流体糸の分解

流体糸の分解とは、単一の流体の塊が複数の小さな流体の塊に分解するプロセスです。このプロセスは、流体の塊が引き伸ばされて、大きな流体の塊の間に細い糸状の領域が形成されるという特徴があります。糸状の領域は、破断するまで細くなり続け、個々の流体の液滴を形成します。

糸の分解は、2 種類の流体または真空中の流体が表面エネルギーを持つ自由表面を形成する場所で発生します。流体の体積を収容するのに必要な最小表面積よりも大きい表面積が存在する場合、システムの表面エネルギーは過剰になります。最小エネルギー状態にないシステムは、より低いエネルギー状態に移動するように再配置を試み、その結果、流体はより小さな塊に分解され、表面積が減少することでシステムの表面エネルギーが最小化されます。糸の分解プロセスの正確な結果は、分解される糸の 表面張力、粘度、密度、および直径によって異なります。

液滴形成の研究には長い歴史があり、最初はレオナルド・ダ・ヴィンチの研究に遡ります。彼は次のように書いています。^[1]

「水はそれ自体に粘り強さがあり、粒子間の凝集力も持っています。 […] これは、一滴が残りの部分から分離するプロセスで見られます。残りの部分は、それを伸ばしている一滴の重さによって、可能な限り引き伸ばされます。そして、一滴がこの塊から切り離された後、塊は重いものの性質に反する動きで上方に戻ります。」

こうして彼は、水滴の落下は重力によるものであり、糸の分解を促すメカニズムは水分子の凝集力によるものだと正しく結論付けた。

流体糸の破壊に関する最初の正しい分析は、1804年から1805年の間にトーマス・ヤングによって定性的に、ピエール・シモン・ラプラスによって数学的に決定されました。 ^{[2] [3]}彼らは、糸の破壊の原因が表面張力の特性にあると正しく判断しました。さらに、流体糸に過剰な圧力を生み出す上で平均曲率の重要性も推測しました。彼らの分析により、表面張力には2つの働きがあることが示されました。1つは、垂れ下がった液滴を支えることができる弾性メカニズム、もう1つは、糸の破壊を促進する毛細管圧による圧力メカニズムです。

1820年代、イタリアの物理学者で水力技術者のジョルジョ・ビドーネは、様々な形状の開口部から噴出する水流の変形を研究した。^[4] フェリックス・サバールは1833年にストロボスコープ技術を用いて糸の破断を定量的に測定する実験を行った。^[5] 彼は、破断は自発的なプロセスであり、外部からの刺激がなくても起こると指摘した。この研究により、タンクから噴出する水流から液滴が生成される速度は、ノズルの半径に反比例し、タンク内の圧力に比例することを突き止めた。これらの観察は、ジョゼフ・プラトーの研究に役立ち、ジェットの破断と表面エネルギーの関係を確立した。^[6]プラトーは流体糸上で最も不安定な擾乱波長を判定することができ、これは後にレイリー卿によってジェットの力学を説明するために改訂された。

表面の乱れが大きくなると、非線形理論を適用する必要があります。大きな乱れのあるジェットの挙動は、マグナスとレナードによって実験的に調べられました。^{[7] [8]}彼らの実験は、高速写真の導入により、大きなメイン液滴に加えて生成される液滴であるサテライト液滴の特性を明らかにするのに役立ちました。高速写真は現在、糸の分裂を実験的に分析するための標準的な方法です。

計算能力の向上に伴い、数値シミュレーションが、流体の崩壊を理解するための主な手段として、実験に取って代わり始めている。しかし、多くの液体の自由表面をその複雑な挙動のために正確に追跡することは依然として困難である。最も成功したのは、グリーン関数が分かっている低粘度および高粘度の流体で、境界積分法を使用できる場合である。Dommermuth と Yue は、Schulkes と同様に、この方法によって非回転、非粘性の流れを特徴付けた。^{[9] [10]} Youngren と Acrivos は、高粘度の液体中の泡の挙動を検討した。^[11] Stone と Leal はこの初期の研究を拡張し、個々の液滴のダイナミクスを検討した。^[12]中程度の粘度の流体の場合、レベルセットや流体の体積などの自由表面を決定する方法とともに、ナビエ・ストークス方程式を使用した完全なシミュレーションが必要である。完全なナビエ・ストークス・シミュレーションを使用した最も初期の研究は、インクジェット技術に焦点を当てた Fromm によって行われた。^[13]このようなシミュレーションは、現在も活発に研究されている分野です。

