レイリー・プレセ方程式

流体力学 において、レイリー・プレセ方程式またはベサント・レイリー・プレセ方程式は、非圧縮性流体の無限体における球状気泡の運動を支配する非線形常微分方程式である。 ^{[1] [2] [3] [4]} その一般的な形は通常次のように書かれる。

どこ

${\displaystyle \rho_{L}}$周囲の液体の密度であり、一定であると仮定される

${\displaystyle R(t)}$泡の半径

${\displaystyle \nu_{L}}$周囲の液体の動粘性であり、一定であると仮定される

${\displaystyle \sigma}$気泡と液体の界面の表面張力である

${\displaystyle \Delta P(t)=P_{\infty }(t)-P_{B}(t)}$ここで、は気泡内の圧力であり、均一であると仮定され、は気泡から無限に離れた外部圧力である。${\displaystyle P_{B}(t)}$${\displaystyle P_{\infty }(t)}$

が既知で が与えられている場合、レイリー・プレセ方程式を使用して時間とともに変化する気泡の半径を解くことができます。 ${\displaystyle P_{B}(t)}$${\displaystyle P_{\infty }(t)}$${\displaystyle R(t)}$

レイリー・プレセ方程式は、球対称性の仮定の下でナビエ・ストークス方程式から導くことができる。^[4]また、エネルギーバランスを用いて導くこともできる。^[5]

表面張力と粘性を無視したこの方程式は、 WH Besantが 1859 年の著書で初めて導き出した問題文で、次のように述べられています。「いかなる力も受けていない均質な非圧縮性流体の無限質量が静止しており、流体の球状部分が突然消滅する。質量の任意の点における圧力の瞬間変化と、空洞が満たされるまでの時間を求める必要がある。無限距離での圧力は一定であると仮定する(実際、Besant はこの問題を 1847 年の Cambridge Senate-House 問題に帰している)。」^[6] Besant は、初期半径の空の空洞を満たすのに必要な時間は ${\displaystyle R_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=R_{0}{\sqrt {\frac {6\rho }{P_{\infty }}}}\int _{0}^{1}{\frac {z^{4}\,dz}{\sqrt {1-z^{6}}}}\\&=R_{0}{\sqrt {\frac {\pi \rho }{6P_{\infty }}}}{\frac {\Gamma (5/6)}{\Gamma (4/3)}}\\&\approx 0.91468R_{0}{\sqrt {\frac {\rho }{P_{\infty }}}}\end{aligned}}}$

レイリー卿は、エネルギー保存則に基づいて、同じ結果のより簡単な導出法を発見しました。流入する流体の運動エネルギーはで、は時間に依存する空隙の半径、 はそこでの流体の半径速度です。流体が無限遠から押し込む仕事は で、これら 2 つのエネルギーを等しくすると、 との関係が得られます。次に、 に注目して、変数を分離すると、ベサントの結果が得られます。レイリーは、ベサントよりもさらに進んで、ガンマ関数に関して積分 (オイラーのベータ関数) を評価しました。レイリーは、ガスを圧縮する仕事の項を含めることで、 このアプローチを理想気体(泡)で満たされた空洞の場合に適用しました。${\displaystyle 2\pi \rho U^{2}R^{3}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle U}$${\displaystyle 4\pi P_{\infty }(R_{0}^{3}-R^{3})/3}$${\displaystyle R}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U=\partial R/\partial t}$

完全に空の空間の場合、レイリーは半径内の流体の圧力が次のように表されることを突き止めました。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {P}{P_{\infty }}}-1={\frac {R}{3r}}\left({\frac {R_{0}^{3}}{R^{3}}}-4\right)-{\frac {R^{4}}{3r^{4}}}\left({\frac {R_{0}^{3}}{R^{3}}}-1\right)}$

ボイドが初期容積の少なくとも4分の1になると、圧力は無限大からゼロまで単調に減少します。ボイドがさらに縮小すると、圧力の最大値（より大きい）がに現れます。 ${\displaystyle P_{\infty}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle P_{\infty}}$

${\displaystyle r^{3}={\frac {4(R_{0}^{3}-R^{3})R^{3}}{R_{0}^{3}-4R^{3}}}}$

非常に急速に成長し、虚空に収束します。

この式は、1949年にミルトン・S・プレセットによって表面張力の影響を考慮して移動するキャビテーション気泡に初めて適用されました。 ^[7]

レイリー・プレセの式は、気泡の半径を動的パラメータとして使用して、第一原理から完全に導くことができます。 ^[3]時間依存の半径 （ は時間）を持つ球形気泡を考えます 。気泡には、均一な温度と圧力の均一に分布した蒸気/ガスが含まれていると仮定します。気泡の外側は、一定の密度と動粘性 を持つ液体の無限領域です。気泡から離れた場所の温度と圧力を、とします。温度は一定であると仮定します。気泡の中心から半径 の距離では、変化する液体の特性は、圧力、温度、および半径方向外向きの速度です。これらの液体の特性は、 の場合、気泡の外側でのみ定義されることに注意してください。 ${\displaystyle R(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle T_{B}(t)}$${\displaystyle P_{B}(t)}$${\displaystyle \rho_{L}}$ ${\displaystyle \mu_{L}}$${\displaystyle T_{\infty}}$${\displaystyle P_{\infty }(t)}$${\displaystyle T_{\infty}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle P(r,t)}$${\displaystyle T(r,t)}$${\displaystyle u(r,t)}$${\displaystyle r\geq R(t)}$

