ネヴァンリンナ理論

複素解析の数学分野において、ネヴァンリンナ理論は有理型関数の理論の一部である。これは1925年にロルフ・ネヴァンリンナによって考案された。 ヘルマン・ワイルはこれを「（20）世紀の数少ない偉大な数学的出来事の1つ」と呼んだ。^{[1]この理論は、方程式}f ( z ) = aの解の漸近分布を、 aが変化するにつれて記述する。基本的なツールは、有理型関数の成長率を測定する ネヴァンリンナ特性T ( r , f ) である。

20世紀前半の他の主な貢献者には、ラース・アルフォルス、アンドレ・ブロック、アンリ・カルタン、エドワード・コリングウッド、オットー・フロストマン、フリティオフ・ネヴァンリンナ、ヘンリク・セルバーグ、清水辰次郎、オスヴァルト・タイヒミュラー、ジョルジュ・ヴァリロンがいた。ネヴァンリンナ理論は、その本来の形で、円板 | z | ≤ Rまたは複素平面全体 ( R = ∞ ) で定義された1つの複素変数の有理型関数を扱っていた。その後の一般化により、ネヴァンリンナ理論は代数関数、正則曲線、任意次元の複素多様体間の正則写像、準正則写像、極小曲面 にまで拡張された。

この記事では、主に1変数の有理型関数の古典的なバージョンについて説明し、特に複素平面上の有理型関数に重点を置いています。この理論の一般的な参考文献は、Goldberg & Ostrovskii、^[2] Hayman ^[3]および Lang (1987) です。

f を有理型関数とする。任意のr  ≥ 0 に対して、n ( r , f ) を、円板 | z | ≤ rにおける有理型関数fの極の数（重複度を数える）とする。次に、ネヴァンリンナ計数関数を次のように 定義する。

${\displaystyle N(r,f)=\int \limits _{0}^{r}\left(n(t,f)-n(0,f)\right){\dfrac {dt}{t}}+n(0,f)\log r.\,}$

この量は、 r が増加するにつれて、 円板 | z | ≤ rの極の数がどのように増加するかを測定する。具体的には、a ₁、  a ₂、...、  a _{n を}、多重度に従って繰り返される0 < | z | ≤ rの穴あき円板のƒの極とすると、 n = n ( r、f ) - n (0、f ) となり、

${\displaystyle N(r,f)=\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+n(0,f)\log r.\,}$

log ⁺ x  = max(log  x , 0)とすると、近接関数は次のように定義されます 。

${\displaystyle m(r,f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log ^{+}\left|f(re^{i\theta })\right|d\theta .\,}$

最後に、ネヴァンリンナ特性を次のように定義します（有理型関数の ジェンセンの公式を参照）。

${\displaystyle T(r,f)=m(r,f)+N(r,f).\,}$

ネヴァンリンナ特性を定義する2番目の方法は、次の式に基づいています。

${\displaystyle \int _{0}^{r}{\frac {dt}{t}}\left({\frac {1}{\pi }}\int _{|z|\leq t}{\frac {|f'|^{2}}{(1+|f|^{2})^{2}}}dm\right)=T(r,f)+O(1),\,}$

ここで、dmは平面上の面積要素です。左辺の式はAhlfors-Shimizu特性と呼ばれます。有界項O (1)はほとんどの問題では重要ではありません。

アルフォース-清水特性の幾何学的な意味は次のとおりです。内部積分dm は、重複度を数えた円板 | z | ≤ tの像の球面面積です(つまり、リーマン球面のk回覆われた部分はk回数えられます)。この面積は、リーマン球面全体の面積であるπで割られます 。結果は、リーマン球面が円板 | z | ≤ tで覆われているシートの平均数として解釈できます。次に、この平均覆い数は、重み 1/ tでtに関して積分されます。

平面上の有理型関数の理論における特性関数の役割は、

${\displaystyle \log M(r,f)=\log \max _{|z|\leq r}|f(z)|\,}$

全体関数の理論では、実際、全体関数の T ( r , f ) とM ( r , f )を直接比較することができます。

${\displaystyle T(r,f)\leq \log ^{+}M(r,f)\,}$

そして

${\displaystyle \log M(r,f)\leq \left({\dfrac {R+r}{Rr}}\right)T(R,f),\,}$

任意のR  >  rに対して。

f がd次有理関数である場合、T ( r , f ) ~  d  log  rとなります。実際、f が有理関数である 場合に限り、 T ( r , f ) =  O (log  r ) となります。

有理型関数の位数は次のように定義さ れる。

${\displaystyle \rho (f)=\limsup _{r\rightarrow \infty}{\dfrac {\log ^{+}T(r,f)}{\log r}}.}$

