レイリー・テイラー不安定性

システムに導入される摂動は、無限小振幅の速度場によって記述される。${\displaystyle (u'(x,z,t),w'(x,z,t)).\,}$流体は非圧縮性であると仮定されているため、この速度場は流れ関数表現を持つ。

$${\displaystyle \mathbf {u} '=(u'(x,z,t),w'(x,z,t))=(\psi _{z},-\psi _{x}),\,}$$

ここで、添え字は偏微分を表す。さらに、初期状態で静止している非圧縮性流体では渦度はなく、流体は非回転状態のままであるため、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {u} '=0\,}$ストリーム関数表現では、${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0.\,}$次に、システムのx方向の並進不変性により、次の仮説を立てることが可能です。

$${\displaystyle \psi \left(x,z,t\right)=e^{i\alpha \left(x-ct\right)}\Psi \left(z\right),\,}$$

どこ${\displaystyle \alpha }$は空間波数である。したがって、問題は次の式を解くことに帰着する。

$${\displaystyle \left(D^{2}-\alpha ^{2}\right)\Psi _{j}=0,\,\,\,\ D={\frac {d}{dz}},\,\,\,\ j=L,G.\,}$$

問題領域は次のとおりです。ラベル「L」の流体は、以下の領域に存在します。${\displaystyle -\infty <z\leq 0\,}$一方、「G」というラベルが付いた流体は上半平面に存在する。${\displaystyle 0\leq z<\infty \,}$解を完全に特定するには、境界と界面における条件を固定する必要があります。これにより波速cが決定され、ひいてはシステムの安定性特性が決定されます。

これらの条件のうち最初のものは境界の詳細によって提供される。摂動速度${\displaystyle w'_{i}\,}$境界から流体が漏れ出ないように、無流束条件を満たす必要がある。${\displaystyle z=\pm \infty .\,}$したがって、${\displaystyle w_{L}'=0\,}$の上${\displaystyle z=-\infty \,}$、 そして${\displaystyle w_{G}'=0\,}$の上${\displaystyle z=\infty \,}$ストリーム関数の観点から言えば、これは

$${\displaystyle \Psi _{L}\left(-\infty \right)=0,\qquad \Psi _{G}\left(\infty \right)=0.\,}$$

残りの3つの条件は、インターフェースの詳細によって提供されます。${\displaystyle z=\eta \left(x,t\right)\,}$。

垂直速度の連続性:${\displaystyle z=\eta }$垂直速度が一致すると、${\displaystyle w'_{L}=w'_{G}\,}$ストリーム関数表現を用いると、次のようになります。

$${\displaystyle \Psi _{L}\left(\eta \right)=\Psi _{G}\left(\eta \right).\,}$$

詳細について${\displaystyle z=0\,}$与える

$${\displaystyle \Psi _{L}\left(0\right)=\Psi _{G}\left(0\right)+{\text{H.O.T.}},\,}$$

ここで、HOTは「高次項」を意味します。この式は、必要な界面条件です。

自由表面条件：自由表面では${\displaystyle z=\eta \left(x,t\right)\,}$運動学的条件が成り立つ。

$${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+u'{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=w'\left(\eta \right).\,}$$

線形化すると、これは単純に

$${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}=w'\left(0\right),\,}$$

速度が${\displaystyle w'\left(\eta \right)\,}$表面上で線形化される${\displaystyle z=0\,}$正規モードとストリーム関数表現を用いると、この条件は次のようになる。${\displaystyle c\eta =\Psi \,}$2番目の界面条件。

界面を横切る圧力関係:表面張力がある場合、界面上の圧力差は${\displaystyle z=\eta }$ヤング・ラプラス方程式によって与えられる。

$${\displaystyle p_{G}\left(z=\eta \right)-p_{L}\left(z=\eta \right)=\sigma \kappa ,\,}$$

ここで、σは表面張力、κは界面の曲率であり、線形近似では次のようになる。

$${\displaystyle \kappa =\nabla ^{2}\eta =\eta _{xx}.\,}$$

したがって、

$${\displaystyle p_{G}\left(z{=}\eta \right)-p_{L}\left({z}=\eta \right)=\sigma \eta _{xx}.\,}$$

しかし、この条件は全圧力（ベース＋摂動）を指すため、

$${\displaystyle \left[P_{G}\left(\eta \right)+p'_{G}\left(0\right)\right]-\left[P_{L}\left(\eta \right)+p'_{L}\left(0\right)\right]=\sigma \eta _{xx}.}$$

（いつものように、摂動量は表面z=0上で線形化できる。）静水圧平衡を用いて、次の形式で

$${\displaystyle P_{L}=-\rho _{L}gz+p_{0},\qquad P_{G}=-\rho _{G}gz+p_{0},\,}$$

これは

$${\displaystyle p'_{G}-p'_{L}=g\eta \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)+\sigma \eta _{xx},\qquad {\text{on }}z=0.}$$