質量保存則により、逆二乗則は、半径方向外向きの速度が原点（泡の中心）からの距離の二乗に反比例する必要があることを要求する。^[7] したがって、を時間の関数とすると、 ${\displaystyle u(r,t)}$${\displaystyle F(t)}$

${\displaystyle u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}}$

気泡表面を横切る質量輸送がゼロの場合、界面の速度は

${\displaystyle u(R,t)={\frac {dR}{dt}}={\frac {F(t)}{R^{2}}}}$

つまり

${\displaystyle F(t)=R^{2}dR/dt}$

質量移動が起こり、気泡の内容物が一定の密度であると仮定した場合、気泡内の質量増加率は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {dm_{V}}{dt}}=\rho _{V}{\frac {dV}{dt}}=\rho _{V}{\frac {d(4\pi R^{3}/3)}{dt}}=4\pi \rho _{V}R^{2}{\frac {dR}{dt}}}$

は泡の体積です。 が泡に対する液体の速度である場合、泡に入る質量は次のように表されます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle u_{L}}$${\displaystyle r=R}$

${\displaystyle {\frac {dm_{L}}{dt}}=\rho _{L}Au_{L}=\rho _{L}(4\pi R^{2})u_{L}}$

は泡の表面積です。質量保存則により、となります。したがって ${\displaystyle A}$${\displaystyle dm_{v}/dt=dm_{L}/dt}$${\displaystyle u_{L}=(\rho _{V}/\rho _{L})dR/dt}$

${\displaystyle u(R,t)={\frac {dR}{dt}}-u_{L}={\frac {dR}{dt}}-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}{\frac {dR}{dt}}=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right){\frac {dR}{dt}}}$

したがって

${\displaystyle F(t)=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right)R^{2}{\frac {dR}{dt}}}$

多くの場合、液体の密度は蒸気の密度よりもはるかに大きいため、元のゼロ質量移動形式 で近似することができ、^[7]${\displaystyle \rho _{L}\gg \rho _{V}}$${\displaystyle F(t)}$${\displaystyle F(t)=R^{2}dR/dt}$

${\displaystyle u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}={\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}}$

液体がニュートン流体であると仮定すると、半径方向の運動に対する 球座標における非圧縮ナビエ・ストークス方程式は次のように表される。

${\displaystyle \rho _{L}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial r}}+\mu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]}$

動粘性を 代入して整理すると、 ${\displaystyle \nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}}$

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}-\nu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]}$

質量保存則から 代入すると${\displaystyle u(r,t)}$

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {2R}{r^{2}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}={\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}$

置換中に粘性項が打ち消されることに注意する。^[7] 変数を分離し、バブル境界から積分すると、 ${\displaystyle r=R}$${\displaystyle r\rightarrow \infty }$

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}\int _{P(R)}^{P(\infty )}dP=\int _{R}^{\infty }\left[{\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]dr}$

${\displaystyle {{\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}=\left[-{\frac {1}{r}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)+{\frac {R^{4}}{2r^{4}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]_{R}^{\infty }=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}}$

は、気泡の中心から放射状に外側を向く液体の 法線応力とします。球座標では、一定の密度と一定の粘性を持つ流体の場合、${\displaystyle \sigma _{rr}}$

${\displaystyle \sigma _{rr}=-P+2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}}$

したがって、気泡表面のごく一部では、層に作用する単位面積あたりの正味の力は

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}(R)+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}&=-P(R)+\left.2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\&=-P(R)+2\mu _{L}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}\right)_{r=R}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\&=-P(R)-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\\end{aligned}}}$

ここで は表面張力である。^[7] 境界を越えた質量移動がない場合、この単位面積あたりの力はゼロでなければならないので、 ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle P(R)=P_{B}-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2\sigma }{R}}}$

そして運動量保存則の結果は

${\displaystyle {\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}={\frac {P_{B}-P_{\infty }}{\rho _{L}}}-{\frac {4\mu _{L}}{\rho _{L}R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}$

これを整理するとレイリー・プレセ方程式が得られる^[7]${\displaystyle \nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}}$

${\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}}$

ドット表記法を使って時間に関する微分を表すと、レイリー・プレセ方程式は次のように簡潔に書くことができる。

${\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\ddot {R}}+{\frac {3}{2}}({\dot {R}})^{2}+{\frac {4\nu _{L}{\dot {R}}}{R}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}}$

最近では、 空の泡とガスで満たされた泡の両方に対してレイリー・プレセット方程式の 解析的な閉形式解が発見され^[8]、N次元の場合に一般化されました。^[9]毛細管現象の影響により表面張力が存在する場合も研究されました。^{[9] [10]}

また、表面張力と粘度が無視される特殊なケースでは、高次の解析的近似も知られている。^[11]

静的な場合、レイリー・プレセ方程式は簡略化され、ヤング・ラプラス方程式が得られます。

${\displaystyle P_{B}-P_{\infty }={\frac {2\sigma }{R}}}$

気泡の半径と圧力の微小周期的変化のみを考慮すると、RP方程式は気泡振動の固有振動数の表現も生成します。