楕円（射影平面）

射影幾何学において、楕円は入射特性によって定義される平面に設定される点です。標準的な例は非退化円錐曲線です。しかし、円錐曲線はパッピアン平面でのみ定義されますが、楕円はどのタイプの射影平面にも存在できます。文献には、楕円が円錐曲線であることを暗示する基準が多数ありますが、無限と有限の両方において、パッピアン平面にある円錐曲線ではない楕円の例が多数あります。

前述のように、射影幾何学では楕円は入射特性によって定義されますが、他の分野では、楕円は他の基準を満たすように定義されることもあります。たとえば、微分幾何学では実平面における微分可能性条件によって定義されます。

楕円の高次元類似物は、射影空間内の卵形です。

楕円の概念を一般化したものには抽象的な楕円があり、これは必ずしも射影平面に埋め込まれるわけではない構造です。実際、どの射影平面にも置くことができない抽象的な楕円が存在します。

楕円の定義

射影平面上の点の集合 $Ωは、次の場合、$ 楕円と呼ばれます。

任意の直線 $lは$ $Ωと$ 最大2点で交わり、
任意の点 $P \in Ωに対して、$ $P を$ 通る接線 $t が$ 1 本だけ存在します。つまり、 $t$ $\cap Ω = {$ $P$ } です。

有限平面（つまり点の集合が有限）の場合、より便利な特徴付けができる： ^[2]

$n$ 次有限射影平面（つまり、任意の直線には n + 1 個の点が含まれる）の場合、 $点$ $の$ 集合 $Ω$ が楕円となるのは、 $|$ $Ω$ $| =$ $n$ $+ 1$ であり、3 つの点が同一線上（共通直線上）にない場合のみです。

上記の定義を満たすアフィン平面上の点の集合は、アフィン楕円と呼ばれます。

アフィン楕円は、常に、基礎となるアフィン平面の射影閉包（無限遠に直線を追加）内の射影楕円です。

楕円は特殊な二次集合として考えることもできる。^[3]

例

円錐曲線

任意のパッピアン射影平面には非退化射影円錐曲線が存在し、任意の非退化射影円錐曲線は楕円です。この記述は、任意の円錐曲線（放物線や双曲線など）の簡単な計算によって検証できます。

非退化円錐曲線は、特別な特性を持つ楕円です。

パスカルの定理とそのさまざまな退化は有効です。
円錐不変量を残す射影性は多数存在します。

円錐ではない楕円

実際の飛行機の中で

円の半分と楕円の半分を滑らかに接着すると、円錐ではない楕円が得られます。
円錐楕円の不同次表現を放物線と無限遠点としてとらえ、式 $x 2 を$ $x 4$ に置き換えると、円錐ではない楕円が得られます。
円錐楕円の不同次表現を双曲線と2つの無限遠点としてとらえ、式を置き換えると $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}、1/x⁠$ $⁠$ による $1 / \times 3 ⁠$ 、円錐ではない楕円が得られます。
暗黙の曲線 $x 4 + y 4 = 1$ は非円錐楕円です。

偶数次の有限平面において

偶数次の有限パッピアン平面では、非退化円錐曲線には核（すべての接線が通過する単一の点）があり、これを円錐曲線の任意の点と交換して円錐曲線ではない楕円を得ることができます。
$2$ $m$ 個の元を持つ体 $K = GF(2 m)に対して、$

\Omega =\{(x,y)\in K^{2}\;|y=x^{2^{k}}\;\}\;\cup \;\{(\infty )\}

k\in {2,..., m -1}

かつ

k

と

mが

互いに素であるとき、集合

Ωは

楕円であり、円錐曲線ではない。^[4]^[5]

さらに具体的な例は以下を参照: ^[6]

楕円が円錐になるための基準

楕円が円錐になるためには、楕円および/または平面が追加の条件を満たす必要があります。次に結果を示します。

パスカルの定理またはその5点退化の入射条件を満たす任意の射影平面上の楕円は非退化円錐曲線である。 ^[7]
$Ω が$ パッピアン射影平面上の楕円であり、 $Ω を$ 不変にする射影性群が3 推移的である場合、つまり 2 つの点の 3 つ組 $A 1 、 A 2 、 A 3; B 1 、 B 2 、 B 3$ $に対して、 π($ $A$ $i$ $) =$ $B$ $i$ $、 i = 1,2,3$ となる射影性 $π$ が存在する。有限の場合には2 推移的で十分である。^[8]
$特性\neq2の$ パッピアン射影平面上の楕円 $Ω$ が円錐曲線となるのは、接線の任意の点 $P$ に対して中心 $Pとの$ 対称性があり、 $Ω$ が不変となる場合に限られます。^[9]
$Ω が$ 奇数次の有限デザルグ^[10] (パッピアン) 射影平面 $PG(2,$ $q$ $)$ 上の楕円である場合、 $Ω は$ セグレの定理^[11 ]により円錐曲線となる。これは、座標変換を行った後、 $q$ が奇数である $PG(2,$ $q$ $)$ のすべての楕円がパラメータ化を持つことを意味している。

\{(t,t^{2},1)\mid t\in GF(q)\}\cup \{(0,1,0)\}.

