転送オペレータ

数学において、転送演算子は反復マップに関する情報をエンコードし、動的システム、統計力学、量子カオス、フラクタルの動作を研究するために頻繁に使用されます。通常の場合、最大固有値は 1 であり、対応する固有ベクトルはシステムの 不変測度です。

転送演算子は、デイヴィッド・ルーエルにちなんでルーエル演算子と呼ばれることもあります。また、演算子の 固有値の決定にペロン・フロベニウスの定理が適用できることから、ペロン・フロベニウス演算子、ルーエル・ペロン・フロベニウス演算子と呼ばれることもあります。

研究対象となる反復関数は、任意の集合に対するマップです。 ${\displaystyle f\colon X\rightarrow X}$${\displaystyle X}$

転送演算子は、関数の空間に作用する演算子として定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \{\Phi \colon X\rightarrow \mathbb {C} \}}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}\Phi )(x)=\sum _{y\,\in \,f^{-1}(x)}g(y)\Phi (y)}$

ここで、は補助評価関数です。 がヤコビ行列式を持つ場合、 は通常 とみなされます。 ${\displaystyle g\colon X\rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle |J|}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g=1/|J|}$

転送演算子の上記の定義は、 gの測度論的プッシュフォワードの点集合極限として示すことができます。本質的に、転送演算子は、測定可能な空間のカテゴリの直接像関数です。ペロン–フロベニウス演算子の左随伴は、クープマン演算子または合成演算子です。一般的な設定は、ボレル関数計算によって提供されます。

一般的な規則として、転送演算子は通常、シフト空間に作用する(左)シフト演算子として解釈できます。最も一般的に研究されるシフトは、有限型 のサブシフトです。転送演算子の随伴演算子も同様に、通常は右シフトとして解釈できます。特によく研究されている右シフトには、ヤコビ演算子とヘッセンベルク行列があり、どちらも右シフトを介して 直交多項式のシステムを生成します。

関数の反復は、当然のことながら、反復中の X の点の軌道の研究 (点ダイナミクスの研究) につながりますが、転送演算子は、反復中に (滑らかな) マップがどのように進化するかを定義します。したがって、転送演算子は、 滑らかな関数の時間発展に注目する量子カオスや統計力学などの物理学の問題でよく使用されます。次に、これは分子動力学の分野を通じて、合理的な薬物設計への医学的応用があります。 ${\displaystyle f}$

多くの場合、転送演算子は正であり、離散的な正の実数値の固有値を持ち、最大の固有値は 1 に等しくなります。このため、転送演算子はフロベニウス-ペロン演算子と呼ばれることもあります。

転送演算子の固有関数は通常フラクタルです。転送演算子の対数が量子ハミルトニアンに対応する場合、固有値は通常非常に狭い間隔で配置され、したがって非常に狭く慎重に選択された量子状態の集合であっても、全体の体積にわたって非ゼロのサポートを持つ非常に異なるフラクタル固有状態が多数含まれます。これを使用して、時間の不可逆性やエントロピーの増加など、古典的な統計力学からの多くの結果を説明することができます。

ベルヌーイ写像 の転送演算子は正確に解くことができ、決定論的カオスの典型的な例です。離散固有値はベルヌーイ多項式に対応します。この演算子には、フルヴィッツゼータ関数で構成される連続スペクトルもあります。 ${\displaystyle b(x)=2x-\lfloor 2x\rfloor }$

ガウス写像の転送演算子は、ガウス・クズミン・ヴィルジング (GKW) 演算子と呼ばれます。GKW の理論は、ガウスの連分数に関する仮説にまで遡り、リーマンゼータ関数と密接に関連しています。 ${\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor }$

• ベルヌーイ方式
• 有限型のシフト
• クライン・ラトマン定理
• 転送マトリックス法

• Gaspard, Pierre (1992). 「r進1次元マップとオイラー和公式」J. Phys. A: Math. Gen . 25 (8): L483–L485. Bibcode :1992JPhA...25L.483G. doi :10.1088/0305-4470/25/8/017.
• ガスパール、ピエール（1998年）。カオス、散乱、統計力学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-39511-9。
• マッキー、マイケル C. (1992)。『時の矢：熱力学的挙動の起源』。シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-94093-6。
• マイヤー、ディーター H. (1978)。古典統計力学におけるルエル-アラキ転送演算子。Springer -Verlag。ISBN 0-387-09990-5。
• ルーエル、デイヴィッド（1978年）。『熱力学的形式論：古典的平衡統計力学の数学的構造』アディソン・ウェズリー、リーディング。ISBN 0-201-13504-3。
• Ruelle, David (2002). 「動的ゼータ関数と転送演算子」(PDF) . AMS の通知. 49 (8): 887–895. （入門調査を提供します）。