通常の全音階チューニング

通常の全音階調律は、TTSTTTS のシーケンスの任意の回転で配置された「トーン」(T) と「半音」(S) で構成される任意の音楽スケールです。これは、すべての T が同じサイズで、すべての S が同じサイズで、'S' が 'T' よりも小さい状態でオクターブに加算されます。このような調律では、ノートは 7 つの 5 度 (すべて同じサイズ (TTTS またはその順列)) のチェーンで接続され、平均律 5 度をジェネレーターとする 線形平均律になります。

ここで説明する通常の全音階では、T -s は全音、s -s は全音の半分、または約半分の大きさの半音です。しかし、より一般的な通常の全音階調律では、2 つのステップは、音楽セント(5 度、p5、685.71 ¢ から​​ 720 ¢ の間) でT = 171.43  ¢ (最高音でs = Tの場合) からT = 240 ¢ (最低音でs = 0 の場合) の範囲内の任意の関係になります。通常の全音階調律は、それらを説明するために使用される特定の全音階の音符に限定されないことに注意してください。

次のいずれかの値を与えると、 s、T 、および5度（p5）の対応するセントを決定できます。

全音階の半音sがゼロ ( T = 240 ¢ )に減じられると、オクターブはTTTTT、つまり 5 音平均律になります。半音が大きくなるにつれて、最終的にステップはすべて同じサイズになり、結果は 7 音平均律 ( s = T = 171.43 ¢ ) になります。これらの 2 つの極端な値は、「通常の」全音階調律には含まれません。これは、「通常」であるためには、5 つの大きなステップと 2 つの小さなステップのパターンが保持される必要があるためです。その間のすべては、半音がどれだけ小さくても完全に消えず、または半音がどれだけ大きくなっても、全音より厳密に小さいままである限り、通常です。

ここでの「規則的」とは、ピタゴラス音階からのマッピングの意味で理解され、すべての音程関係が保持されます。^[1] たとえば、すべての規則的な全音階チューニングでは、ピタゴラス全音階の場合と同様に、

• 音符は、オクターブに減じられた 6 つの 5 度音の連鎖、またはそれと同等の上昇 5 度音と下降 4 度音 (例:ハ長調のFCGDAEB ) によって接続されます。
• 等間隔の 5 度間隔で 3 つの音を連続して並べると (オクターブに縮小)、全音が生成されます (例: CGD )。
• 4 度間隔で配置された 6 つの音のシーケンスは、同様に半音を生成します (例: EADGCF )。
• 5 度間隔で配置された 5 つの音のシーケンス (例: CGDAE ) は、2 つの全音で構成される長 3 度を生成します。
• 4度間隔で並んだ4つの音の連鎖は短3度（ADGC）を生成する。

などなど、これらの例すべてにおいて、結果は「オクターブに下げられる」ことになります（シーケンス内の音が開始音より 1 オクターブ上を超えるたびに、オクターブ下げられます）。

sはTより小さくなければならないという「規則的」な規則を破り、 sのサイズをさらに大きくしてTより大きくすると、 2 つの大きなステップと 5 つの小さなステップを持つ不規則な音階が得られ、最終的にすべてのTが消えてssになり、オクターブが三全音に分割されます。ただし、これらの奇妙な音階は、それらを却下するためにここで言及されているだけであり、規則的な全音階チューニングではありません。

通常のダイアトニックチューニングはすべて線形音律、つまりオクターブと平均律5度の2つのジェネレータを持つ通常の音律です。平均律4度を代替ジェネレータとして使用することもできますが（たとえば、BEADGCF、上昇する4度をオクターブに縮小したもの）、平均律5度の方がより一般的な選択であり、いずれにしても、5度と4度はオクターブの補数であるため、完全4度ずつ上昇すると、 5度ずつ上昇するのと同じ結果になります。

すべての通常の全音階チューニングも生成されたコレクション（対称モーメントとも呼ばれます）であり、5度チェーンをどちらの方向にも継続して、12音システムFCGDAEBF ^♯ C ^♯ G ^♯ D ^♯ A ^{♯ を}取得できます。ここで、間隔F ^♯ - GはB ^♭ - Bなどと同じで、2つの間隔サイズを持つ別の対称モーメントです。

半音は 1 つSではなく、実際には 2 つあります。半音cと全音dです。d はSの別名です。半音と全音で 1 間隔を置いた 3 つの音符は、最初の音と最後の音の間で全音を形成します。cd = dc = Tです。この 2 つの音のピッチのわずかな差はコンマと呼ばれ、通常はそれを生成する調律システムの名前が接頭辞として付けられます。たとえば、シントニック コンマ(21.5  ¢ )、ピタゴラス コンマ(23.5 ¢ )、53  TETコンマ (22.6 ¢ ) などです。