摂動圧力は、摂動に対する 線形化されたオイラー方程式の水平運動量方程式を用いて、流れ関数の観点から評価される。$${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}'}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho _{i}}}{\frac {\partial p_{i}'}{\partial x}}\,}$$ と${\displaystyle i=L,G,\,}$収穫する

$${\displaystyle p_{i}'=\rho _{i}cD\Psi _{i},\qquad i=L,G.\,}$$

この最後の方程式とジャンプ条件を${\displaystyle p'_{G}-p'_{L}}$一緒に、

$${\displaystyle c\left(\rho _{G}D\Psi _{G}-\rho _{L}D\Psi _{L}\right)=g\eta \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)+\sigma \eta _{xx}.\,}$$

2番目の界面条件を代入すると${\displaystyle c\eta =\Psi \,}$そして、ノーマルモード表現を用いると、この関係は次のようになる。

$${\displaystyle c^{2}\left(\rho _{G}D\Psi _{G}-\rho _{L}D\Psi _{L}\right)=g\Psi \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)-\sigma \alpha ^{2}\Psi ,\,}$$

ラベルを貼る必要がない場所${\displaystyle \Psi \,}$（その派生形のみ）なぜなら${\displaystyle \Psi _{L}=\Psi _{G}\,}$ で${\displaystyle z=0.\,}$

解決

成層流のモデルが構築されたので、解法はすぐに得られる。流線関数方程式${\displaystyle \left(D^{2}-\alpha ^{2}\right)\Psi _{i}=0,\,}$境界条件付き${\displaystyle \Psi \left(\pm \infty \right)\,}$解決策があります

$${\displaystyle \Psi _{L}=A_{L}e^{\alpha z},\qquad \Psi _{G}=A_{G}e^{-\alpha z}.\,}$$

最初の界面条件は、${\displaystyle \Psi _{L}=\Psi _{G}\,}$で${\displaystyle z=0\,}$強制する${\displaystyle A_{L}=A_{G}=A.\,}$第三の界面条件は、

$${\displaystyle c^{2}\left(\rho _{G}D\Psi _{G}-\rho _{L}D\Psi _{L}\right)=g\Psi \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)-\sigma \alpha ^{2}\Psi .\,}$$

この方程式に解を代入すると、次の関係が得られます。

$${\displaystyle Ac^{2}\alpha \left(-\rho _{G}-\rho _{L}\right)=Ag\left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)-\sigma \alpha ^{2}A.\,}$$

Aは両辺から打ち消し合い、残りは次のようになります。

$${\displaystyle c^{2}={\frac {g}{\alpha }}{\frac {\rho _{L}-\rho _{G}}{\rho _{L}+\rho _{G}}}+{\frac {\sigma \alpha }{\rho _{L}+\rho _{G}}}.\,}$$

この結果の意味を完全に理解するには、表面張力がゼロの場合を考えてみるとよい。すると、

$${\displaystyle c^{2}={\frac {g}{\alpha }}{\frac {\rho _{L}-\rho _{G}}{\rho _{L}+\rho _{G}}},\qquad \sigma =0,\,}$$

そして明らかに

• もし${\displaystyle \rho _{G}<\rho _{L}\,}$、${\displaystyle c^{2}>0\,}$cは実数です。これは、ライターオイルが上に溜まったときに起こります。
• もし${\displaystyle \rho _{G}>\rho _{L}\,}$、${\displaystyle c^{2}<0\,}$cは純虚数である。これは、より重い流体が上に浮く場合に起こる。

さて、重い方の液体が上に溜まると、${\displaystyle c^{2}<0\,}$、 そして

$${\displaystyle c=\pm i{\sqrt {\frac {g{\mathcal {A}}}{\alpha }}},\qquad {\mathcal {A}}={\frac {\rho _{G}-\rho _{L}}{\rho _{G}+\rho _{L}}},\,}$$

どこ${\displaystyle {\mathcal {A}}\,}$はアトウッド数です。正の解を取ると、解は次の形式になります。

$${\displaystyle \Psi \left(x,z,t\right)=Ae^{-\alpha |z|}\exp \left[i\alpha \left(x-ct\right)\right]=A\exp \left(\alpha {\sqrt {\frac {g{\tilde {\mathcal {A}}}}{\alpha }}}t\right)\exp \left(i\alpha x-\alpha |z|\right)\,}$$

そしてこれは、インターフェース位置ηと以下の関係で結び付けられる。${\displaystyle c\eta =\Psi }$.次に定義します${\displaystyle B=A/c.\,}$