レキシス比

Lexis比^[1]は、統計学において、結果が 2 つの値 (たとえば、「成功」または「失敗」、「勝ち」または「負け」) であるランダム メカニズムの統計的特性間の差異を評価する尺度として使用されます。この考え方は、成功の確率がさまざまな状況でのさまざまな試行セット間で異なる可能性があるというものです。この比率は現在あまり使用されておらず、サンプルの均一性をテストする際に カイ 2 乗検定の使用に大きく置き換えられています。

この尺度は、サンプル比率のセット間の分散（各セットについて評価）を、異なるセット間での成功の真の比率に差がない場合の分散と比較します。したがって、この尺度は、データが固定成功確率ベルヌーイ分布とどのように比較されるかを評価するために使用されます。「Lexis 比」という用語は、 LまたはQと呼ばれることもあります。

${\displaystyle L^{2}=Q^{2}={\frac {s^{2}}{\sigma _{0}^{2}}}.}$

ここで、は「Lexis 試験」のセットにおける成功の観測割合から導出された(加重)サンプル分散であり、は成功の全体平均割合に基づいて期待ベルヌーイ分布から計算された分散です。L が1 を大幅に上回るか下回る試験は、それぞれ 超正規分布と非正規分布と呼ばれます。${\displaystyle s^{2}}$${\displaystyle \sigma _{0}^{2}}$

この比率 ( Q ) は、属性のサンプリングにおける 3 種類の変動 (ベルヌーイ、レキシアン、ポアソン) を区別するために使用できる尺度です。レキシアン比率はLと呼ばれることもあります。

サイズがn ₁、n ₃、n ₃、...、n _kのk個のサンプルがあり、これらのサンプルにはそれぞれ検査対象の属性の割合がp ₁、p ₂、p ₃、...、p _kであるとします。この場合、Lexis比は

${\displaystyle Q={\frac {\sum {n_{i}(p_{i}-p)^{2}}}{(k-1)p(1-p)}}}$

Lexis 比が 1 を大幅に下回る場合、サンプリングはポアソン分布 (または非正規分布) と呼ばれます。1 に等しい場合は、サンプリングはベルヌーイ分布 (または正規分布) と呼ばれます。1 を超える場合は、Lexian (または超正規分布) と呼ばれます。

チュプロフは1922年に、統計的均質性の場合、

${\displaystyle E(Q)=1}$

そして

${\displaystyle var(Q)={\frac {2}{n-1}}}$

ここで、E () は期待値、var () は分散です。分散の式は近似値であり、nの値が大きい場合にのみ当てはまります。

別の定義としては

${\displaystyle Q={\frac {s^{2}}{\sigma _{0}^{2}}}}$

ここで、は「Lexis トライアル」のセットにおける成功の観測割合から導出された(加重)サンプル分散であり、 は全体の平均成功割合に基づいて期待されるベルヌーイ分布から計算された分散です。 ${\displaystyle s^{2}\,}$${\displaystyle \sigma _{0}^{2}}$

密接に関連する概念は、Lexis バリエーションです。サイズnのk個のサンプルがランダムに抽出されます。成功確率 ( p ) は一定で、 k^番目のサンプルの実際の成功確率はp ₁、p ₂、...、p _kとします。

成功の平均確率（p）は

${\displaystyle p={\frac {1}{k}}\sum {p_{i}}}$

成功数のばらつきは

${\displaystyle var(成功)=np(1-p)+n(n-1)var(p_{i})}$

ここでvar( p _{i )は}p _iの分散です。

すべてのp _iが等しい場合、サンプリングはベルヌーイ分布であると言われます。p i が異なる場合、_{サンプリング}はレキシアン分布であると言われ、分散は超正規分布であると言われます。

レキシアン サンプリングは、非均質な層からのサンプリングで発生します。

ウィルヘルム・レクシスは、サンプリングデータは均質であるとみなせるという当時の一般的な仮定をテストするためにこの統計を導入しました。^[要出典]

• 過剰分散 § 二項分布