生産機能

生産関数は、関数形式で右辺として表すことができる。

${\displaystyle Q=f(X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc ,X_{n})}$

どこ${\displaystyle Q}$は生産量であり、 ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc ,X_{n}}$これらは要素投入量（資本、労働、土地、原材料など）です。${\displaystyle X_{1}=X_{2}=...=X_{n}=0}$に違いない${\displaystyle Q=0}$なぜなら、私たちは投入物なしには何も生産できないからだ。

もし${\displaystyle Q}$がスカラーである場合、この形式は複数の副産物を持つ生産プロセスである共同生産を包含しません。一方、${\displaystyle f}$からの地図$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$に$\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$すると、それは決定を表す共同生産関数になります。${\displaystyle k}$指定された数量の共同使用に基づく異なるタイプの出力${\displaystyle n}$入力。

一つの定式化は線形関数として表される。

${\displaystyle Q=a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+a_{3}X_{3}+\dotsb +a_{n}X_{n}}$

どこ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$これらは経験的に決定されるパラメータです。線形関数は、生産において投入要素が完全な代替物であることを意味します。もう一つは、コブ・ダグラス生産関数です。

${\displaystyle Q=a_{0}X_{1}^{a_{1}}X_{2}^{a_{2}}\cdots X_{n}^{a_{n}}}$

どこ${\displaystyle a_{0}}$これは、いわゆる全要素生産性です。レオンチェフ生産関数は、投入要素を一定の比率で使用しなければならない状況に適用されます。これらの比率から出発して、ある投入要素の使用量を増やさずに別の投入要素の使用量を増やしても、産出量は変化しません。この生産関数は次のように表されます。

${\displaystyle Q=\min(a_{1}X_{1},a_{2}X_{2},\dotsc ,a_{n}X_{n}).}$

その他の形式には、コブ・ダグラス関数の一般化された形式である定弾性代替生産関数（CES）と二次生産関数があります。使用する方程式の最適な形式とパラメータの値（${\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n}}$) 企業や業界によって異なります。短期的には、生産関数は少なくとも次の 1 つを満たします。${\displaystyle X}$（投入）は固定されている。長期的には、すべての要素投入は経営陣の裁量で変動する。

MoysanとSenouci（2016）は、すべての2入力新古典派生産関数に対する解析式を提供している。^{[ 4 ]}

これらの方程式はいずれもグラフにプロットできます。典型的な（二次）生産関数は、単一の可変投入（または単一の変数として扱えるように投入比率が固定されている）を仮定して、次の図に示されています。生産関数より上のすべての点は現在の技術では達成不可能であり、下のすべての点は技術的に実現可能であり、関数上のすべての点は、指定された投入量で得られる最大生産量を示しています。点Aから点Cまで、企業は可変投入に対して正の限界収益を経験していますが、限界収益は減少しています。投入の追加単位が使用されると、生産量は増加しますが、増加率は減少します。点Bは、平均物理生産物曲線（APP）の傾きが点Yを超えて減少していることからわかるように、平均収益が減少する点です。点Bは原点からの最も急な光線にちょうど接しているため、平均物理生産物は最大になります。点Bを超えると、数学的な必然性から、限界曲線は平均曲線より下になければなりません（詳細については生産理論の基礎を参照し、さまざまな生産関数、その一般化、推定に関するより詳細な議論についてはSicklesとZelenyuk（2019）を参照してください）。

生産関数の解釈を簡略化するために、その範囲を3つの段階に分けるのが一般的です。第1段階（原点から点Bまで）では、可変投入量が増加するにつれて単位当たりの生産量も増加し、点Bで最大となります（平均物理生産量がその点で最大となるため）。可変投入量の単位当たりの生産量は第1段階全体を通して向上していくため、価格受容企業は必ずこの段階を超えて操業することになります。

第 2 段階では、生産量は増加率が低下し、平均生産物と限界生産物はともに減少します。ただし、固定投入物の平均生産物 (図示せず) は、固定投入物の使用量が一定である間に生産量が増加するため、依然として増加しています。この段階では、追加の可変投入物を使用すると、固定投入物単位当たりの生産量は増加しますが、可変投入物単位当たりの生産量は減少します。価格受容企業にとって最適な投入量と生産量の組み合わせは第 2 段階にありますが、右下がりの需要曲線に直面している企業は、第 2 段階で操業するのが最も収益性が高いと判断するかもしれません。第 3 段階では、利用可能な固定投入物に対して可変投入物が過剰に使用されています。つまり、可変投入物は過剰に利用されており、限界におけるその存在は生産プロセスを促進するのではなく阻害しています。この段階全体を通して、固定投入物と可変投入物の単位当たりの生産量は減少します。第 2 段階と第 3 段階の境界では、固定投入物から可能な限り最高の生産量が得られます。

