K-ε乱流モデル

K-イプシロン（k-ε）乱流モデルは、乱流条件の平均流れ特性をシミュレートするために数値流体力学（CFD）で使用される最も一般的なモデルの1つです。これは、2つの輸送方程式（偏微分方程式、PDE）によって乱流の一般的な説明を与える2方程式モデルです。K-イプシロンモデルの元々の動機は、混合長モデルを改良し、中程度から高度に複雑な流れにおける乱流長スケールを代数的に規定する代替手段を見つけることでした。^[1]

• 最初に輸送される変数は乱流運動エネルギー (k) です。
• 2 番目に輸送される変数は、乱流運動エネルギー (ε) の消散率です。

従来の乱流モデルとは異なり、k-εモデルは乱流運動エネルギーに影響を与えるメカニズムに焦点を当てています。混合長モデルにはこの種の一般性が欠けています。^[2]このモデルの基本的な仮定は、乱流粘性が等方性である、つまりレイノルズ応力と平均変形速度の比がすべての方向で同じであるということです。

正確なk-ε方程式には多くの未知数項と測定不能な項が含まれています。より実用的なアプローチとして、関連プロセスに関する最良の理解に基づいた標準k-ε乱流モデル（Launder and Spalding, 1974 ^[3]）が使用され、未知数が最小限に抑えられ、多数の乱流アプリケーションに適用できる方程式のセットが提示されます。

乱流運動エネルギーk ^[4]

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho k)}{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho ku_{i})}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[{\frac {\mu _{t}}{\sigma _{k}}}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}\right]+2{\mu _{t}}{E_{ij}}{E_{ij}}-\rho \varepsilon }$

浪費のため ^[4]${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho \varepsilon )}{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho \varepsilon u_{i})}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[{\frac {\mu _{t}}{\sigma _{\varepsilon }}}{\frac {\partial \varepsilon }{\partial x_{j}}}\right]+C_{1\varepsilon }{\frac {\varepsilon }{k}}2{\mu _{t}}{E_{ij}}{E_{ij}}-C_{2\varepsilon }\rho {\frac {\varepsilon ^{2}}{k}}}$

どこ

${\displaystyle u_{i}}$対応する方向の速度成分を表す

${\displaystyle E_{ij}}$変形速度の成分を表す

${\displaystyle \mu_{t}}$渦粘性を表す

${\displaystyle \mu _{t}=\rho C_{\mu }{\frac {k^{2}}{\varepsilon }}}$

これらの方程式は、いくつかの調整可能な定数、、およびで構成されています。これらの定数の値は、広範囲の乱流に対するデータフィッティングを何度も繰り返して得られたものです。これらの定数は次のとおりです。 ^[2]${\displaystyle \sigma_{k}}$${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }}$${\displaystyle C_{1\バレプシロン }}$${\displaystyle C_{2\varepsilon }}$

${\displaystyle C_{\mu}=0.09}$            ${\displaystyle \sigma_{k}=1.00}$            ${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }=1.30}$            ${\displaystyle C_{1\varepsilon }=1.44}$            ${\displaystyle C_{2\varepsilon }=1.92}$

k-εモデルは、平面せん断層^[5]と再循環流^[6]に特化して設計されています。このモデルは、工業用から環境用の流れまで幅広い用途で最も広く使用され、検証された乱流モデルであり、人気を博しています。このモデルは通常、比較的圧力勾配が小さい自由せん断層の流れや、レイノルズせん断応力が最も重要な閉じ込められた流れに有効です。^[7]また、初期条件や境界条件のみを指定すれば済む 最も単純な乱流モデルとも言えます。

しかし、メモリの点では混合長モデルよりも高価であり、2つの追加のPDEを必要とする。このモデルは、大きな逆圧力勾配を含む流れに対して精度が低下することが実験的に示されているため、入口やコンプレッサなどの問題には適さない^{。k -} εモデルは、非閉じ込め流、 ^{[ 8]}湾曲した境界層、回転流、非円形ダクト内の流れなど、さまざまな重要なケースでもパフォーマンスが低い。 ^[9]

実現可能な k-ε モデル: 実現可能な k-ɛ モデルの直接的な利点は、平面ジェットと円形ジェットの両方の拡散速度の予測精度が向上することです。また、回転、強い逆圧力勾配下の境界層、剥離、再循環を伴う流れに対しても優れた性能を発揮します。ほぼすべての比較基準において、実現可能な k-ɛ は複雑な構造の平均流を捉える優れた能力を発揮します。

k-ω モデル: ケース内に壁効果が存在する場合に使用されます。

レイノルズ応力方程式モデル：複雑な乱流の場合、レイノルズ応力モデルはより良い予測を提供することができます。^[10]このような流れには、高度の異方性、顕著な流線曲率、流れの分離、再循環ゾーン、平均回転効果の影響を伴う乱流が含まれます。

• 『数値流体力学入門：有限体積法（第 2 版）』、H. Versteeg、W. Malalasekera、Pearson Education Limited、2007 年、ISBN 0131274988 
• 『CFD のための乱流モデリング』第 2 版、Wilcox CD、DCW Industries、1998 年、ISBN 0963605100 
• 『乱流とその測定入門』、ブラッドショー、P.、ペルガモン・プレス、1971年、ISBN 0080166210