位相楕円の場合、次の単純な基準が当てはまります。

5.複素射影平面上の任意の閉じた楕円は円錐曲線である。 ^[12]

有限平面上の楕円に関するさらなる結果

$q$ 次有限射影平面上の楕円は( $q + 1, 2$ )弧、つまり $q + 1$ 点の集合であり、3 点が同一線上にはありません。q が奇数の場合のデザルグ(パッピアン) 射影平面 $PG(2, q)上の楕円は、単に特異でない円錐曲線です。ただし、$ $q$ $が$ 偶数の場合の $PG(2, q)$ 上の楕円はまだ分類されていません。

奇数 $qの任意の有限射影平面では、$ $q + 1 を$ 超える点があり、そのうち 3 つが同一直線上にない集合は存在しません。これは、この種の数学を実験の統計的設計に適用した 1947 年の論文でボーズが初めて指摘したものです。さらに、クヴィストの定理により、楕円上にない任意の点を通る楕円の接線は 0 本か 2 本しかありません。

qが偶数の場合、状況はまったく異なります。

この場合、 3 点が同一直線上にない $q + 2点の集合が、位数$ $q$ の有限射影平面に存在する可能性があり、これらは超楕円と呼ばれます。これらは、次数 2 の最大弧です。

楕円が与えられた場合、各点を通る唯一の接線があり、 $qが$ 偶数であれば、Qvistの定理^[13]は、これらすべての接線が楕円の外側の点 $P$ で一致することを示しています。この点（楕円の核または結び目と呼ばれることもあります）を楕円に追加すると、超楕円が得られます。逆に、超楕円から任意の1つの点を削除すると、すぐに楕円になります。

偶数次ケースのすべての楕円は超楕円に含まれるため、（既知の）超楕円の記述は暗黙的にすべての（既知の）楕円を与える。超楕円から点を取り除いて得られる楕円は、取り除かれた点が超楕円の自己同型群の同じ軌道にある場合に限り、射影的に同値である。超楕円の自己同型群がその点上で推移的である例は（デザルグ平面において）わずか3つしかない^[14]ので、一般に、単一の超楕円には異なるタイプの楕円が含まれる。

デザルグケース: PG(2,2^h）

これは最も研究されているケースであり、これらのハイパーオーバルについて最も多くのことが知られています。

射影平面上のすべての非特異円錐は、その核とともに超楕円を形成します。これらは超円錐と呼ばれることもありますが、より伝統的な用語は正則超楕円です。これらの集合のそれぞれに対して、集合が次のようになる座標系が存在します。

\{(t,t^{2},1)\mid t\in GF(q)\}\cup \{(0,1,0)\}\cup \{(1,0,0)\}.

しかし、 q > 8 の場合、PG(2, q )の超楕円の他の多くのタイプが見つかります。qの場合のPG(2, q ) の超楕円は、現在までにq < 64についてのみ分類されています。

PG(2,2 ^h )、h > 0 において、超楕円には少なくとも 4 つの点が含まれますが、そのうち 3 つは同一直線上にありません。したがって、射影幾何学の基本定理により、射影座標 (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(1,1,1) の点はどの超楕円にも含まれると常に仮定できます。超楕円の残りの点 (h > 1 の場合) は、(t, f(t),1) という形式になります。ここで、t は有限体 GF(2 ^h )の値の範囲をとり、 fはその体上の関数で、順列を表し、次数が最大で 2 ^h - 2の多項式として一意に表現できます (つまり、順列多項式です)。f(0) = 0 および f(1) = 1 は、指定された点が含まれるという仮定によって強制されることに注意してください。fに対するその他の制限は、3 点が同一直線上にないという条件によって強制されます。このように超楕円を生成する f は o 多項式と呼ばれます。次の^{表は、PG(2,2 h} )の既知の超楕円 (2011 年現在) をすべて、o 多項式と、表示された関数が o 多項式になるために必要なhの値の制約とともに一覧表示しています。すべての指数は mod(2 ^h - 1) で計算されることに注意してください。

