上昇連鎖条件

数学において、上昇鎖条件( ACC ) と下降鎖条件( DCC ) は、いくつかの代数構造、特に特定の可換環のイデアルが満たす有限性の性質である。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}これらの条件は、デイヴィッド・ヒルベルト、エミー・ネーター、エミール・アルティンの研究における可換環の構造理論の発展において重要な役割を果たした。これらの条件自体は抽象的な形で記述することができ、任意の半順序集合に対して意味を持つ。この観点は、ガブリエルとレンツラーによる抽象代数次元理論において有用である。

半順序集合（poset）Pは、無限に厳密に上昇する数列が存在しない場合に、上昇連鎖条件（ACC）を満たすと言われる。

${\displaystyle a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots }$

Pの要素が存在する。^{[ 4 ]} 同様に、^{[ a ]}弱上昇列はすべて

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots ,}$

Pの要素の は最終的に安定し、つまり、ある正の整数 n が存在して、

${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots .}$

同様に、Pの要素の無限の厳密に下降する連鎖が存在しない場合、Pは下降連鎖条件(DCC)を満たすと言われます。^{[ 4 ]}同様に、すべての弱下降列は

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }$

Pの要素は最終的に安定化する。

指輪について考えてみましょう

${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}}$

整数の各イデアル${\displaystyle \mathbb {Z} }$ある数のすべての倍数から成る${\displaystyle n}$例えば、理想的な

${\displaystyle I=\{\dots ,-18,-12,-6,0,6,12,18,\dots \}}$

すべての倍数で構成される${\displaystyle 6}$。 させて

${\displaystyle J=\{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots \}}$

すべての倍数からなるイデアルである${\displaystyle 2}$理想的な${\displaystyle I}$理想的なものの中に含まれています${\displaystyle J}$の倍数はすべて${\displaystyle 6}$また、${\displaystyle 2}$ひいては、理想${\displaystyle J}$理想の中に含まれている${\displaystyle \mathbb {Z} }$の倍数はすべて${\displaystyle 2}$の倍数です${\displaystyle 1}$しかし、現時点ではこれ以上の理想はありません。私たちは「限界に達した」のです。${\displaystyle \mathbb {Z} }$。

一般的に、もし${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\dots }$理想は${\displaystyle \mathbb {Z} }$そのため${\displaystyle I_{1}}$に含まれる${\displaystyle I_{2}}$、${\displaystyle I_{2}}$に含まれる${\displaystyle I_{3}}$などなど、${\displaystyle n}$すべて${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots }$つまり、ある時点以降、すべての理想は互いに等しくなります。したがって、${\displaystyle \mathbb {Z} }$集合包含関係によってイデアルが順序付けられている昇順連鎖条件を満たす。したがって${\displaystyle \mathbb {Z} }$はネーター環である。

• アルティニアン
• 主イデアルの昇順条件
• クルル次元
• 合同関係に関する最大条件
• ネーター的

• 「上昇連鎖条件と最大条件の等価性は、依存選択の公理と等価か？」