displaystyle \omega _{\text{min}}\approx \omega _{0}{\sqrt {\frac {2Q^{2}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}}.}$

およびを備えた 2 次ユニティゲイン ハイパス フィルタを図 4 に示します。 ${\displaystyle f_{0}=72~{\text{Hz}}}$${\displaystyle Q=0.5}$

2次ユニティゲインハイパスフィルタの伝達関数は次のようになる。

${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+\underbrace {2\pi \left({\frac {f_{0}}{Q}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {(2\pi f_{0})^{2}} _{\omega _{0}^{2}}}},}$

ここで、減衰のない固有振動数と係数は、ローパスフィルタの説明で既に説明しました。上記の回路は、この伝達関数を次の式で実装しています。 ${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

（前と同じ）そして

${\displaystyle {\frac {1}{2\zeta }}=Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}(C_{1}+C_{2})}}.}$

それで

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}}}.}$

上記のローパス フィルターの設計に使用したアプローチと同様のアプローチに従います。

VCVSフィルタで実装された非ユニティゲインバンドパスフィルタの例を図5に示します。異なるトポロジと非ユニティゲインを提供するように構成されたオペアンプを使用していますが、一般的なSallen-Keyトポロジと同様の方法で解析できます。その伝達関数は次のように表されます。

${\displaystyle H(s)={\frac {\overbrace {\left(1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}\right)} ^{G}{\frac {s}{R_{1}C_{1}}}}{s^{2}+\underbrace {\left({\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}} _{{\omega _{0}}^{2}=(2\pi f_{0})^{2}}}}.}$

中心周波数 （すなわち、振幅応答がピークとなる周波数）は次のように表される。 ${\displaystyle f_{0}}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {R_{\text{f}}+R_{1}}{C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}R_{\text{f}}}}}.}$

Q係数は次のように表される。 ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&={\frac {\omega _{0}}{2\zeta \omega _{0}}}={\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}/Q}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}}{{\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {(R_{1}+R_{\text{f}})R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}R_{\text{f}}(C_{1}+C_{2})+R_{2}C_{2}\left(R_{\text{f}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}R_{1}\right)}}.\end{aligned}}}$

負帰還ループ内の電圧分割器は、オペアンプの「内部ゲイン」を制御します。 ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}.}$

内部ゲインが高すぎると、フィルターが振動します。 ${\displaystyle G}$

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