PG(2,2における既知の超楕円^h）

^a) Subiaco o-多項式は、のときは常に次のように与えられます。、ここでtrは GF(2 ^h )の絶対トレース関数です。この o-多項式は、のときは一意の超楕円を生じ、のときは 2 つの同値でない超楕円を生じます。 $f(t)={{d^{2}t^{4}+d^{2}(1+d+d^{2})t^{3}+d^{2}(1+d+d^{2})t^{2}+d^{2}t} \over {t^{4}+d^{2}t^{2}+1}}+t^{1/2},$ $tr(1/d)=1{\hbox{ かつ }}d\not \in GF(4){\hbox{ if }}h\equiv 2({\bmod {4}})$ $h\not \equiv 2({\bmod {4}})$ $h\equiv 2({\bmod {4}}),h>2$

^b)アデレード超楕円を記述するために、もう少し一般的な設定から始めます。F = GF(q)、K = GF(q ² )とします。をノルム1の元で1とは異なるものとし、つまりb ^q+1 = 1,とします。の多項式を考えます。 $b\in K$ $b\neq 1$ $t\in F$

f(t) = ( tr (b)) ⁻¹tr (b ^m )(t + 1) + ( tr (b)) ⁻¹tr ((bt + b ^q ) ^m )(t + tr (b)t ^1/2 + 1) ^1−m + t ^1/2、

ここで、tr ( x) = tr _K/F (x) = x + x ^qです。q = 2 ^h、hが偶数、m = ±(q - 1)/3 のとき、上記の f(t) はアデレード超楕円の o 多項式です。

^c)ペンティラ・オキーフのo多項式は次のように与えられる。

f(t) = t ⁴ + t ¹⁶ + t ²⁸ + η ¹¹ (t ⁶ + t ¹⁰ + t ¹⁴ + t ¹⁸ + t ²² + t ²⁶ ) + η ²⁰ (t ⁸ + t ²⁰ ) + η ⁶ (t ¹² + t ²⁴ )、

^{ここでηはη5} = η2 ⁺ 1を満たすGF(32)の原始根である。

PG(2, q) の超楕円、q は偶数、q ≤ 64

2、4、8 次のデザルグ平面の超楕円はすべて超円錐なので、16、32、64 次の平面のみを調べます。

PG(2,16)

(Lunelli & Sce 1958) では、B. Segre の提案により実行された、小次元平面における完全な円弧のコンピュータによる探索の詳細が示されています。PG(2,16) では、超円錐ではない超楕円がいくつか見つかりました。1975 年に、M. Hall Jr. は、コンピュータの多大な支援を受けて、 ^{[15] 、この平面には射影的に同値でない超楕円のクラスが 2 つしかないことを示し、超円錐と、Lunelli と Sce によって見つかった超楕円です。Lunelli}-Sce 超楕円を与える 2040 個の o-多項式のうち、1 つだけを示します。

f(x) = x ¹² + x ¹⁰ + η ¹¹ x ⁸ + x ⁶ + η ² x ⁴ + η ⁹ x ²、

ここで、η はη ^{4 = η + 1 を満たす}GF(16)の原始要素です。

1975 年の論文で、ホールは Lunelli-Sce 超楕円を安定化する平面の共線化をいくつか説明したが、この超楕円の完全な自己同型群を生成することは示さなかった。Payne と Conklin (1978) は、関連する一般化四角形の特性を使用して、自己同型群はホールによって与えられた群よりも大きくはならないことを示した。Korchmáros (1978) は、この結果の構成的証明を独自に与え、また、デザルグ平面では、Lunelli-Sce 超楕円が推移的自己同型群を許容する唯一の不規則超楕円 (非超円錐) であること (そして、そのような群を許容する唯一の超円錐は位数 2 と 4 の超円錐であること) を示した。

O'Keefe と Penttila (1991) は、コンピュータを使わずに Hall の分類結果を反証しました。彼らの議論は、GF(16)上で定義される o 多項式の数の上限を見つけ、次にこの平面内の超楕円の可能な自己同型群を調べることによって、この平面内に既知のもの以外の超楕円が存在する場合は上限を超えることを示すというものです。Brown と Cherowitzo (2000) は、PGL(3,16) のサブグループとして考えられた PGU(3,4) のエレーションによって生成されるグループの軌道の和集合として、Lunelli-Sce 超楕円の群論的構成を示しています。この論文には、Lunelli-Sce 超楕円と超円錐の交差に関するいくつかの注目すべき特性についての議論も含まれています。Cherowitzo らは、 (1996)では、ルネリ-スケ超楕円がスビアコ族の最初の非自明なメンバーであることが示されています。 ^[16]チェロウィッツォ、オキーフ、ペンティラ(2003)では、アデレード族の最初の非自明なメンバーであることが示されています。