有限次数の関数は、多くの研究が行われている重要なサブクラスを構成します。

有界特性を持つ円板上の関数は、有界型の関数とも呼ばれ、有界解析関数の比となる関数です。有界型 の関数は、上半平面などの別の領域に対しても定義できます。

a  ∈  Cとし、定義する

${\displaystyle \quad N(r,a,f)=N\left(r,{\dfrac {1}{fa}}\right),\quad m(r,a,f)=m\left(r,{\dfrac {1}{fa}}\right).\,}$

a = ∞の場合、 N ( r ,∞, f ) =  N ( r , f )、m ( r ,∞, f ) =  m ( r , f ) と設定します。

ネヴァンリンナ理論の第一基本定理は、リーマン球面上の任意のaに対して、

${\displaystyle T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1),\,}$

ここで有界項O (1) はfとaに依存する場合がある。^[4] 平面上の非定数有理型関数の場合、r が無限大に近づくにつれてT ( r ,  f ) は無限大に近づくため、第一基本定理によれば、N ( r , a , f ) +  m ( r , a , f ) の和は、 aに依存しない速度で無限大に近づく。第一基本定理は、ジェンセンの公式の単純な帰結である。

特性関数には次の次数特性があります。

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}T(r,fg)&\leq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\T(r,f+g)&\leq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\T(r,1/f)&=&T(r,f)+O(1),\\T(r,f^{m})&=&mT(r,f)+O(1),\,\end{array}}}$

ここで、mは自然数である。有界項O (1)はT ( r , f )が無限大に近づくと無視できる。これらの代数的性質はネヴァンリンナの定義とイェンセンの公式から簡単に得られる。

N ( r ,  f ) をN ( r , f )と同様に定義しますが、重複度は考慮しません（つまり、異なる極の数だけを数えます）。すると、N ₁ ( r , f ) はfの臨界点のネヴァンリンナ計数関数として定義され、

${\displaystyle N_{1}(r,f)=2N(r,f)-N(r,f')+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\right)=N(r,f)+{\overline {N}}(r,f)+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\right).\,}$

第二基本定理は、リーマン球面上の 任意のk個の異なる値a _{jに対して、}

${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}m(r,a_{j},f)\leq 2T(r,f)-N_{1}(r,f)+S(r,f).\,}$

これは、

${\displaystyle (k-2)T(r,f)\leq \sum _{j=1}^{k}{\overline {N}}(r,a_{j},f)+S(r,f),\,}$

ここで、S ( r , f )は「小さな誤差項」です。

平面上で有理型関数 S ( r , f ) = o( T ( r , f )) の場合、有限長の集合の外側では、つまり、誤差項はrの「ほとんどの」値の特性と比較して小さい。誤差項のより優れた推定値が知られているが、例外的な集合を処分することはできないとアンドレ・ブロックが推測し、ヘイマンが証明した。

第二基本定理により、特性関数の上限をN ( r , a )に関して与えることができます。たとえば、f が超越整関数である場合、k  = 3 およびa _{3 = ∞ として第二基本定理を使用すると、} f は最大 2 つの例外を除いて、あらゆる値を無限に頻繁に取ること がわかり、ピカールの定理が証明されます。

ネヴァンリンナによる第二基本定理の元々の証明は、対数微分に関するいわゆる補題に基づいており、m ( r , f' / f ) =  S ( r , f ) と述べている。同様の証明は、多くの多次元一般化にも当てはまる。また、これをガウス・ボネ定理に関連付ける微分幾何学的証明もある。第二基本定理は、アルフォースの計量位相理論からも導くことができ、これはリーマン・フルヴィッツの公式を無限次被覆に 拡張したものと見なすことができる。

ネヴァンリンナとアルフォースの証明は、第二基本定理の定数 2 がリーマン球面のオイラー特性と関係していることを示しています。しかし、この 2 については、チャールズ・オズグッドとポール・ヴォイタによって発見された数論との深い類似性に基づく、非常に異なる説明があります。この類似性によると、2 はトゥエ・ジーゲル・ロスの定理の指数です。数論とのこの類似性については、ラング (1987) の調査と Ru (2001) の著書を参照してください。

欠陥関係は、第二基本定理の主要な帰結の1つである。有理型関数の点aにおける欠陥は、次の式で定義される。

${\displaystyle \delta (a,f)=\liminf _{r\rightarrow \infty }{\frac {m(r,a,f)}{T(r,f)}}=1-\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {N(r,a,f)}{T(r,f)}}.\,}$

第一基本定理によれば、  T ( r , f ) が無限大に近づく場合、 0 ≤ δ ( a , f ) ≤ 1 です (これは、平面上で有理型でない定数関数では常に当てはまります)。 δ ( a , f ) > 0となる点a は、不足値と呼ばれます。第二基本定理は、平面上で有理型関数の不足値の集合は最大でも可算であり、次の関係が成り立つことを示しています。

