ラジオシティ（放射測定）

ラジオシティ
一般的な記号	${\displaystyle J_{\mathrm {e} }}$
SI単位	ワット·m −2
その他のユニット	エルグ·cm −2 ·s −1
寸法	メートル メートル−3

放射測定法において、放射度とは単位面積あたりの表面からの（放射、反射、透過された）放射束であり、スペクトル放射度とは単位周波数または波長あたりの表面の放射度であり、スペクトルが周波数の関数とされるか波長の関数とされるかによって決まる。 ^[1]放射度のSI単位はワット毎平方メートル（W/m 2 ）であるが、周波数におけるスペクトル^放射度の単位はワット毎平方メートル毎ヘルツ（W·m ⁻² ·Hz ⁻¹）であり、波長におけるスペクトル放射度の単位はワット毎平方メートル毎メートル（W·m ⁻³）—一般的にはワット毎平方メートル毎ナノメートル（W·m ⁻² ·nm ⁻¹）である。CGS単位の エルグ毎平方センチメートル毎秒（erg·cm ⁻² ·s ⁻¹ ）は、天文学でよく用いられる。放射測定以外の物理学の分野では、放射度は強度^{[2]と呼ばれることが多いが、放射測定ではこの用法は}放射強度と混同されることがある。

表面の放射輝度はJ _{e （「e」は「エネルギー」の意味で、}測光量との混同を避けるため）で表され、次のように定義される^[3]。

${\displaystyle J_{\mathrm {e} }={\frac {\partial \Phi _{\mathrm {e} }}{\partial A}}=J_{\mathrm {e,em} }+J_{\ mathrm {e,r} }+J_{\mathrm {e,tr} },}$

どこ

• ∂は偏微分記号である
• ${\displaystyle \Phi_{e}}$放射束は（放射、反射、透過して）外に出ていくものである。
• ${\displaystyle A}$エリアは
• ${\displaystyle J_{e,em}=M_{e}}$表面の放射輝度の放射成分、つまりその放射率である。
• ${\displaystyle J_{e,r}}$表面の放射輝度の反射成分である
• ${\displaystyle J_{e,tr}}$表面の放射輝度の透過成分である。

不透明な表面の場合、放射輝度J _e,trの透過成分は消え、次の 2 つの成分のみが残ります。

${\displaystyle J_{\mathrm {e} }=M_{\mathrm {e} }+J_{\mathrm {e,r} }.}$

熱伝達では、これら 2 つの要素を 1 つのラジオシティ項に結合すると、複数の表面間の正味のエネルギー交換を決定するのに役立ちます。

表面の周波数におけるスペクトル放射強度はJ _e,νと表され、 ^[3]で定義される。

${\displaystyle J_{\mathrm {e} ,\nu }={\frac {\partial J_{\mathrm {e} }}{\partial \nu }},}$

ここでνは周波数です。

表面の波長におけるスペクトル放射強度はJ _e,λと表され、 ^[3]で定義される。

${\displaystyle J_{\mathrm {e} ,\lambda }={\frac {\partial J_{\mathrm {e} }}{\partial \lambda }},}$

ここでλは波長です。

不透明で灰色の拡散面の放射輝度は次のように表される。

${\displaystyle J_{\mathrm {e} }=M_{\mathrm {e} }+J_{\mathrm {e,r} }=\varepsilon \sigma T^{4}+(1-\varepsilon )E_{\mathrm {e} },}$

どこ

• εはその表面の放射率です。
• σはシュテファン・ボルツマン定数である。
• T はその表面の温度です。
• E _{e はその表面の}放射照度です。

通常、E _{e は}未知の変数であり、周囲の表面に依存します。したがって、ある表面i が他の表面jからの放射に当たっている場合、表面iに入射する放射エネルギーはE _{e, ji} A _i = F _ji A _j J _{e, j}です。ここで、 F _{ji は}表面jから表面iへの視野係数または形状係数です。したがって、表面iの放射照度は、単位面積A _iあたりの他のすべての表面からの放射エネルギーの合計です。

${\displaystyle E_{\mathrm {e} ,i}={\frac {\sum _{j=1}^{N}F_{ji}A_{j}J_{\mathrm {e} ,j}}{A_{i}}}.}$