PG(2,32)

h = 5 は奇数なので、ここでいくつかの既知の族の代表例がありますが、平面のサイズが小さいため、いくつかの誤った同値性があります。実際、グリンタイプの各超楕円は、平行移動超楕円と射影的に同値であり、ペイン超楕円は、スビアコ超楕円と射影的に同値です (これは、より大きな平面では発生しません)。具体的には、(単項式タイプの) 超楕円には、超円錐 (f(t) = t ² )、適切な平行移動超楕円 (f(t) = t ⁴ )、およびセグレ超楕円 (f(t) = t ⁶ ) の 3 つのクラスがあります。^[17]ペイン超楕円とチェロウィッツォ超楕円に対応するクラスもあります。^[18] O'Keefe、Penttila、Praeger (1991) では、これらの各超楕円を安定化する共線群が決定されています。ペイン超楕円の共線群の最初の決定では、q = 32 の場合を別々に処理する必要があり、コンピュータの結果に大きく依存していたことに注意してください。O'Keefe、Penttila、Praeger (1991) では、コンピュータ計算に依存しない証明の代替バージョンが示されています。

1991年、オキーフとペンティラは、仮想超楕円の自己同型群の順序の割り切れる性質を詳細に調査することで、この平面に新しい超楕円を発見した。^[19]そのo多項式の1つは次のように与えられる。

f(x) = x ⁴ + x ¹⁶ + x ²⁸ + η ¹¹ (x ⁶ + x ¹⁰ + x ¹⁴ + x ¹⁸ + x ²² + x ²⁶ ) + η ²⁰ (x ⁸ + x ²⁰ ) + η ⁶ (x ¹² + x ²⁴ )、

^{ここでηはη5} = η2 ⁺ 1を満たすGF(32)の原始根である。この超楕円の完全自己同型群の位数は3である。

Penttila & Royle (1994) は、この平面にあるすべての超楕円を徹底的にコンピュータで検索する手法を巧みに構築しました。その結果、上記のリストは完全であり、PG(2,32) には 6 つのクラスの超楕円しか存在しないことがわかりました。

PG(2,64)

O'Keefe & Penttila (1992) の考えを PG(2,64) に拡張することで、Penttila & Pinneri (1994) は、自己同型群が 5 次共線化を許容する超楕円を探すことができました。彼らは 2 つを見つけ、この平面にはそのような自己同型を持つ他の超楕円は存在しないことを示しました。これにより、この平面に超円錐以外の超楕円が存在するかどうかを知りたかった B. Segre の長年の未解決の疑問が肯定的に解決されました。超楕円は次のとおりです。

f(x) = x ⁸ + x ¹² + x ²⁰ + x ²² + x ⁴² + x ⁵² + η ²¹ (x ⁴ +x ¹⁰ +x ¹⁴ +x ¹⁶ +x ³⁰ +x ³⁸ +x ⁴⁴ +x ⁴⁸ +x ⁵⁴ +x ⁵⁶ +x ⁵⁸ +x ⁶⁰ +x ⁶² ) + η ⁴² (x ² + x ⁶ + x ²⁶ + x ²⁸ + x ³² + x ³⁶ + x ⁴⁰ )、

これは15次の自己同型群を持ち、

f(x) = x ²⁴ + x ³⁰ + x ⁶² + η ²¹ (x ⁴ +x ⁸ +x ¹⁰ +x ¹⁴ +x ¹⁶ +x ³⁴ +x ³⁸ +x ⁴⁰ +x ⁴⁴ +x ⁴⁶ +x ⁵² +x ⁵⁴ +x ⁵⁸ +x ⁶⁰ ) + η ⁴² (x ⁶ + x ¹² + x ¹⁸ + x ²⁰ + x ²⁶ + x ³² + x ³⁶ + x ⁴² + x ⁴⁸ +x ⁵⁰ )、

