パップスの重心定理

正の関数によって与えられる曲線${\displaystyle f(x)}$次の2点によって境界付けられる。

${\displaystyle a\geq 0}$そして${\displaystyle b\geq a}$

もし${\displaystyle dL}$は曲線に接する微小な線要素であり、曲線の長さは次のように表される。

$${\displaystyle L=\int _{a}^{b}dL=\int _{a}^{b}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$$

の${\displaystyle y}$この曲線の重心の成分は次のとおりです。

$${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {1}{L}}\int _{a}^{b}y\,dL={\frac {1}{L}}\int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$$

曲線をx軸を中心に回転させてできる曲面の面積は、次式で与えられる。

$${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}y\,dL=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$$

最後の2つの式を用いて積分を消去すると、次のようになります。

$${\displaystyle A=2\pi {\bar {y}}L}$$

2つの関数によって囲まれた領域：

$${\displaystyle y=f(x),\,\qquad y\geq 0}$$

$${\displaystyle y=g(x),\,\qquad f(x)\geq g(x)}$$

そして、以下の2本の線で囲まれています。

${\displaystyle x=a\geq 0}$そして${\displaystyle x=b\geq a}$

次のように与えられます。

$${\displaystyle A=\int _{a}^{b}dA=\int _{a}^{b}[f(x)-g(x)]\,dx}$$

の${\displaystyle x}$この領域の重心の成分は次のように表されます。

$${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{A}}\,\int _{a}^{b}x\,[f(x)-g(x)]\,dx}$$

この領域をy軸を中心に回転させた場合、生成される体積はシェル法を用いて計算できます。その式は次のとおりです。

$${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x\,[f(x)-g(x)]\,dx}$$

最後の2つの式を用いて積分を消去すると、次のようになります。

$${\displaystyle V=2\pi {\bar {x}}A}$$

させて${\displaystyle A}$の領域である${\displaystyle F}$、${\displaystyle W}$回転の固体${\displaystyle F}$、 そして${\displaystyle V}$量の${\displaystyle W}$。 仮定する${\displaystyle F}$開始${\displaystyle xz}$-平面を中心に回転する${\displaystyle z}$-軸。重心までの距離${\displaystyle F}$から${\displaystyle z}$-軸は${\displaystyle x}$-座標 $${\displaystyle R={\frac {\int _{F}x\,dA}{A}},}$$ そして定理は次のように述べている。 $${\displaystyle V=Ad=A\cdot 2\pi R=2\pi \int _{F}x\,dA.}$$

これを示すために、${\displaystyle F}$xz平面上にあり、パラメータ化されている。${\displaystyle \mathbf {\Phi } (u,v)=(x(u,v),0,z(u,v))}$のために ${\displaystyle (u,v)\in F^{*}}$パラメータ領域。${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}$本質的には、${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$に${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$、その領域${\displaystyle F}$変数変換の公式によって与えられる。 $${\displaystyle A=\int _{F}dA=\iint _{F^{*}}\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|\,du\,dv=\iint _{F^{*}}\left|{\frac {\partial x}{\partial u}}{\frac {\partial z}{\partial v}}-{\frac {\partial x}{\partial v}}{\frac {\partial z}{\partial u}}\right|\,du\,dv,}$$ どこ${\displaystyle \left|{\tfrac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|}$これは、変数変換のヤコビ行列の行列式です。

固体${\displaystyle W}$トロイダルパラメータ化を持つ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(u,v,\theta )=(x(u,v)\cos \theta ,x(u,v)\sin \theta ,z(u,v))}$のために${\displaystyle (u,v,\theta )}$パラメータ領域において${\displaystyle W^{*}=F^{*}\times [0,2\pi ]}$;そしてその体積は $${\displaystyle V=\int _{W}dV=\iiint _{W^{*}}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|\,du\,dv\,d\theta .}$$

拡大、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|&=\left|\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}\cos \theta &{\frac {\partial x}{\partial v}}\cos \theta &-x\sin \theta \\[6pt]{\frac {\partial x}{\partial u}}\sin \theta &{\frac {\partial x}{\partial v}}\sin \theta &x\cos \theta \\[6pt]{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&0\end{bmatrix}}\right|\\[5pt]&=\left|-{\frac {\partial z}{\partial v}}{\frac {\partial x}{\partial u}}\,x+{\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial x}{\partial v}}\,x\right|=\ \left|-x\,{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|=x\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|.\end{aligned}}}$$

最後の等式は、回転軸が外部にある必要があるため成り立つ。${\displaystyle F}$、 意味${\displaystyle x\geq 0}$。 今、 $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\iiint _{W^{*}}\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\theta )}}\right|\,du\,dv\,d\theta \\[1ex]&=\int _{0}^{2\pi }\!\!\!\!\iint _{F^{*}}x(u,v)\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|du\,dv\,d\theta \\[6pt]&=2\pi \iint _{F^{*}}x(u,v)\left|{\frac {\partial (x,z)}{\partial (u,v)}}\right|\,du\,dv\\[1ex]&=2\pi \int _{F}x\,dA\end{aligned}}}$$ 変数変換によって。