ここで、形態係数の相互関係F _ji A _j = F _ij A _iを用いると、

${\displaystyle E_{\mathrm {e} ,i}=\sum _{j=1}^{N}F_{ij}J_{\mathrm {e} ,j},}$

そして放射照度を放射輝度の式に代入すると、

${\displaystyle J_{\mathrm {e} ,i}=\varepsilon _{i}\sigma T_{i}^{4}+(1-\varepsilon _{i})\sum _{j=1}^{N}F_{ij}J_{\mathrm {e} ,j}.}$

N面の囲いの場合、各面についてこの合計を行うと、 N個の未知の放射度、^[4]およびN個の未知の温度を持つN個 の線形方程式が生成されます。数面しかない囲いの場合、これは手作業で行うことができます。しかし、多くの面がある部屋の場合は、線形代数とコンピュータが必要です。

放射照度が計算されると、入射エネルギーと出射エネルギーの差を求めることで、表面での正味の熱伝達を決定できます。 ${\displaystyle {\dot {Q}}_{i}}$

${\displaystyle {\dot {Q}}_{i}=A_{i}\left(J_{\mathrm {e} ,i}-E_{\mathrm {e} ,i}\right).}$

放射照度の式J _{e, i} = ε _i σ T _i ⁴ + (1 − ε _i ) E _{e, i}を用いると、上記から放射照度を消去して次式を得ることができる。

${\displaystyle {\dot {Q}}_{i}={\frac {A_{i}\varepsilon _{i}}{1-\varepsilon _{i}}}\left(\sigma T_{i}^{4}-J_{\mathrm {e} ,i}\right)={\frac {A_{i}\varepsilon _{i}}{1-\varepsilon _{i}}}\left(M_{\mathrm {e} ,i}^{\circ }-J_{\mathrm {e} ,i}\right),}$

ここで、M _{e, i} °は黒体の放射発散度です。

わずかな表面のみで構成される筐体の場合、線形放射方程式を解くよりも、類似の回路でシステムを表す方が簡単な場合が多い。これを行うには、各表面での熱伝達は次のように表される。

${\displaystyle {\dot {Q_{i}}}={\frac {M_{\mathrm {e} ,i}^{\circ }-J_{\mathrm {e} ,i}}{R_{i}}},}$

ここでR _i = (1 − ε _i )/( A _i ε _i )は表面の 抵抗です。

同様に、M _{e, i} ^° − J _{e, i は}黒体放射輝度から放射輝度を引いたもので、「電位差」として機能します。これらの量は、電気回路 V = IRの量に似せて定式化されます。

ここで、表面iから表面jへの熱伝達について同様の解析を実行すると、

${\displaystyle {\dot {Q}}_{ij}=A_{i}F_{ij}(J_{\mathrm {e} ,i}-J_{\mathrm {e} ,j})={\frac {J_{\mathrm {e} ,i}-J_{\mathrm {e} ,j}}{R_{ij}}},}$

ここでR _ij = 1/( A _i F _ij )である。

上記は表面間のため、R _{ij は}表面間の空間の抵抗となり、J _{e, i} − J _{e, j は}電位差となります。

表面要素と空間要素を組み合わせて回路を形成し、適切な電位差と等価抵抗を使用して熱伝達を求めます。これは電気回路の解析に使用されるプロセスに似ています。

ラジオシティ法と回路のアナロジーでは、モデルを簡素化するためにいくつかの仮定が立てられました。最も重要なのは、表面が拡散放射体であるということです。このような場合、ラジオシティは反射放射の入射角に依存せず、この情報は拡散表面では失われます。しかし、実際には、ラジオシティには反射放射からの鏡面成分が含まれます。そのため、2 つの表面間の熱伝達は、ビュー係数と反射放射の角度の 両方に依存します。

また、表面は灰色の物体であると仮定しました。つまり、その放射率は放射周波数や波長に依存しません。ただし、放射スペクトルの範囲が広い場合は、この限りではありません。このようなアプリケーションでは、放射度をスペクトル的に計算し、放射スペクトルの範囲にわたって 積分する必要があります。

さらに別の仮定は、表面が等温であるというものです。そうでない場合、放射輝度は表面に沿った位置の関数として変化します。しかし、この問題は、必要な精度が得られるまで表面をより小さな要素に分割するだけで解決されます。^[4]

• 放射照度
• 放射束
• スペクトルフラックス密度