マイクロ波空洞

マイクロ波空洞または無線周波数空洞（RF空洞）は、特殊なタイプの共振器であり、閉じた（またはほぼ閉じた）金属構造で構成され、スペクトルのマイクロ波またはRF領域の電磁場を閉じ込めます。この構造は中空であるか、誘電体で満たされています。マイクロ波は、空洞の壁の間を前後に跳ね返ります。空洞の共振周波数で、マイクロ波は強め合って空洞内に定在波を形成します。したがって、この空洞は、オルガンパイプや楽器の共鳴箱と同様に機能し、一連の周波数、つまりその共振周波数で優先的に振動します。したがって、これはバンドパスフィルターとして機能し、特定の周波数のマイクロ波を通過させ、近くの周波数のマイクロ波をブロックします。

マイクロ波空洞は、その動作周波数で極めて低い損失を伴う共振回路と同様に動作し、その結果、銅空洞の場合、品質係数（Q値）は最大10 ⁶のオーダーに達する。これに対し、同じ周波数で別個のインダクタとコンデンサで作られた回路では、品質係数は10 ^{2である。}超伝導空洞の場合、品質係数は最大10 ¹⁰のオーダーに達する可能性がある。マイクロ波周波数では、必要なインダクタンスと静電容量の値が低すぎるため、個別の共振回路を構築できないため、マイクロ波空洞は共振回路の代わりに使用される。マイクロ波空洞は、発振器や送信機でマイクロ波信号を作成するために使用され、また、レーダー装置、マイクロ波中継局、衛星通信、電子レンジなどの装置では、特定の周波数の信号を他の信号から分離するフィルターとして使用される。

RF 空洞は加速電圧を印加することで、その中を通過する荷電粒子を操作することもできるため、クライストロンやマグネトロンなどの粒子加速器やマイクロ波真空管に使用されます。

ほとんどの共振空洞は、導波管または高誘電率 誘電体材料の閉じた（または短絡した）部分から作られています（誘電体共振器を参照）。電気エネルギーと磁気エネルギーが空洞に蓄えられます。このエネルギーは、いくつかの損失メカニズムにより、時間の経過とともに減衰します。

超伝導無線周波数に関する記事の「SRF 空洞の物理学」のセクションには、あらゆるマイクロ波空洞に適用される重要かつ有用な表現が多数含まれています。

空洞内に蓄えられたエネルギーは、その体積に対する場のエネルギー密度の積分によって与えられる。

${\displaystyle U={\frac {\mu _{0}}{2}}\int {|{\overrightarrow {H}}|^{2}dV}}$、

どこ：

Hは空洞内の磁場であり、

μ _{0 は}自由空間の透磁率です。

空洞壁の抵抗によってのみ消費される電力は、その表面上の抵抗壁損失の積分によって与えられる。

${\displaystyle P_{d}={\frac {R_{s}}{2}}\int {|{\overrightarrow {H}}|^{2}dS}}$、

どこ：

R _{s は}表面抵抗です。

室温付近で動作する銅空洞の場合、R _{s は}経験的に測定されたバルク電気伝導率σによって単純に決定される（Ramo et al pp.288-289を参照^[2]）。

${\displaystyle R_{s\ normal}={\sqrt {\frac {\omega \mu _{0}}{2\sigma }}}}$。

共振器の品質係数は次のように定義される。

${\displaystyle Q_{o}={\frac {\omega U}{P_{d}}}}$、

どこ：

ωは共振周波数（rad/s）であり、

Uは[J]に蓄えられたエネルギーであり、

P _{d は、}エネルギーUを維持するために空洞内で消費される電力（W）です。

基本的な損失は、空洞壁の有限な導電率と、空洞を満たす材料の誘電損失によるものです。真空空洞には、マルチパクター効果や電界電子放出など、他の損失メカニズムも存在します。マルチパクター効果と電界電子放出はどちらも、空洞内に大量の電子を生成します。これらの電子は空洞内の電界によって加速され、空洞に蓄積されたエネルギーからエネルギーを抽出します。最終的に、電子は空洞の壁に衝突してエネルギーを失います。超伝導無線周波数空洞では、加熱や汚染による超伝導表面の電気伝導率の低下に関連する追加のエネルギー損失メカニズムがあります。

すべての空洞には、空洞の壁上の必要な境界条件を満たす電磁場モードに対応する多数の共振周波数があります。共振時に満たさなければならないこれらの境界条件（接線電場は空洞の壁でゼロでなければならない）のため、共振時には空洞の寸法が特定の値を満たさなければなりません。共振横モードに応じて、空洞の横方向寸法は、空洞の形状の対称性に応じて、幾何学関数に関連する式、またはベッセル関数またはその導関数のゼロ（以下を参照）に制限される場合があります。あるいは、共振時の空洞の長さは半波長の整数倍でなければなりません（Ramo et al ^{[2]の451ページを参照）。この場合、共振空洞は、短絡された半波長}伝送線路の共振と考えることができます。

