ピアソンのカイ二乗検定

j行k列のピアソン統計量の帰無分布は、 自由度( k  −1)( j −1)のカイ2乗分布で近似される。 ^[12]

この近似は、期待値が多項分布によって与えられる場合、帰無仮説の下では真の分布として生じます。サンプルサイズが大きい場合、中心極限定理によれば、この分布は特定の多変量正規分布に近づく傾向があります。

表にセルが2つしかない特殊なケースでは、期待値は二項分布に従います。

${\displaystyle O\ \sim \ {\mbox{Bin}}(n,p),\,}$

どこ

p = 帰無仮説のもとでの確率、

n = サンプル内の観測数。

上記の例では、男性が観測されるという仮定の確率は 100 サンプルで 0.5 です。したがって、50 人の男性が観測されると予想されます。

nが十分に大きい場合、上記の二項分布はガウス（正規）分布で近似することができ、したがってピアソン検定統計量はカイ二乗分布に近似する。

${\displaystyle {\text{Bin}}(n,p)\approx {\text{N}}(np,np(1-p)).\,}$

O _{1 を}最初のセルにある標本からの観測値の数とします。ピアソン検定統計量は次のように表すことができます 。

${\displaystyle {\frac {(O_{1}-np)^{2}}{np}}+{\frac {(n-O_{1}-n(1-p))^{2}}{n(1-p)}},}$

これは次のように表現できる。

${\displaystyle \left({\frac {O_{1}-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)^{2}.}$

二項分布の正規近似では、これは1つの標準正規変量の2乗であり、したがって自由度1のカイ2乗分布になります。分母はガウス近似の1標準偏差であるため、次のように書くことができます。

${\displaystyle {\frac {(O_{1}-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}.}$

したがって、カイ二乗分布の意味と一致して、ガウス近似（nが大きい場合の良い近似）の下で、平均からの標準偏差の観測数がどれだけ確率的であるかを測定しています。

次に、カイ二乗分布を統計値の右側で積分してP 値を取得します。P 値は、帰無仮説を仮定した場合に、観測された統計値と等しいかそれよりも大きい統計値を得る確率に等しくなります。

この検定を 2 行 2 列の分割表に適用すると、検定は比率のZ 検定と同等になります。^{[引用が必要]}

上記とほぼ同じ議論で望ましい結果が得られますが、詳細はより複雑です。変数の直交変換を適用して、検定統計量の限界和を、1つ少ないiid標準正規確率変数の平方に変換することができます。^[13]

ここで、観測数が無限に近づくにつれて 分布が実際に漸近的に分布に近づくことを証明しましょう。${\displaystyle \chi ^{2}}$

を観測数、をセルの数、をi番目のセルに入る観測値の確率とします。各iに対してi番目のセルに観測値 が存在する構成を で表します。${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq m}$${\displaystyle \{k_{i}\}}$${\displaystyle k_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}k_{i}=n\qquad {\text{and}}\qquad \sum _{i=1}^{m}p_{i}=1.}$

このような構成に対するピアソンの累積検定統計量をとし、この統計量の分布を とする。後者の確率が自由度を持つ分布に近づくことを示す。${\displaystyle \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})}$${\displaystyle \chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})}$${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle m-1}$${\displaystyle n\to \infty .}$

任意の値Tに対して:

${\displaystyle P(\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T)=\sum _{\{k_{i}\}|\chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})>T}{\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{m}!}}\prod _{i=1}^{m}{p_{i}}^{k_{i}}}$

ここでは、ド・モアブル・ラプラスの定理における近似と同様の手順を使用します。小さい からの寄与はにおける次数以下であり、したがって、大きい については、 との両方にスターリングの公式を使用して、次の式を得ることができます。 ${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle k_{i}!}$

${\displaystyle P(\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T)\sim \sum _{\{k_{i}\}|\chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})>T}\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {np_{i}}{k_{i}}}\right)^{k_{i}}{\sqrt {\frac {2\pi n}{\prod _{i=1}^{m}2\pi k_{i}}}}}$

を代用することで

${\displaystyle x_{i}={\frac {k_{i}-np_{i}}{\sqrt {n}}},\qquad i=1,\cdots ,m-1,}$

大きい について、 上の合計を上の積分で近似することができます。次の点に注意してください。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle k_{m}=np_{m}-{\sqrt {n}}\sum _{i=1}^{m-1}x_{i},}$