5度間隔の8つの音符の連鎖は、最初の音と最後の音の間のスペースとして半音階の半音cを生成します。これは、短音を長音に上げるために必要なピッチの変更です。たとえば、 E ^♭からEへ。どの調律でも、半音階の半音は、フラット音とそのナチュラル音、またはナチュラル音とそのシャープ音の間、白鍵とその上の黒鍵（シャープとして調律されている場合）または下の黒鍵（フラットとして調律されている場合）の間です。ほとんどの調律では、2つの音程は異なります。上でSと呼ばれる全音階の半音dは、5度間隔の6つの音符のシーケンスのピッチの変更です（たとえば、EからFまたはBからCへ） 。どの調律でも、全音階の半音は、標準キーボード上で間に黒鍵がない2つの白鍵間の相対的なピッチ差です。半音階と全音階の半音のパターンは、   cd cd d cd cd d   またはそれを混ぜたバージョンです。ここで、7 等音システムは半音が 0 に近づく限界であり、5 音システムは全音半音が 0 に近づく限界です。

通常の全音階調律には 、イーズリー・ブラックウッドの「認識可能な全音階調律の構造」 ^[2]における「認識可能な範囲」内のすべての線形音律が含まれます。

• 5度は4/7から3/5オクターブの間に調律されます。
• 長秒と短秒は両方とも正です。
• 長二度が短二度より大きい。

しかし、彼の「認識範囲」は「通常の全音階チューニング」よりも制限されています。たとえば、彼は全音階の半音が少なくとも 25 セントの大きさであることを要求しています。要約については ^{[3] を参照してください。}

5度音が純正律よりもわずかに低い場合、それはシントニック・コンマを分散または和らげる歴史的なミーントーン調律の領域にあります。これには次のものが含まれます。

• 12音平均律、実質的に区別がつかない1/11⁠コンマ・ミーントーン
• 19平均律– ⁠に相当 1 /3⁠コンマ・ミーントーン; ほぼ純粋な⁠を達成 6 /5⁠ 短三度
• 31音平均律– ⁠に相当 1 /4⁠コンマ・ミーントーン⁠に非常に近い長三度を達成します 5 /4⁠ (387.1セント); 5度は696.77セント; 増6度は1セント以内⁠ 7 /4⁠ (ハーモニックセブンス)
• 43音平均律 – ⁠に相当 1 /5⁠コンマ・ミーントーン – ほぼ正確に純正な長七度を達成します⁠15/8⁠ ; 5番目は697.67セント
• 55音平均律 – ⁠に相当 1 /6⁠コンマ・ミーントーン^[4]– 有理全音階の三全音を達成する⁠ 45 /32⁠ ;5番目は698.18セント

5度がちょうど⁠ 3 /2⁠、つまり約 702 セントの場合、結果はピタゴラスの全音階チューニングになります。

5度の場合は、 ⁠よりわずかに狭い 3 /2⁠、その結果は分裂音律であり、ここで音律は分裂音の割合で測定される。分裂音の割合とは、8つの5度を1オクターブに減らしたものが、短6度よりもどれだけ鋭いかを表す。 ⁠ 8 /5⁠  。例えば、 ⁠ 1 /8⁠分裂気質は純粋な⁠ 8 /5⁠ 8つの5度音階の上昇チェーンで。53音平均律は、分離平均律によく近似しています。

5度を702.4セントから705.9セントの間でわずかに高く調律すると、比率がほぼ⁠の非常に高い長3度になります。14/ 11 ⁠ (417.508セント) と非常にフラットな短3度⁠13/ 11 ⁠ (289.210 セント)。これらの調律は「パラピタゴラス」調律として知られています。

705.882セントで、5度音程を広い方向に3.929セント下げると、17平均律の全音階になります。この点を超えると、通常の長3度と短3度は、 2-3-7の素因数を持つ数の単純な比率に近似します。 9 /7⁠または7度音程の長3度（435.084セント）と⁠ 7 /6⁠または7分音符の短3度（266.871セント）です。同時に、規則的な音は大きな⁠8/7⁠音（231.174セント）、および通常の短7度は、 ⁠の単純な比率で「ハーモニックセブンス」です。 7 /4⁠ (968.826 セント)。この 7 分音符の範囲は、約 711.11 セントまたは27 平均律まで、あるいはそれより少し広い範囲まで広がります。

そうなると、2つの極端な状況が残ります。

• 「インフレームアントーン」または「フラットトーン」の範囲は最もフラットな極限で、5 度は7 音平均律の通常の全音階の下限(685.71 セント) と 19 音平均律 (694.74 セント) あたりから始まる歴史的なミーントーンの範囲の間にあります。ここでは、全音階の半音が全音の大きさに近づきます。
  • 690.91セント（33音平均律の5番目、これは 1 /2⁠コンマ・ミーントーン）と 685.71 セントは「ディープトーン」の範囲と呼ばれることもあります。
• 「超七音律」または「超ピタゴラス音律」の範囲は、27音平均律の711.11セントから、通常の全音階の上限である720セントまたは5音平均律まで、最も鋭い範囲を網羅しています。5等分に近づくにつれて、全音階の半音はますます小さくなります。