キャビティの外形寸法は、キャビティに容量性または誘導性の要素を装填することで、最低周波数モードで大幅に小さくすることができます。装填されたキャビティは通常、対称性が低くなり、最高のQ値などの特定の性能指標が低下します。例として、リエントラントキャビティ^[3]とヘリカル共振器は、それぞれ容量性と誘導性の装填されたキャビティです。

単一セル空洞を構造的に組み合わせると、独立した単一セル空洞を並べるよりも効率的に粒子（電子やイオンなど）を加速することができます。^[4]米国エネルギー省の図は、フェルミ国立加速器研究所のクリーンルームにあるマルチセル超伝導空洞を示しています。

マイクロ波キャビティには基本モードがあり、これはすべての可能な共振モードの中で最も低い共振周波数を示します。たとえば、円筒形キャビティの基本モードは TM ₀₁₀モードです。特定の用途では、キャビティの寸法を縮小する動機があります。これは、キャビティの構造に容量性負荷または誘導性負荷が組み込まれた負荷キャビティを使用することで実現できます。

荷重を受けた空洞の正確な共振周波数は、境界条件を持つマクスウェル方程式の有限要素法を使用して計算する必要があります。

ロードされたキャビティ（または共振器）は、マルチセルキャビティとして構成することもできます。

ロードキャビティは、低速荷電粒子の加速に特に適しています。この用途には多くの種類のロードキャビティがあり、一般的な種類をいくつか以下に示します。

• 凹所^{[5] [3]}
• らせん共振器

• スパイラル共振器^[6]
• スプリットリング共振器^[7]

• 1/4波長共振器^[8]
• 半波長共振器。^[9]半波長共振器の変形としてスポーク共振器がある。^[10]
• 無線周波数四重極^[11]

。

• コンパクトクラブ空洞。コンパクトクラブ空洞はLHCにとって重要なアップグレードです。^{[12] [13]}

共振空洞内の特定モードのQ係数を計算することができます。対称性が高い空洞の場合、電界と磁界、導体壁の表面電流、誘電損失材料の電界の解析式を使用します。^[14]任意の形状の空洞の場合、境界条件付きのマクスウェル方程式の有限要素法を使用する必要があります。空洞のQの測定は、ベクトルネットワークアナライザー（電気）を使用して行うか、Qが非常に高い場合は、フィールドの指数関数的減衰時間を測定し、関係を使用して行います。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle Q=\pi f\tau }$

空洞内の電磁場は外部結合によって励起される。外部電源は通常、小さな開口部、小さなワイヤプローブ、またはループによって空洞に結合される（Ramoら^[2]の563ページを参照）。外部結合構造は空洞の性能に影響を与えるため、全体的な解析で考慮する必要がある（Montgomeryら[15]の232ページを参照^）。

空洞の共振周波数はその形状の関数です。

矩形マイクロ波空洞の共振周波数は、電磁場の表現に境界条件を課すことで、任意の共振モードに対して求めることができる。この周波数は、Ramo et al. ^{[2]の546ページに示されている。}${\displaystyle \scriptstyle TE_{mnl}}$${\displaystyle \scriptstyle TM_{mnl}}$

ここで、は波数、、はモード数、、、は対応する次元です。 c は真空中の光速です。 およびはそれぞれ空洞充填物の 比透磁率と誘電率です。${\displaystyle \scriptstyle k_{mnl}}$${\displaystyle \scriptstyle m}$${\displaystyle \scriptstyle n}$${\displaystyle \scriptstyle l}$${\displaystyle \scriptstyle a}$${\displaystyle \scriptstyle b}$${\displaystyle \scriptstyle d}$${\displaystyle \scriptstyle \mu _{r}}$${\displaystyle \scriptstyle \epsilon _{r}}$

長さと半径の円筒形空洞の電界解は、囲むプレートの位置で追加の電気境界条件を持つ円筒形導波管の解から得られます。共振周波数は、TE モードと TM モードでは異なります。 ${\displaystyle \scriptstyle L}$${\displaystyle \scriptstyle R}$

TMモード

ジャクソン^{[16]を参照}

TEモード

ジャクソン^{[16]を参照}

ここで、は- 次ベッセル関数の - 次零点を表し、は- 次ベッセル関数の導関数の - 次零点を表します。およびはそれぞれ比透磁率と誘電率です。 ${\displaystyle \scriptstyle X_{mn}}$${\displaystyle \scriptstyle n}$${\displaystyle \scriptstyle m}$${\displaystyle \scriptstyle X'_{mn}}$${\displaystyle \scriptstyle n}$${\displaystyle \scriptstyle m}$${\displaystyle \scriptstyle \mu _{r}}$${\displaystyle \scriptstyle \epsilon _{r}}$

