均一に最も強力なテスト

統計的仮説検定において、一様最も強力な（UMP）検定は、与えられたサイズαのすべての可能な検定の中で最も強力な仮説検定である。例えば、ネイマン・ピアソンの補題によれば、尤度比検定は単純な（点）仮説を検定する場合の UMP である。 ${\displaystyle 1-\beta }$

が、未知の決定論的パラメータ に依存する、パラメータ化された確率密度関数または確率質量関数の族から取られたランダム ベクトル（測定値に対応）を表すものとします。パラメータ空間は、2 つの互いに素な集合とに分割されます。が という仮説を表すものとします。が という仮説を表すものとします。仮説のバイナリ テストは、棄却領域（測定空間のサブセット） を持つテスト関数を使用して実行されます。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{\theta }(x)}$${\displaystyle \theta \in \Theta }$${\displaystyle \Theta}$${\displaystyle \Theta _{0}}$${\displaystyle \Theta _{1}}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle \theta \in \Theta _{0}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle \theta \in \Theta _{1}}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in R\\0&{\text{if }}x\in R^{c}\end{cases}}}$

つまり、測定 の場合は が有効であり、測定 の場合は が有効です。 は測定空間の互いに素な被覆であることに注意してください。 ${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle X\in R}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle X\in R^{c}}$${\displaystyle R\cup R^{c}}$

テスト関数がUMPのサイズであるのは、他のテスト関数が ${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \varphi '(x)}$

${\displaystyle \sup _{\theta \in \Theta _{0}}\;\operatorname {E} [\varphi '(X)|\theta ]=\alpha '\leq \alpha =\sup _{\theta \in \Theta _{0}}\;\operatorname {E} [\varphi (X)|\theta ]\,}$

我々は持っています

${\displaystyle \forall \theta \in \Theta _{1},\quad \operatorname {E} [\varphi '(X)|\theta ]=1-\beta '(\theta )\leq 1-\beta (\theta )=\operatorname {E} [\varphi (X)|\theta ].}$

カーリン・ルビンの定理は、複合仮説に対するネイマン・ピアソンの補題の拡張とみなすことができます。^{[1]スカラーパラメータ}θによってパラメータ化された確率密度関数を持つスカラー測定を考え、尤度比 を定義します。 が単調非減少で、 において、任意のペア（ が大きいほど の可能性が高いことを意味します）に対して、閾値テストは次のようになります。 ${\displaystyle l(x)=f_{\theta _{1}}(x)/f_{\theta _{0}}(x)}$${\displaystyle l(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta _{1}\geq \theta _{0}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H_{1}}$

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x>x_{0}\\0&{\text{if }}x<x_{0}\end{cases}}}$

ここで、${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \operatorname {E} _{\theta _{0}}\varphi (X)=\alpha }$

は、テストのためのサイズαのUMPテストです。${\displaystyle H_{0}:\theta \leq \theta _{0}{\text{ vs. }}H_{1}:\theta >\theta _{0}.}$

全く同じテストがUMPテストでもあることに注意してください${\displaystyle H_{0}:\theta =\theta _{0}{\text{ vs. }}H_{1}:\theta >\theta _{0}.}$

カーリン・ルビンの定理はスカラーパラメータとスカラー測定に制限されているため弱いように思えるかもしれないが、この定理が成り立つ問題が多数存在することが判明している。 特に、

${\displaystyle f_{\theta }(x)=g(\theta )h(x)\exp(\eta (\theta )T(x))}$

が非減少で ある場合、十分な統計量 において単調な非減少尤度比を持ちます。${\displaystyle T(x)}$${\displaystyle \eta (\theta )}$

を平均と共分散行列を持つiid正規分布する次元ランダムベクトルと表すと、 ${\displaystyle X=(X_{0},\ldots ,X_{M-1})}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \theta m}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\theta }(X)={}&(2\pi )^{-MN/2}|R|^{-M/2}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}(X_{n}-\theta m)^{T}R^{-1}(X_{n}-\theta m)\right\}\\[4pt]={}&(2\pi )^{-MN/2}|R|^{-M/2}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}\left(\theta ^{2}m^{T}R^{-1}m\right)\right\}\\[4pt]&\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}^{T}R^{-1}X_{n}\right\}\exp \left\{\theta m^{T}R^{-1}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}\right\}\end{aligned}}}$

これは前の節で示した指数族の形と全く同じであり、十分な統計量は

${\displaystyle T(X)=m^{T}R^{-1}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}.}$

したがって、このテストは

${\displaystyle \varphi (T)={\begin{cases}1&T>t_{0}\\0&T<t_{0}\end{cases}}\qquad \operatorname {E} _{\theta _{0}}\varphi (T)=\alpha }$

テスト用のサイズの UMP テストです。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle H_{0}:\theta \leqslant \theta _{0}}$${\displaystyle H_{1}:\theta >\theta _{0}}$

一般に、ベクトルパラメータや両側検定（対立仮説の両側に 1 つの仮説がある検定）では UMP 検定は存在しません。その理由は、これらの状況では、パラメータの 1 つの可能な値（たとえば、の場合）に対する特定のサイズの最も強力な検定は、パラメータの別の値（たとえば、 の場合）に対する同じサイズの最も強力な検定とは異なるためです。結果として、これらの状況では一様に最も強力な検定はありません。 ${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{1}>\theta _{0}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle \theta _{2}<\theta _{0}}$

• Ferguson, TS (1967)。「第 5.2 節:均一に最も強力なテスト」。数理統計: 決定理論的アプローチ。ニューヨーク: Academic Press。
• Mood, AM; Graybill, FA; Boes, DC (1974)。「セクション IX.3.2:一様で最も強力なテスト」。統計理論入門(第 3 版)。ニューヨーク: McGraw-Hill。
• LL Scharf、「統計信号処理」、Addison-Wesley、1991 年、セクション 4.7。