平均律で構成された全音階では、5度の幅が通常の5度よりも広くなったり狭くなったりすることがある。 3 /2⁠  .いくつか例を挙げます。

• 15、17、22、27は、ちょうど5度よりも広い5度を持っています。 3 /2⁠
• 12（およびその倍数）、19、31、43は、 5度がちょうどよりも狭い。 3 /2⁠

シントニック音律という 用語は、

1. 平均律完全五度（P5）を生成器とし、オクターブを周期とする調律の連続体。
2. シントニックコンマで始まるコンマシーケンス（つまり、シントニックコンマがゼロに調整され、生成された長3度が生成された長2度2つと同じ幅になるもの）
3. P5調律の「調律範囲」では、生成される短二度は生成される長二度より大きくなく、ユニゾンより小さくもありません。^[5]

この組み合わせは、シントニック音律の調律範囲全体にわたって不変である音程間の関係のセットを定義するために必要かつ十分です。したがって、これはまた、調律の連続体全体にわたって、(a) これらの (疑似純正) 生成された音程の音と、(b) 同様に生成された疑似ハーモニック音色の対応する部分音との間の不変マッピングも定義します。したがって、シントニック音律とその音符に揃えられた音色との関係は、純正律とハーモニック シリーズ間の特別な関係の一般化として見ることができます。

音と部分音の間の不変のマッピングを全調律範囲にわたって維持することで、ダイナミック調性が可能になります。ダイナミック調性は、素数、円錐、豊かさなどの音色効果^[6]や、ポリフォニック調律のベンドやダイナミック調律の進行などの調性効果を含む調性の枠組みを新たに拡張したものです。^[7]

シントニック音律の調律連続体を弦、個々の調律をその弦のビーズと考えると、伝統的な微分音文献の多くはビーズ間の差異に焦点を当てているのに対し、シントニック音律は弦に沿った共通性に焦点を当てていると考えることができます。

シントニック音律の音は、ヴィッキ＝ヘイデン音符配置を使用して演奏するのが最適です。^[8]シントニック音律とヴィッキ＝ヘイデン音符配置は同じジェネレータと周期を使用して生成されるため、互いに同型です。したがって、ヴィッキ＝ヘイデン音符配置はシントニック音律の同型キーボードです。任意の音楽構造の運指パターンは、シントニック音律の調律連続体上のどの調律でも同じです。同型キーボードと連続可変調律の組み合わせは、上記のようにダイナミック調性をサポートします。 ^[7]

右の図に示すように、シントニック音律の有効な調律範囲には、現在普及しているオクターブの12音均等分割（12エド調律、12音平均律とも呼ばれる）、平均全音調律、ピタゴラス音律など、歴史的に重要な調律が数多く含まれています。シントニック音律の調律には、均等（12エド、 31エド）、不均等（ピタゴラス、平均全音）、循環、純正律があります。^{[9] [10]}

図 2 の凡例 (図の右側) は、D を中心とした P5 のスタックを示しています。結果として得られる各音符は、D を主音とするシントニック音律の音程を表します。図の本体は、シントニック音律の調律連続体全体で P5 の幅が変化すると、これらの音程の幅 (D から) がどのように変化するかを示しています。

• P5 ≈ 685.7 セントPlay ^ⓘでは、音程はちょうど 7 幅に収束し (0 セントと 1200 セントのオクターブ同等と想定)、7 edo が生成されます。S/T = 0。
• P5 ≈ 694.7 Play ^ⓘ (19-edo) では、これらの 19 の間隔間のギャップはすべて等しく、19-edo チューニングが生成されます。S/T = 2/3。
• P5 ≈ 696.8 Play ^ⓘ (31-edo) では、このような音程を 31 個積み重ねると、各音程の間に等しいギャップが表示され、31-edo チューニングが生成されます。S/T = 3/5。
• P5 = 700.0 Play ^ⓘ (12-edo) では、シャープ音とフラット音が等しくなり、12-edo チューニングが生成されます。S/T = 1/2。
• P5 ≈ 701.9 Play ^ⓘ (53-edo) では、このような音程を 53 個積み重ねると (それぞれ純正な 5 度より 3/44 セント短い)、31 オクターブになり、53-edo チューニングが生成されます。S/T = 4/9。
• 等....
• P5 = 720.0 セントで再生^ⓘすると、ピッチはちょうど 5 幅に収束し、5 edo が生成されます。S/T = 1。

• 研究プログラムMusica Facta ^[11]は、シントニック音律の音楽理論を調査しています。
• Guido 2.0 研究プロジェクトの音楽理論は、シントニック音律に基づいています。Guido 2.0 は、音楽のシントニック音律の不変特性 (オクターブ不変、移調不変、調律不変、運指不変) を幾何学的不変で明らかにすることで、音楽教育の効率を 10 倍向上させることを目指しています。Guido 2.0 は、Musica Facta (上記) の音楽教育の側面です。