パデ近似

数学において、パデ近似とは、特定の点の近傍における関数を、与えられた次数を持つ有理関数で「最もよく」近似する手法である。この手法では、近似関数のべき級数は、近似対象の関数のべき級数と一致する。この手法は1890年頃にアンリ・パデによって開発されたが、その起源はゲオルク・フロベニウスに遡る。フロベニウスは、この概念を導入し、べき級数の有理近似の特性を研究した。

パデ近似は、テイラー級数を打ち切るよりも関数の近似値として優れていることが多く、テイラー級数が収束しない場合でも有効な場合があります。これらの理由から、パデ近似はコンピュータ計算で広く使用されています。また、ディオファントス近似や超越数論の補助関数としても使用されていますが、より正確な結果を得るためには、パデ理論にヒントを得たアドホックな手法が通常用いられます。パデ近似は有理関数であるため、近似として人工的な特異点が生じる可能性がありますが、これはボレル・パデ解析によって回避できます。

パデ近似がテイラー級数の打ち切りよりも優れた近似となる傾向がある理由は、多点和法の観点から明らかである。無限遠での漸近展開が0または定数となる場合が多数存在するため、これは「不完全な2点パデ近似」と解釈でき、通常のパデ近似はテイラー級数の打ち切り法を改良したものである。

関数fと 2 つの整数m ≥ 0およびn ≥ 1が与えられたとき、[ m / n ]次数のパデ近似は有理関数である。

$${\displaystyle R(x)={\frac {\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}}{1+\sum _{k=1}^{n}b_{k}x^{k}}}={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\dots +b_{n}x^{n}}},}$$これは、可能な限り高い次数まで f ( x ) と一致し、$${\displaystyle {\begin{aligned}f(0)&=R(0),\\f'(0)&=R'(0),\\f''(0)&=R''(0),\\&\mathrel {\;\vdots } \\f^{(m+n)}(0)&=R^{(m+n)}(0).\end{aligned}}}$$

同様に、${\displaystyle R(x)}$マクローリン級数（0 ではテイラー級数）に展開され、その最初の${\displaystyle m+n}$条件は最初のものと等しくなります${\displaystyle m+n}$条件${\displaystyle f(x)}$それで $${\displaystyle f(x)-R(x)=c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\cdots }$$

パデ近似が存在する場合、与えられたmとnに対して形式的なべき級数として一意となる。^{[ 1 ]}

上記で定義したパデ近似は、次のようにも表される。 $${\displaystyle [m/n]_{f}(x).}$$

与えられたfに対して、パデ近似は、ウィンのイプシロンアルゴリズム^{[ 2 ]}および部分和からの その他のシーケンス変換^{[ 3 ]}によって計算できます。$${\displaystyle T_{N}(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N}}$$f の テイラー級数、すなわち 、$${\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}.}$$f は形式的なべき級数にもなり得るため、発散級数の総和にもパデ近似を適用することができる。

パデ近似値を計算する一つの方法は、多項式 の最大公約数に対する拡張ユークリッドアルゴリズムを用いることである。^{[ 4 ]}$${\displaystyle R(x)=P(x)/Q(x)=T_{m+n}(x){\bmod {x}}^{m+n+1}}$$ ある要因の存在と同等である${\displaystyle K(x)}$そのため $${\displaystyle P(x)=Q(x)T_{m+n}(x)+K(x)x^{m+n+1},}$$これは、多項式の拡張最大公約数の計算における1ステップのベズー恒等式 として解釈できる。${\displaystyle T_{m+n}(x)}$そして${\displaystyle x^{m+n+1}}$。

2つの多項式pとqの最大公約数を計算するには、長除法を用いて剰余の数列を計算する ことを思い出してください。$${\displaystyle r_{0}=p,\;r_{1}=q,\quad r_{k-1}=q_{k}r_{k}+r_{k+1},}$$k = 1, 2, 3, ...${\displaystyle \deg r_{k+1}<\deg r_{k}\,}$、 それまで${\displaystyle r_{k+1}=0}$拡張最大公約数のベズー恒等式については、2つの多項式列を同時に計算する。 $${\displaystyle u_{0}=1,\;v_{0}=0,\quad u_{1}=0,\;v_{1}=1,\quad u_{k+1}=u_{k-1}-q_{k}u_{k},\;v_{k+1}=v_{k-1}-q_{k}v_{k}}$$ 各ステップでベズー恒等式を得る $${\displaystyle r_{k}(x)=u_{k}(x)p(x)+v_{k}(x)q(x).}$$