これは 60 次自己同型群を持ち、η は η ⁶ = η + 1 を満たす GF(64) の原始元である。Cherowitzo ら (1996) では、これらが Subiaco 超楕円であることが示された。Penttila と Royle (1994) は、コンピュータ検索プログラムを改良して、検索を 3 次自己同型を許容する超楕円に拡張し、次の超楕円を発見した。

f(x) = x ⁴ + x ⁸ + x ¹⁴ + x ³⁴ + x ⁴² + x ⁴⁸ + x ⁶² + η ²¹ (x ⁶ +x ¹⁶ +x ²⁶ +x ²⁸ +x ³⁰ +x ³² +x ⁴⁰ +x ⁵⁸ ) + η ⁴² (x ¹⁰ + x ¹⁸ + x ²⁴ + x ³⁶ + x ⁴⁴ + x ⁵⁰ + x ⁵² + x ⁶⁰ )、

これは12次の自己同型群を持つ（ηは上記のようにGF(64)の原始元である）。この超楕円は最初の異なるアデレード超楕円である。

ペンティラとロイル^[20]は、この平面上の他の超楕円は自明な自己同型群を持つはずであることを示した。これは、そのような超楕円の射影的に同値なコピーが多数存在することを意味するが、これまでの一般的な検索ではそのようなコピーは見つかっておらず、この平面上には他の超楕円は存在しないという推測に信憑性を与えている。

抽象的な楕円

(Bue1966) によれば、位数の抽象楕円（ B 楕円とも呼ばれる）は、が点と呼ばれる要素の集合であり、がに鋭く準 2 推移的に作用する反転の集合であるペアです。つまり、に対してとなる任意の 2 つに対して、およびとなるものが1つだけ存在します。位数の射影平面に埋め込まれた任意の楕円は、同じ位数の抽象楕円の構造を備えている可能性があります。一般に、に対してその逆は当てはまりません。実際、射影平面に埋め込まれない抽象楕円が 2 つあるためです。(Fa1984) を参照してください。 $n$ $(F,{\mathfrak {G}})$ $F$ $n+1$ ${\mathfrak {G}}$ $F$ $(a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2})\in F$ $a_{i}\neq b_{j}$ $i,j\in \{1,2\}$ $\sigma \in {\mathfrak {G}}$ $\sigma (a_{1})=a_{2}$ $\sigma (b_{1})=b_{2}$ $q$ $n\geq 8$ $n=8$

が偶数のとき、同様の構成により抽象超楕円が得られます。(Po1997) を参照してください。次数の抽象超楕円は、が元の集合でありがに作用する不動点自由反転の集合であるペアであり、 4 つの異なる元の任意の集合に対してとなるものが 1 つだけ存在します。 $n$ $n$ $(F,{\mathfrak {G}})$ $F$ $n+2$ ${\mathfrak {G}}$ $F$ $a,b,c,d\in F$ $\sigma \in {\mathfrak {G}}$ $\sigma (a)=b,\sigma (c)=d$

参照

卵形（射影幾何学）

注記

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^ Brown & Cherowitzo 2000も参照。
^ より小さい次元の平面では、これらの超楕円は超円錐と区別できません。Segre & Bartocci (1971) で示されたその存在の証明には、線形化された多項式が使用されています。
^ 詳細についてはCherowitzo 1988を参照。
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外部リンク

Bill Cherowitzo の Hyperoval ページ

[1] 英語の文献では、この用語は、通常、通過点として翻訳されるのではなく、フランス語で表現されます。

[FOOTNOTEDembowski1968147-2] デンボウスキー1968年、147ページ。

[FOOTNOTEBeutelspacherRosenbaum1998144-3] Beutelspacher & Rosenbaum 1998、p. 144.

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[10] すべてのパッピアン平面はデザルグ平面であり、有限の場合にはその逆も成り立ちます。したがって、有限平面の場合、どちらの記述子も有効ですが、有限平面に関する文献では「デザルグ平面」という用語が主流です。

[FOOTNOTESegre1955-11] セグレ 1955年。

[12] Th.ブキャナン:複雑なプロジェクトにおける楕円形とケーゲルシュニット Ebene、数学物理学。 Smesterberichte 26 (1979、pp. 244-260)。

[FOOTNOTEQvist1952-13] クヴィスト 1952年。

[FOOTNOTEKorchmáros1978-14] コルチマーロス 1978年。

[FOOTNOTEHall1975-15] ホール 1975年。

[16] Brown & Cherowitzo 2000も参照。

[17] より小さい次元の平面では、これらの超楕円は超円錐と区別できません。Segre & Bartocci (1971) で示されたその存在の証明には、線形化された多項式が使用されています。

[18] 詳細についてはCherowitzo 1988を参照。

[FOOTNOTEO'KeefePenttila1992-19] オキーフ＆ペンティラ 1992年。

[FOOTNOTEPenttilaRoyle1995-20] ペンティラ＆ロイル 1995年。