到着する

${\displaystyle {\begin{aligned}P(\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T)&\sim {\sqrt {\frac {2\pi n}{\prod _{i=1}^{m}2\pi k_{i}}}}\int _{\chi _{P}^{2}(\{{\sqrt {n}}x_{i}+np_{i}\},\{p_{i}\})>T}\left\{\prod _{i=1}^{m-1}{{\sqrt {n}}dx_{i}}\right\}\left\{\prod _{i=1}^{m-1}\left(1+{\frac {x_{i}}{{\sqrt {n}}p_{i}}}\right)^{-(np_{i}+{\sqrt {n}}x_{i})}\left(1-{\frac {\sum _{i=1}^{m-1}{x_{i}}}{{\sqrt {n}}p_{m}}}\right)^{-\left(np_{m}-{\sqrt {n}}\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}\right)}\right\}\\&={\sqrt {\frac {2\pi n}{\prod _{i=1}^{m}\left(2\pi np_{i}+2\pi {\sqrt {n}}x_{i}\right)}}}\int _{\chi _{P}^{2}(\{{\sqrt {n}}x_{i}+np_{i}\},\{p_{i}\})>T}\left\{\prod _{i=1}^{m-1}{{\sqrt {n}}dx_{i}}\right\}\times \\&\qquad \qquad \times \left\{\prod _{i=1}^{m-1}\exp \left[-\left(np_{i}+{\sqrt {n}}x_{i}\right)\ln \left(1+{\frac {x_{i}}{{\sqrt {n}}p_{i}}}\right)\right]\exp \left[-\left(np_{m}-{\sqrt {n}}\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}\right)\ln \left(1-{\frac {\sum _{i=1}^{m-1}{x_{i}}}{{\sqrt {n}}p_{m}}}\right)\right]\right\}\end{aligned}}}$

対数を展開し、の主要項を取ると、 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle P(\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T)\sim {\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{m-1}\prod _{i=1}^{m}p_{i}}}}\int _{\chi _{P}^{2}(\{{\sqrt {n}}x_{i}+np_{i}\},\{p_{i}\})>T}\left\{\prod _{i=1}^{m-1}dx_{i}\right\}\prod _{i=1}^{m-1}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{m-1}{\frac {x_{i}^{2}}{p_{i}}}-{\frac {1}{2p_{m}}}\left(\sum _{i=1}^{m-1}{x_{i}}\right)^{2}\right]}$

ピアソンのカイ は、指数の引数とまったく同じです (-1/2 を除く。指数の引数の最後の項は に等しいことに注意してください)。 ${\displaystyle \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})=\chi _{P}^{2}(\{{\sqrt {n}}x_{i}+np_{i}\},\{p_{i}\})}$${\displaystyle (k_{m}-np_{m})^{2}/(np_{m})}$

この議論は次のように記述できます。

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{m-1}x_{i}A_{ij}x_{j},\qquad i,j=1,\cdots ,m-1,\quad A_{ij}={\tfrac {\delta _{ij}}{p_{i}}}+{\tfrac {1}{p_{m}}}.}$

${\displaystyle A}$は正則対称行列なので対角化可能です。したがって、 の変数を線形変換して、次 の新しい変数を取得できます。${\displaystyle (m-1)\times (m-1)}$${\displaystyle \{x_{i}\}}$${\displaystyle m-1}$${\displaystyle \{y_{i}\}}$

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{m-1}x_{i}A_{ij}x_{j}=\sum _{i=1}^{m-1}y_{i}^{2}.}$

この変数の線形変換は、単に積分に定数ヤコビアンを掛け合わせるだけなので、次のようになります。

${\displaystyle P(\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T)\sim C\int _{\sum _{i=1}^{m-1}y_{i}^{2}>T}\left\{\prod _{i=1}^{m-1}dy_{i}\right\}\prod _{i=1}^{m-1}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{m-1}y_{i}^{2}\right)\right]}$

ここで、C は定数です。

これは、平均ゼロ、分散単位の独立した正規分布変数の二乗和がT より大きくなる確率、つまり自由度がT より大きい確率 です。${\displaystyle m-1}$${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle m-1}$

このように、ピアソンのカイ分布が自由度 を持つカイ分布に近づく限界を示しました。${\displaystyle n\to \infty ,}$${\displaystyle m-1}$