[ m / n ]近似値については、拡張ユークリッドアルゴリズムを実行する。 $${\displaystyle r_{0}=x^{m+n+1},\;r_{1}=T_{m+n}(x)}$$ そして最後の瞬間にそれを止める${\displaystyle v_{k}}$次数がn以下である。

次に多項式${\displaystyle P=r_{k},\;Q=v_{k}}$[ m / n ]パデ近似値を与えます。拡張最大公約数計算のすべてのステップを計算すると、パデ表の反対角が得られます。

発散級数の再和を調べるには、 $${\displaystyle \sum _{z=1}^{\infty }f(z),}$$ パデ関数または単に有理ゼータ関数を導入すると便利である。 $${\displaystyle \zeta _{R}(s)=\sum _{z=1}^{\infty }{\frac {R(z)}{z^{s}}},}$$ どこ $${\displaystyle R(x)=[m/n]_{f}(x)}$$は関数f ( x )の次数( m , n ) のパデ近似です。s = 0におけるゼータ正則化値は、発散級数の和として定義されます。

このパデゼータ関数の関数方程式は次のとおりです。 $${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(sj)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}\zeta _{0}(sj),}$$ ここで、a _jとb _jはパデ近似の係数です。添え字 '0' はパデが [0/0] のオーダーであることを意味し、したがって、リーマンゼータ関数が得られます。

パデ近似は、関数の臨界点と指数を抽出するために使用できます。^{[ 5 ] [ 6 ]}熱力学では、関数f ( x ) が点x = rの近くで非解析的に振る舞う場合、${\displaystyle f(x)\sim |xr|^{p}}$x = r を臨界点、pをfの対応する臨界指数と呼ぶ。f の級数展開の十分な項が分かっていれば、パデ近似の極と留数からそれぞれ臨界点と臨界指数を近似的に抽出することができる。${\displaystyle [n/n+1]_{g}(x)}$、 どこ${\displaystyle g=f'/f}$。

パデ近似は、1変数関数を近似します。2変数近似はチザム近似（JSRチザムにちなんで） ^{[ 7 ]}、多変数近似はカンタベリー近似（ケント大学のグレイブス・モリスにちなんで）^{[ 8 ]と呼ばれます。}

従来のパデ近似は、マクローリン展開を特定の次数まで再現するように決定されます。そのため、展開点以外の値での近似精度は低くなる可能性があります。これは、多点加算法の一種である2点パデ近似によって回避されます。^{[ 9 ]}${\displaystyle x=0}$関数が${\displaystyle f(x)}$これは漸近的な挙動によって表現される${\displaystyle f_{0}(x)}$: $${\displaystyle f\sim f_{0}(x)+o{\big (}f_{0}(x){\big )},\quad x\to 0,}$$ そして${\displaystyle x\to \infty }$追加の漸近挙動${\displaystyle f_{\infty }(x)}$: $${\displaystyle f(x)\sim f_{\infty }(x)+o{\big (}f_{\infty }(x){\big )},\quad x\to \infty .}$$

主な行動を選択することで${\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}$近似関数${\displaystyle F(x)}$漸近挙動を同時に再現するパデ近似は、さまざまなケースで見出すことができる。結果として、その点では${\displaystyle x\to \infty }$通常のパデ近似では近似精度が最も低い場合があるが、2点パデ近似では高い精度が保証される。したがって、2点パデ近似は、全体的に良好な近似を与える方法となり得る。${\displaystyle x=0\sim \infty }$[ ^{10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]​}

