ラトナーの定理

数学において、ラトナーの定理は、 1990年頃にマリーナ・ラトナーによって証明された、等質空間上のユニポテントフローに関するエルゴード理論の主要な定理のグループです。この定理は、ラトナーの以前のホロサイクルフローに関する研究から生まれました。ユニポテントフローのダイナミクスの研究は、グリゴリー・マーギュリスによるオッペンハイム予想の証明に決定的な役割を果たしました。ラトナーの定理は、ユニポテントフローのダイナミクスの理解における重要な進歩を導いてきました。その後の一般化により、結果を明確化し、理論を局所体上の任意の半単純代数群の設定に拡張する方法が提供されています。

ラトナーの軌道閉包定理は、リー群を格子で割った商上の単零フローの軌道の閉包は、幾何学的に良い部分集合であると主張します。ラトナーの等分布定理はさらに、そのような各軌道はその閉包において等分布であると主張します。ラトナーの測度分類定理は、すべてのエルゴード不変確率測度が同次、つまり代数的であるという弱い主張です。これは、より一般的な等分布特性を証明するための重要なステップであることが判明しました。これらの定理の名前については、普遍的な合意はありません。これらは、「測度の剛性定理」、「不変測度の定理」とその「位相バージョン」など、さまざまな名前で知られています。

このような結果の正式な記述は次のようになります。をリー群、内の格子、および上の関連フローを持つ、単零元からなるの1パラメータ部分群とします。このとき、のすべての軌道の閉包は同次です。これは、への標準射影の下 で への右平行移動によるの作用に対する軌道の像が閉じており、有限の -不変測度を持ち、 の -軌道の閉包を稠密な部分集合として含むような、の連結された閉じた部分群が存在することを意味します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle u^{t}}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi_{t}}$${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}\setminus G}$${\displaystyle \left\{xu^{t}\right\}}$${\displaystyle \phi_{t}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \,xS\,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}\setminus G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \phi_{t}}$${\displaystyle x}$

上記の記述が適用される最も単純なケースは です。この場合、 は次のようなより明示的な形式になります。 を の格子とし、 となるすべての写像に対して不変である閉部分集合とします。すると、となるような（ただし）または のいずれかが存在します。 ${\displaystyle G=SL_{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle F\subset \Gamma \backslash G}$${\displaystyle \Gamma g\mapsto \Gamma (gu_{t})}$${\displaystyle u_{t}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}}$${\displaystyle x\in \Gamma \backslash G}$${\displaystyle F=xU}$${\displaystyle U=\{u_{t},t\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle F=\Gamma \backslash G}$

幾何学的に言えば、は有限フックス群なので、による双曲平面の商は有限体積の双曲オービフォールドです。上記の定理は、のすべてのホロサイクルには の像があり、 は閉曲線 (のカスプの周りのホロサイクル) であるか、 で稠密であるかのいずれかであることを意味します。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle M=\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

• ダンザーセット
• 等分配定理

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