量子二重対数

数学において、量子二重対数関数は、次の式で定義される特別な関数である。

${\displaystyle \phi (x)\equiv (x;q)_{\infty }=\prod _{n=0}^{\infty }(1-xq^{n}),\quad |q|<1}$

これはq指数関数と同じです${\displaystyle e_{q}(x)}$。

させて${\displaystyle u,v}$は「q-可換変数」、すなわちワイルの関係式を満たす適切な非可換代数の要素である。${\displaystyle uv=qvu}$。すると、量子二対数はシュッツェンベルガーの恒等式を満たす

${\displaystyle \phi (u)\phi (v)=\phi (u+v),}$

ファデエフ＝ヴォルコフの正体

${\displaystyle \phi (v)\phi (u)=\phi (u+v-vu),}$

そしてファデーエフ＝カシャエフの正体

${\displaystyle \phi (v)\phi (u)=\phi (u)\phi (-vu)\phi (v).}$

後者は、ロジャースの5項二重対数恒等式の量子一般化であることが知られている。

ファデエフの量子二重対数${\displaystyle \Phi _{b}(w)}$次の式で定義されます。

${\displaystyle \Phi _{b}(z)=\exp \left({\frac {1}{4}}\int _{C}{\frac {e^{-2izw}}{\sinh(wb)\sinh(w/b)}}{\frac {dw}{w}}\right),}$

統合の輪郭が${\displaystyle C}$原点の小さな近傍の外側では実軸に沿って進み、原点付近では上半平面に逸れる。同じ関数は、ウォロノヴィッチの積分公式によって記述できる。

${\displaystyle \Phi _{b}(x)=\exp \left({\frac {i}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\log(1+e^{tb^{2}+2\pi bx})}{1+e^{t}}}\,dt\right).}$

ルドヴィグ・ファデーエフは量子五角形恒等式を発見した。

${\displaystyle \Phi _{b}({\hat {p}})\Phi _{b}({\hat {q}})=\Phi _{b}({\hat {q}})\Phi _{b}({\hat {p}}+{\hat {q}})\Phi _{b}({\hat {p}}),}$

どこ${\displaystyle {\hat {p}}}$そして${\displaystyle {\hat {q}}}$これらは、ハイゼンベルクの交換関係を満たす自己共役（正規化）量子力学的運動量演算子および位置演算子である。

${\displaystyle [{\hat {p}},{\hat {q}}]={\frac {1}{2\pi i}}}$

そして反転関係

${\displaystyle \Phi _{b}(x)\Phi _{b}(-x)=\Phi _{b}(0)^{2}e^{\pi ix^{2}},\quad \Phi _{b}(0)=e^{{\frac {\pi i}{24}}\left(b^{2}+b^{-2}\right)}。$

量子二重対数関数は、数理物理学、量子トポロジー、クラスター代数理論などの分野で応用されている。

q指数関数と$\displaystyle \Phi _{b}}$等号で表す

${\displaystyle \Phi _{b}(z)={\frac {E_{e^{2\pi ib^{2}}}(-e^{\pi ib^{2}+2\pi zb})}{E_{e^{-2\pi i/b^{2}}}(-e^{-\pi i/b^{2}+2\pi z/b})}},}$

有効${\displaystyle \operatorname {Im} b^{2}>0}$。

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• n Labにおける量子二重対数