キャビティの品質係数は、異なる電力損失メカニズムを表す 3 つの部分に分解でき ます。 ${\displaystyle \scriptstyle Q}$

• ${\displaystyle \scriptstyle Q_{c}}$は、有限の導電率を持つ壁での電力損失によって生じます。最低周波数モード、つまり「基本モード」の Q は、寸法とパラメータ の長方形キャビティ (式 3a) と、上記で定義したパラメータの円筒形キャビティ (式 3b) のモードについては、Ramo ら^[2]の 541-551 ページを参照してください。${\displaystyle a,b,d}$${\displaystyle l=1,m=0,n=0}$${\displaystyle TM_{010}}$${\displaystyle m=0,n=1,p=0}$

ここで、は誘電体の固有インピーダンス、 はキャビティ壁の表面抵抗です。 に注意してください。 ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$${\displaystyle \scriptstyle R_{s}}$${\displaystyle X_{01}\approx 2.405}$

• ${\displaystyle \scriptstyle Q_{d}}$は、空洞を埋める損失のある誘電体材料の電力損失から生じ、誘電体の損失正接は${\displaystyle \scriptstyle \tan \delta }$

• ${\displaystyle \scriptstyle Q_{ext}}$これは、キャビティ形状の閉じていない表面（穴）を通る電力損失によって生じます。

キャビティの全Q値はRamoら^{[2]の567ページに記載されている。}

マイクロ波共振空洞は単純なLC回路として表すことができ、考えることができます。Montgomeryらの207-239ページを参照してください。^{[15]マイクロ波共振空洞の場合、共振}LC回路 の場合と同様に、蓄積された電気エネルギーは共振時に蓄積された磁気エネルギーに等しくなります。インダクタンスと静電容量の観点から、特定のモードの共振周波数は、Montgomeryらの209ページに示されているように表すことができます^[15]${\displaystyle \scriptstyle mnl}$

ここで、V は空洞容積、はモード波数、およびはそれぞれ誘電率と透磁率です。 ${\displaystyle \scriptstyle k_{mnl}}$${\displaystyle \scriptstyle \epsilon }$${\displaystyle \scriptstyle \mu }$

マイクロ波周波数における共振空洞の有用性をよりよく理解するには、従来のインダクタとコンデンサはVHFの周波数で非実用的に小さくなり始め、1ギガヘルツを超える周波数では特に小さくなることに留意すると役立ちます。空洞共振器は損失が少なく Q 値が高いため、高周波数では従来の LC 共振器や伝送線​​路共振器よりも好まれます。

従来のインダクタは、通常、芯線のない らせん状のワイヤで巻かれています。表皮効果により、インダクタの高周波抵抗は直流抵抗の数倍になります。さらに、巻線間の静電容量により、ワイヤを覆う絶縁体で誘電損失が発生します。これらの効果により、高周波抵抗が大きくなり、Q 係数が低下します。

従来のコンデンサは、誘電体として空気、マイカ、セラミック、またはテフロンを使用します。低損失の誘電体を使用していても、コンデンサはリード線とプレートで表皮効果損失の影響を受けます。両方の効果により、等価直列抵抗が増加し、Q が低下します。

VHF インダクタとコンデンサの Q 係数が十分に高くて使用できる場合でも、この周波数範囲では、それらの寄生特性がパフォーマンスに大きく影響する可能性があります。インダクタのシャント容量は、望ましい直列インダクタンスよりも大きくなる可能性があります。コンデンサの直列インダクタンスは、望ましいシャント容量よりも大きくなる可能性があります。その結果、VHF またはマイクロ波領域では、コンデンサがインダクタのように見えたり、インダクタがコンデンサのように見えることがあります。これらの現象は、寄生インダクタンスおよび寄生容量としてよく知られています。

高周波の電界や磁界では、空気の誘電損失は極めて低い。空気で満たされたマイクロ波空洞は、電界と磁界を壁の間の空気空間に閉じ込める。このような空洞での電気損失は、ほぼ例外なく空洞壁を流れる電流によるものである。壁電流による損失は小さいが、空洞は銀メッキが施されることが多く、導電率を高めて損失をさらに低減する 。銅製の空洞は酸化しやすく、損失が増大する。銀メッキや金メッキは酸化を防ぎ、空洞壁での電気損失を低減する。金は銅ほど導体として優れているわけではないが、それでも酸化を防ぎ、時間の経過とともに Q 係数が劣化するのを防ぐ。しかし、コストが高いため、最も要求の厳しい用途でのみ使用される。

一部の衛星共振器は銀メッキされ、金フラッシュ層で覆われています。電流は主に高伝導性の銀層を流れ、金フラッシュ層は銀層を酸化から保護します。

• 空洞共振器、ファインマン物理学講義第 2 巻第 23 章
• LHC のカニ空洞