正射投影図

地図作成における正投影は、古代から使われてきました。ステレオ投影や心射投影と同様に、正投影は球体を接平面または割面上に投影する透視投影です。正投影の透視点は無限遠にあります。宇宙から見た地球の半球を描き、地平線は大円です。形状と面積は、特に端の近くで歪んでいます。 ^{[1] [2]}

正投影法は古代から知られており、地図作成におけるその使用法はよく文書化されている。ヒッパルコスは紀元前2世紀にこの投影法を使用して、星の出と沈む場所を決定した。紀元前14年頃、ローマの技術者マルクス・ウィトルウィウス・ポリオはこの投影法を使用して日時計を製作し、太陽の位置を計算した。^[2]

ウィトルウィウスはまた、この投影法を正投影（ギリシャ語のorthos （＝「まっすぐな」）と graphē（＝「描く」）に由来）という用語で表現したようです。しかし、緯度と経度を示す日時計も意味するアナレマという名前は、1613年にアントワープのフランソワ・ダギロンが現在の名前を推進するまで、一般的な名前でした。 ^[2]

この投影法で現存する最古の地図は、1509年（匿名）、1533年と1551年（ヨハネス・シェーナー）、1524年と1551年（アピアン）の地球儀の粗雑な木版画である。ルネサンスの博学者 アルブレヒト・デューラーが設計し、ヨハネス・スタビウスが作成した非常に洗練された地図は、1515年に登場した。^[2]

宇宙船から撮影された地球やその他の惑星の写真は、天文学や惑星科学における正射投影への新たな関心を呼び起こしました。

球面正射影の公式は三角法を使って導出されます。球面上の経度 ( λ ) と緯度 ( φ )で表されます。球面の半径R と投影の中心点 (および原点 ) ( λ 0 , φ 0 ) を定義します。 ( x , y )接平面への正_射影の方程式_は次のように簡略化されます: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\,\cos \varphi \sin \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\\y&=R{\big (}\cos \varphi _ {0}\sin \varphi -\sin \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right){\big )}\end{整列}}}$

地図の範囲を超える緯度は、正投影の 中心からの角度距離 c を計算して切り取る必要があります。これにより、反対側の半球上の点がプロットされなくなります。

${\displaystyle \cos c=\sin \varphi _{0}\sin \varphi +\cos \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\ 、}$。

cos( c )が負の場合、その点はマップから切り取られます。つまり、マッピングに含まれるすべての点が次の条件を満たします。

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<c<{\frac {\pi }{2}}}$。

逆の式は次のように与えられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\arcsin \left(\cos c\sin \varphi _{0}+{\frac {y\sin c\cos \varphi _{0}}{\rho }}\right)\\\lambda &=\lambda _{0}+\arctan \left({\frac {x\sin c}{\rho \cos c\cos \varphi _{0}-y\sin c\sin \varphi _{0}}}\right)\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\c&=\arcsin {\frac {\rho }{R}}\end{aligned}}}$

逆公式の計算には、逆正接関数の2 つの引数を持つatan2形式 ( atanではなく) の使用が推奨されます。これにより、記述された正投影の符号がすべての象限で正しいことが保証されます。

逆公式は、( λ , φ ) グリッド上で定義された変数を( x , y ) の直線グリッドに投影しようとするときに特に役立ちます。正投影を直接適用すると、( x , y ) に点が散らばり、プロットや数値積分に問題が発生します。1 つの解決策は、( x , y ) 投影面から始めて、正投影の逆公式を使用して ( λ , φ )で定義された値から画像を作成することです。

正射投影図の楕円体バージョンについては参考文献を参照してください。^[3]

正射投影図と、同じ縮尺で北緯 90 度を中心とするいくつかの方位投影図との比較。地球半径の投影高度順に並べられています。(詳細はクリックしてください)

広い意味では、投影される面に関係なく、遠近法の視点が無限遠にある投影（つまり平行投影線）はすべて正投影と見なされます。このような投影では、極に近い角度と領域が歪んでしまいます。^{[説明が必要]}

円筒への正射投影の例としては、ランベルト正積円筒図法があります。

• 地図投影法の一覧
• 地図作成における立体投影

ウィキメディア・コモンズには、正投影法 (地図作成)に関連するメディアがあります。

• 正投影法—MathWorldより