流体糸またはジェットの分解プロセスは、流体の自由表面における小さな乱れの発生から始まります。これは、流体糸分解の線形理論として知られています。これらの乱れは常に存在し、流体容器の振動や自由表面のせん断応力の不均一性など、さまざまな原因によって発生する可能性があります。一般に、これらの乱れは任意の形をとるため、厳密に検討することは困難です。したがって、乱れのフーリエ変換を行って、任意の乱れを糸の表面上のさまざまな単一波長の乱れに分解すると便利です。そうすることで、乱れのどの波長が時間の経過とともに大きくなり、どの波長が減衰するかを判断できます。^[14]

波長の増大と減衰は、摂動波長が流体糸の内部に及ぼす圧力の変化を調べることによって判定できます。糸の自由表面が変形すると、毛細管圧力によって糸の内部圧力が変化します。毛細管圧力は、表面の特定の場所における界面の平均曲率の関数です。つまり、圧力は表面の形状を決定する 2 つの曲率半径に依存します。分解中の流体糸の薄い領域内では、最初の曲率半径が厚い領域の曲率半径よりも小さくなるため、薄い領域から厚い領域に液体を押し出す傾向がある圧力勾配が生じます。ただし、2 番目の曲率半径は分解プロセスにとって依然として重要です。一部の摂動波長では、2 番目の曲率半径の効果が最初の曲率半径の圧力効果を上回り、薄い領域よりも厚い領域に大きな圧力が発生します。これにより、流体が薄くなった領域に押し戻され、糸は元の乱れのない形状に戻ります。ただし、他の摂動波長では、2 番目の曲率半径によって誘発される毛細管圧力が、最初の曲率半径の毛細管圧力を強化します。これにより、流体が薄くなった領域から厚くなった領域に押し出され、糸の分解がさらに促進されます。

したがって、摂動の波長は、特定の流体糸が小さな流体の塊に分解されるかどうかを決定する上で重要なパラメータです。摂動波長を厳密に数学的に調べると、特定の糸に対してどの波長が安定しているか、またどの摂動波長が最も急速に成長するかを示す関係が得られます。流体糸の分解によって生じる流体の塊のサイズは、最も急速に成長する摂動波長によって概算できます。

線形理論は自由表面上の小さな乱れの成長を考慮するのに便利ですが、乱れが大きな振幅にまで成長すると、非線形効果が分解挙動を支配し始めます。糸の非線形挙動は最終的な分解を左右し、最終的に結果として生じる流体塊の最終的な形状と数を決定します。

非線形性は自己相似性の使用によって捉えられる。自己相似性は、半径がゼロに近づくときの流体糸の挙動が、有限の半径を持つ流体糸の挙動と同じであると仮定する。非線形糸挙動を詳細に理解するには、適切なスケーリング挙動を生成するために漸近展開を使用する必要がある。特定の状況に関連する力に基づいて、流体糸の非線形挙動に対する多数の解が見出されている。^{[15] [16] [17]}

流体の糸やジェットが崩壊する方法は、レイノルズ数、ウェーバー数、オーネゾルゲ数、擾乱波長などのいくつかのパラメータによって決まります。これらの数値は流体力学では一般的ですが、スケールとして選択されるパラメータは糸の崩壊に適切なものでなければなりません。最もよく選択される長さのスケールは流体の糸の半径であり、速度はほとんどの場合、バルク流体の運動の速度とみなされます。ただし、これらのスケールは、検討対象の問題の特性に基づいて変更される可能性があります。

レイノルズ数は、ねじ山内の慣性と粘性効果の比率です。レイノルズ数が大きい場合、ねじ山の動きの影響は粘性散逸よりはるかに大きくなります。粘性はねじ山に対して最小限の減衰効果しか与えません。レイノルズ数が小さい場合、粘性散逸は大きく、ねじ山からの乱れは急速に減衰されます。