${\displaystyle \sum _{a}\delta (a,f)\leq 2,\,}$

ここで、合計はすべての欠損値にわたって行われます。^[5]これはピカールの定理 の一般化と見なすことができます。他の多くのピカール型の定理は、第二基本定理から導くことができます。

第二基本定理からのもう一つの帰結として、

${\displaystyle T(r,f')\leq 2T(r,f)+S(r,f),\,}$

これは、次数dの有理関数が2 d  − 2 < 2 dの臨界点を持つという事実を一般化したものです。

ネヴァンリンナ理論は、微分方程式や関数方程式の解析理論^{[6] [7] 、} 正則力学、極小曲面、ピカールの定理の高次元への一般化を扱う複素双曲幾何学など、超越有理型関数が生じるあらゆる問題に役立ちます。^[8]

20 世紀における 1 変数複素関数の研究の大部分は、ネヴァンリンナ理論に集中していました。この研究の 1 つの方向性は、ネヴァンリンナ理論の主な結論が最善の可能性があるかどうかを調べることでした。たとえば、ネヴァンリンナ理論の逆問題は、特定の点に事前に割り当てられた欠陥を持つ有理型関数を構成することです。これは1976 年にDavid Drasinによって解決されました。 ^[9]もう 1 つの方向性は、平面上のすべての有理型関数のクラスのさまざまなサブクラスの研究に集中していました。最も重要なサブクラスは、有限次数の関数で構成されています。このクラスの場合、欠陥関係に加えて、欠陥にはいくつかの制約があることが判明しています (Norair Arakelyan、David Drasin、Albert Edrei、Alexandre Eremenko、 Wolfgang Fuchs、 Anatolii Goldberg、Walter Hayman、Joseph Miles、Daniel Shea、 Oswald Teichmüller、Alan Weitsman など)。

アンリ・カルタン、ヨアヒム・ワイルとヘルマン・ワイル^[1]、ラース・アルフォルスはネヴァンリンナ理論を正則曲線に拡張した。この拡張は複素双曲幾何学の主なツールである。^[10] ヘンリク・セルバーグとジョルジュ・ヴァリロンはネヴァンリンナ理論を代数関数に拡張した。^[11]古典的な1次元理論の集中的な研究は現在も続いている。^[12]

• ヴォイタの予想

• ラング、セルジュ（1987年）。複素双曲空間入門。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 978-0-387-96447-8.ZBL0628.32001  。​
• ラング、セルジュ(1997)。ディオファントス幾何学の調査。スプリンガー・フェルラーグ。 192–204ページ。ISBN 978-3-540-61223-0.ZBL0869.11051  。​
• Rolf Nevanlinna (1925)、「Zur Theorie der Meromorphen Funktionen」、Acta Mathematica、46 (1–2): 1–99、doi : 10.1007/BF02543858、ISSN  0001-5962
• Nevanlinna、Rolf (1970) [1936]、分析関数、Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol. 162、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、MR  0279280
• Ru, Min (2001)。ネヴァンリンナ理論とディオファントス近似との関係。World Scientific Publishing。ISBN 978-981-02-4402-6。

• ボンビエリ、エンリコ、ギュブラー、ウォルター (2006)。「13. ネヴァンリンナ理論」。ディオファントス幾何学の高さ。新数学モノグラフ。第 4 巻。ケンブリッジ大学出版局。pp. 444–478。ISBN 978-0-521-71229-3.ZBL1115.11034  。​
• 小平邦彦（2017）ネヴァンリンナ理論。 Springer数学のブリーフ。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 978-981-10-6786-0.ZBL1386.30002  。​
• ヴォイタ、ポール（1987）。ディオファントス近似と値分布理論。数学講義ノート。第1239巻。シュプリンガー出版。ISBN 978-3-540-17551-3.ZBL0609.14011  。​
• Vojta, Paul (2011)。「ディオファントス近似とネヴァンリンナ理論」。Corvaja, Pietro、Gasbarri, Carlo (編)。算術幾何学。CIME サマースクールでの講義、イタリア、チェトラーロ、2007 年 9 月 10 ～ 15 日。数学の講義ノート。第 2009 巻。ベルリン: Springer-Verlag。pp . 111 ～224。ISBN 978-3-642-15944-2.ZBL1258.11076  。​

• ペトレンコ、VP (2001) [1994]、「価値分配理論」、数学百科事典、EMS プレス
• ペトレンコ、VP (2001) [1994]、「ネヴァンリンナの定理」、数学百科事典、EMS プレス