独立同分布の確率変数

確率変数が${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$は、${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$。 させて${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}$そして${\displaystyle F_{Y}(y)=\オペレーター名 {P} (Y\leq y)}$累積分布関数は${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$それぞれ、 であり、それらの同時累積分布関数をで表す。${\displaystyle F_{X,Y}(x,y)=\operatorname {P} (X\leq x\land Y\leq y)}$。

2つの確率変数${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$独立であるのは、${\displaystyle F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y)}$すべての人々のために${\displaystyle x,y\in I}$（より単純なイベントの場合、2 つのイベント）${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$独立であるのは、${\displaystyle P(A\land B)=P(A)\cdot P(B)}$（独立性（確率論）§  2つの確率変数も参照。）

2つの確率変数${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$が同一分布であるのは、${\displaystyle F_{X}(x)=F_{Y}(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in I}$[ ^{6 ]​}

2つの確率変数${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$独立かつ同一の分布である場合、すなわち、

この定義は、2つ以上の確率変数にも自然に拡張できます。${\displaystyle n}$確率変数${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$独立であり（詳しくは「独立性（確率論）§ 2 を超える確率変数」を参照）、かつ同一分布である場合、つまり、以下の条件を満たす場合に限り、 iidである。 

どこ${\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1}\land \ldots \land X_{n}\leq x_{n})}$は、${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$。

公平なルーレットでも不公平なルーレットでも、回転の結果の系列は独立同分布（iid）である。このことから、例えばルーレットのボールが20回連続で「赤」に止まったとしても、次の回転で「黒」が出る確率は、他の回転と比べて高くも低くもない（ギャンブラーの誤謬を参照）。

コインを10回投げ、その結果を変数に書き留めてください。${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{10}}$。

1. 独立：各結果${\displaystyle A_{i}}$他の結果には影響しない${\displaystyle A_{j}}$（のために${\displaystyle i\neq j}$1から10まで）つまり変数${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{10}}$それらは互いに独立している。
2. 同一分布：コインが公平（表が出る確率が1/2）であろうと偏りがあろうと、毎回同じコインを使用する限り、表が出る確率はすべての試行で一定に保たれます。

このような独立同分布変数の列は、ベルヌーイ過程とも呼ばれます。

サイコロを10回振って、結果を変数に保存する${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{10}}$。

1. 独立性：サイコロを振った結果が次の結果に影響を与えない、つまり10個の変数は互いに独立している。
2. 同一分布：サイコロが公平であろうと重み付けされていようと、どのロールでも、それぞれの結果が出る確率は他のロールと全く同じになります。これに対し、重み付けされたものとそうでないものを含む10個の異なるサイコロを振っても、同一分布の変数は生成されません。

52枚のカードからなる標準的なトランプのデッキからカードを1枚選び、デッキに戻します。これを52回繰り返します。キングが現れるタイミングを観察してください。

1. 独立性：各観測結果が次の観測結果に影響を与えないため、52個の結果は互いに独立しています。一方、引いたカードをデッキから取り除くと、その後のカードの引きに影響が生じ（キングを1枚引くと、2枚目のキングを引く確率が低くなるなど）、観測結果は独立性を失います。
2. 同一分布: カードを 1 枚引いて (その後カードをデッキに戻す)、毎回キングが出る確率は 4/52 であり、これは毎回同じ確率であることを意味します。

独立同分布変数の主な特性を共有する最も一般的な概念は、ブルーノ・デ・フィネッティによって導入された交換可能な確率変数です。交換可能性とは、変数が独立ではない場合でも、将来の変数が過去の変数と同じように振る舞うことを意味します。形式的には、有限列の任意の値は、それらの値の任意の順列と同じくらい起こりやすく、結合確率分布は対称群の下で不変です。

これは有用な一般化を提供する。例えば、非復元抽出は独立ではないが、交換可能である。

確率微分方程式では、独立同分布（iid）変数は離散時間レヴィ過程として考えられます。各変数は、ある時点から別の時点にかけてどれだけ変化するかを示します。例えば、ベルヌーイ試行のシーケンスはベルヌーイ過程として解釈されます。

これは連続時間レヴィ過程にも一般化でき、多くのレヴィ過程は独立同分布変数の極限と見なすことができる。例えば、ウィーナー過程はベルヌーイ過程の極限である。