ウェーバー数は、糸内の慣性と表面張力の影響の比率です。ウェーバー数が大きい場合、糸の慣性は大きくなり、曲がった表面を平らにする表面張力の傾向に抵抗します。ウェーバー数が小さい場合、表面の乱れによる毛細管圧力の変化は大きく、表面張力が糸の挙動を支配します。

オーネゾルゲ数は、糸内の粘性効果と表面張力効果の比率です。慣性の影響と速度スケールの必要性を排除するため、レイノルズ数とウェーバー数を個別に表すよりも、オーネゾルゲ数でスケーリング関係を表す方が便利な場合がよくあります。

擾乱波長は、ジェットの表面における擾乱の特性長さであり、任意の擾乱はフーリエ変換によってその構成成分に分解できると仮定します。擾乱の波長は、特定の擾乱が時間の経過とともに増大するか減少するかを判断する上で重要です。

低粘性液体の線形安定性は、1873年にプラトーによって初めて導き出されました。^[14]しかし、レイリー卿が粘性流体を含むように理論​​を拡張したため、彼の解はレイリー・プラトー不安定性として知られるようになりました。レイリー・プラトー不安定性は、流体力学的安定性や摂動解析の入門ケースとしてよく使用されます。

プラトーは、慣性および表面張力の影響のみが存在する場合の流体の糸の安定性を考慮しました。自由表面上の任意の擾乱をその構成高調波/波長に分解することにより、擾乱の観点からジェットの安定性の条件を導き出すことができました。

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma k}{\rho a^{2}}}{\frac {I_{1}(ka)}{I_{0}(ka)}}\left(1-k^{2}a^{2}\right),}$

ここで、ω は摂動の成長率、σ は流体の表面張力、kは摂動の波数、ρ は流体の密度、aは摂動を受けていない流体の初期半径、I は第 1 種の修正ベッセル関数です。成長率を波数の関数として計算すると、最も速く成長する擾乱波長は次のときに発生することがわかります。

${\displaystyle \lambda _{\text{max}}\approx 9.02a.}$

流体スレッドの半径が大きくなるにつれて、最大不安定性の波長は長くなります。同様に重要なのは、不安定モードは次の場合にのみ発生するということです。

${\displaystyle ka<1.}$

レイノルズとその後のトモキタはプラトーの研究を拡張し、粘性糸の線形安定性を考慮した。レイリーは外部流体が存在しない状態で粘性を持つ粘性糸の安定性を求めた。^[18] トモキタは、独自の粘性を持つ外部流体が存在する状態での流体糸の安定性を求めた。^[19] 彼は、流体糸の粘度が外部環境よりもはるかに大きい場合、外部環境の粘度が流体糸よりもはるかに大きい場合、および液体の粘度が任意の一般的な場合の3つのケースを検討した。 ${\displaystyle \mu_{A}}$${\displaystyle \mu_{B}}$

流体糸の粘性が外部環境よりはるかに高い極限ケースでは、外部環境の粘性は成長率から完全に減少します。したがって、成長率は糸の初期半径、摂動波長、糸の表面張力、糸の粘性のみの関数になります。

${\displaystyle \omega ={\frac {\sigma \left(k^{2}a^{2}-1\right)}{2a\mu _{A}}}{\frac {1}{k^{2}a^{2}+1-k^{2}a^{2}I_{0}^{2}(ka)/I_{1}^{2}(ka)}}}$

これをプロットすると、最も長い波長が最も不安定であることがわかります。同様に重要な点として、流体糸の粘性はどの波長が安定するかには影響しないことがわかります。粘性は、特定の摂動が時間の経過とともにどれだけ速く増大または減少するかを低下させるように作用するだけです。

このケースが当てはまる例としては、ほとんどすべての液体が空気環境で糸/ジェットの分解を起こす場合が挙げられます。

流体糸の外部環境が糸自体よりもはるかに粘性が高いという極限の場合、流体糸の粘性は摂動成長率から完全に低下します。したがって、成長率は糸の初期半径、摂動波長、糸の表面張力、外部環境の粘性、および第 2 種の 2 次ベッセル関数のみの関数になります。

${\displaystyle \omega ={\frac {\sigma \left(1-k^{2}a^{2}\right)}{2a\mu _{B}}}{\frac {1}{k^{2}a^{2}+1-k^{2}a^{2}K_{0}^{2}(ka)/K_{1}^{2}(ka)}}}$