定義上、企業は長期的には、短期的に固定されている投入量を調整することで事業規模を変更でき、それによって可変投入量に対する生産関数を上方にシフトさせることができる。固定投入量が不規則な場合、事業規模の調整は、単に生産能力と需要のバランスを取るために必要な調整よりも大きくなる可能性がある。例えば、需要に対応するために年間100万単位の生産量増加で済む場合でも、利用可能な生産設備のアップグレードによって生産能力を年間200万単位増加させる必要があるかもしれない。

企業が第1段階で利益最大化水準で操業している場合、長期的には（設備投資を売却することで）操業規模を縮小することを選択する可能性がある。固定資本投入量を減らすことで、生産関数は下方シフトする。第2段階の開始点はB1からB2に移動する。利益最大化生産水準（変化なし）は、第2段階に位置することになる。

生産関数には、よく分析される2つの特別なクラスがあります。${\displaystyle Q=f(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n})}$次数が同質であると言われている${\displaystyle m}$任意の正の定数が与えられた場合${\displaystyle k}$、${\displaystyle f(kX_{1},kX_{2},\dotsc ,kX_{n})=k^{m}f(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n})}$。 もし${\displaystyle m>1}$関数は規模に関して収穫逓増を 示し、の場合、規模に関して収穫逓減を示す。${\displaystyle m<1}$次数が同次である場合${\displaystyle 1}$規模に関して収穫一定を示す。収穫逓増とは、すべての投入要素の使用レベルが1%増加すると、生産量が1%以上増加することを意味する。収穫逓減とは、生産量が1%未満増加することを意味する。規模に関して収穫一定は、その中間的なケースである。上記のコブ・ダグラス生産関数では、規模に関して収穫逓増となるのは、${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}>1}$減少する場合${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}<1}$定数の場合${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}=1}$。

生産関数が1次の同次関数である場合、それは「線形同次」と呼ばれることがある。資本と労働を投入要素とする線形同次生産関数は、資本と労働の両方の限界生産物と平均生産物を、資本労働比率のみの関数として表すことができるという性質を持つ。さらに、この場合、各投入要素にその限界生産物に等しい割合で支払いが行われれば、企業の収益は完全に使い果たされ、超過経済利潤は発生しない。^{[ 5 ]： pp.412–414}

同次関数とは、限界技術的代替率（例えば労働・資本空間において、様々な投入要素の組み合わせに対して同じ生産量が生産される点の集合を通る等量曲線の傾き）が0次の同次関数である関数のことである。このため、原点から伸びる光線に沿って、等量曲線の傾きは等しくなる。同次関数は次の形式をとる。${\displaystyle F(h(X_{1},X_{2}))}$どこ${\displaystyle F(y)}$は単調増加関数である（${\displaystyle F(y)}$正の値です（${\displaystyle \mathrm {d} F/\mathrm {d} y>0}$))、そして関数${\displaystyle h(X_{1},X_{2})}$は任意の次数の同次関数である。

マクロ経済学では、国全体の総生産関数が構築されることがある。理論的には、総生産関数は個々の生産者のすべての生産関数の合計である。しかし、総生産関数には方法論上の問題があり、経済学者はその概念が妥当かどうかについて広範な議論を行ってきた。^{[ 3 ]}

生産関数の標準形式には、主に2つの批判がある。 ^{[ 6 ]}

生産関数理論は、生産過程における物理的な産出物と物理的な投入物、すなわち生産要素との関係を描写するものです。生産関数の実践的な応用は、物理的な産出物と投入物をそれぞれの価格で評価することによって実現されます。物理的な産出物の経済的価値から物理的な投入物の経済的価値を差し引いたものが、生産過程によって生み出される所得です。検討対象となる2つの期間において価格を一定に保つことで、生産関数の変化によって生じる所得の変化を把握することができます。これが、生産関数を実用的な概念、すなわち実際の状況において測定可能で理解可能な概念にするための原理です。