次のような場合${\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}$負のべき乗の多項式または級数、指数関数、対数関数または${\displaystyle x\ln x}$2点パデ近似を適用して${\displaystyle f(x)}$これを利用して微分方程式の近似解を高精度で求める方法がある。 ^{[ 9 ]}また、リーマンゼータ関数の非自明な零点については、最初の非自明な零点を実軸上の漸近挙動からある程度の精度で推定することができる。^{[ 9 ]}

2点パデ近似のさらなる拡張として、多点パデ近似がある。^{[ 9 ]}この方法は特異点を扱う。${\displaystyle x=x_{j}(j=1,2,3,\dots ,N)}$関数の${\displaystyle f(x)}$これは近似されるべきものです。関数の特異点がインデックスで表現される場合を考えてみましょう。${\displaystyle n_{j}}$による $${\displaystyle f(x)\sim {\frac {A_{j}}{(x-x_{j})^{n_{j}}}},\quad x\to x_{j}.}$$

2点パデ近似に加えて、${\displaystyle x=0,x\to \infty }$この方法は、発散特性を減らすために近似します。${\displaystyle x\sim x_{j}}$その結果、関数の特異性の情報が捉えられるため、関数の近似は${\displaystyle f(x)}$より高い精度で実行できる。

sin( x ) ^{[ 14 ]}

$${\displaystyle \sin(x)\approx {\frac {{\frac {12671}{4363920}}x^{5}-{\frac {2363}{18183}}x^{3}+x}{1+{\frac {445}{12122}}x^{2}+{\frac {601}{872784}}x^{4}+{\frac {121}{16662240}}x^{6}}}}$$

exp( x ) ^{[ 15 ]}

$${\displaystyle \exp(x)\approx {\frac {1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}+{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}+{\frac {1}{30240}}x^{5}}{1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}-{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}-{\frac {1}{30240}}x^{5}}}}$$

ln(1+ x ) ^{[ 16 ]}

$${\displaystyle \ln(1+x)\approx {\frac {x+{\frac {1}{2}}x^{2}}{1+x+{\frac {1}{6}}x^{2}}}}$$

ヤコビsn( z |3) ^{[ 17 ]}

$${\displaystyle \mathrm {sn} (z|3)\approx {\frac {-{\frac {9851629}{283609260}}z^{5}-{\frac {572744}{4726821}}z^{3}+z}{1+{\frac {859490}{1575607}}z^{2}-{\frac {5922035}{56721852}}z^{4}+{\frac {62531591}{2977897230}}z^{6}}}}$$

ベッセルJ ₅ ( x )

$${\displaystyle J_{5}(x)\approx {\frac {-{\frac {107}{28416000}}x^{7}+{\frac {1}{3840}}x^{5}}{1+{\frac {151}{5550}}x^{2}+{\frac {1453}{3729600}}x^{4}+{\frac {1339}{358041600}}x^{6}+{\frac {2767}{120301977600}}x^{8}}}}$$

エラーerf( x )

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{15{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {49140x+3570x^{3}+739x^{5}}{165x^{4}+1330x^{2}+3276}}}$$

フレネルC ( x )

$${\displaystyle C(x)\approx {\frac {1}{135}}\cdot {\frac {990791\pi ^{4}x^{9}-147189744\pi ^{2}x^{5}+8714684160x}{1749\pi ^{4}x^{8}+523536\pi ^{2}x^{4}+64553216}}}$$

• パデ表– 複素解析における配列 
• バスカラ1世の正弦近似式– 正弦関数を推定する式リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 近似理論― 不正確な数学的計算で許容範囲内の近似値を得るための理論 
• 関数近似– 任意の関数を性質の良い関数で近似すること 

• Baker, GA, Jr.、および Graves-Morris, P. Padé Approximants . Cambridge UP、1996 年。
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• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007)、「第5.12節 パデ近似」、Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (第3 版)、ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-88068-82016年3月3日にオリジナルからアーカイブされ、 2011年8月9日に取得されました。。
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• パデ近似、オレクサンドル・パヴリク、ウルフラム・デモンストレーション・プロジェクト。
• データ分析ブリーフブック：パデ近似、ルドルフ・K・ボック、 欧州原子核研究機構（CERN）。
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• 時間遅延のあるモデルのパデ近似を行うためのMATLAB関数。