成長率を摂動波長の関数としてプロットすると、最も不安定な波長は最長波長で再び発生し、外部環境の粘性は、摂動が時間の経過とともにどれだけ速く成長または減衰するかを低下させるようにのみ作用することがわかります。

このケースが当てはまる例としては、気泡が液体に入るときや、水が蜂蜜の中に落ちるときなどが挙げられます。

2 つの粘性流体の一般的なケースを直接解くのははるかに困難です。Tomotika は次のように解決法を表現しました。

${\displaystyle \omega ={\frac {\sigma \left(1-k^{2}a^{2}\right)}{2a\mu _{B}}}\Phi (ka)}$

ここで次のように定義されます: ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (ka)={}&{\frac {N(ka)}{D(ka)}}\\N(ka)={}&I_{1}(ka)\Delta _{1}-\{kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)\}\Delta _{2}\\D(ka)={}&{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}\{kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)\}\Delta _{1}-{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}\left\{\left(k^{2}a^{2}+1\right)I_{1}(ka)-kaI_{0}(ka)\right\}\Delta _{2}\\&-\{kaK_{0}(ka)+K_{1}(ka)\}\Delta _{3}-\left\{\left(k^{2}a^{2}+1\right)K_{1}(ka)+kaK_{0}(ka)\right\}\Delta _{4}\end{aligned}}}$

係数は、次の行列の行列式として最も簡単に表現されます。 ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}&={\begin{vmatrix}kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)-K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{1}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)\end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{2}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)-K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)&-K_{0}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{1}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)\end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{3}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)-K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)&I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{1}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)&-kaK_{0}(ka)\end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{4}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)&I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&{\frac {\mu _{a}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)&K_{1}(ka)\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

結果として得られる解は、糸と外部環境の粘性、および摂動波長の関数のままです。最も不安定な粘度と摂動の組み合わせは、 のときに発生します。 ${\displaystyle \mu _{A}/\mu _{B}\approx 0.28}$${\displaystyle \lambda \approx 10.66a}$

ほとんどのアプリケーションでは、問題となる 2 つの流体の粘度が大きく異なるため、制限ケースのいずれかを使用できるため、一般的なケースを使用する必要はありません。ただし、油の混合や油と水の混合など、一部の例では、一般的なケースの使用が必要になる場合があります。

サテライト液滴は二次液滴とも呼ばれ、糸の分解プロセス中に大きなメイン液滴に加えて生成される液滴です。この液滴は、メイン液滴をより大きな流体塊から垂らしているフィラメント自体が流体塊から分離したときに発生します。フィラメントに含まれる流体は、メイン液滴の分離によって加えられた反動の乱れにより、単一の塊のままになるか、分解することがあります。サテライト液滴の生成は流体の特性に基づいて予測できますが、正確な位置と量は予測できません。^{[20] [21]}

一般的に、二次液滴は望ましくない現象であり、特に液滴の正確な堆積が重要な用途では望ましくありません。サテライト液滴の生成は、糸の分解の最終段階付近における問題の非線形ダイナミクスによって左右されます。

日常生活には、流体糸の分解の例が数多く存在します。これは、人が経験する最も一般的な流体力学現象の 1 つであるため、ほとんどの人はそのプロセスについてあまり考えません。

水滴が滴るのは日常茶飯事です。蛇口から水が流れ出ると、蛇口に付着した糸状のものが細くなり始め、最終的には主たる水滴が表面から離れてしまいます。^[22]糸状のものは、分解を防ぐのに十分な速さで蛇口に引き込むことができず、いくつかの小さなサテライト滴に分解します。^[22]

気泡は、もう一つの一般的な崩壊現象です。水槽などの液体の入ったタンクに空気が入ると、糸は再び底部で縮み、泡が発生します。ストローからグラスに泡を吹き込むのも、ほぼ同じように動作します。

ピッチドロップ実験は、高粘性のタールピッチを使用した有名な流体分解実験です。分解速度が非常に遅くなるため、1927 年以降、わずか 11 滴しか落ちていません。

蜂蜜は十分に粘性が高いため、蜂蜜の糸によって、崩壊につながる表面の乱れがほぼ完全に減衰されます。その結果、個々の滴ではなく、長い蜂蜜の糸が生成されます。