準正則マップ

数学の解析学の分野において、準正則写像は、同じ次元のユークリッド空間R ⁿ間、またはより一般的には同じ次元のリーマン多様体間の連続写像の一種であり、1 つの複素変数の正則関数といくつかの基本的性質を共有しています。

1 つの複素変数の正則 (解析) 関数の理論は、数学全体の中で最も美しく、最も有用な部分の 1 つです。

この理論の欠点は、2次元空間（リーマン面）間の写像のみを扱うことである。多変数複素関数の理論は、主に多変数解析関数が共形ではないため、異なる性質を持つ。共形写像は任意の次元のユークリッド空間間で定義できるが、次元が2より大きい場合、この写像のクラスは非常に小さく、メビウス変換のみで構成される。これはジョセフ・リウヴィルの定理であり、滑らかさの仮定を緩めても役に立たないことがユーリ・レシェトニャクによって証明されている。^[1]

これは、より高次元の豊富で興味深いマップのクラスを与える、共形性の特性の一般化の探索を示唆しています。

R ⁿ内の領域DからR ⁿへの微分可能写像 fは、 D内のすべての点で次の不等式が成り立つとき、K準正則と呼ばれます。

${\displaystyle \|Df(x)\|^{n}\leq K|J_{f}(x)|}$。

ここで、K  ≥ 1 は定数、J _fはヤコビ行列式、Dfは導関数、つまりヤコビ行列によって定義される線形写像、||·|| は行列の 通常の（ユークリッド）ノルムです。

このような写像の理論の発展により、古典的な意味での微分可能写像に限定するのは不合理であり、「正しい」写像のクラスはソボレフ空間 Wの連続写像で構成されることが示された。^1、n
_位置超関数の意味での偏導関数が局所的にn乗に加算可能であり、上記の不等式がほぼすべての場所で満たされるような写像です。これはK準正則写像の正式な定義です。写像がK準正則であり、何らかのKを持つ場合、その写像は準正則と呼ばれます。定数写像は準正則写像のクラスから除外されます。

準正則写像に関する基本定理はレシェトニャクによって証明された: ^[2]

準正則写像は開いており、離散的です。

これは、開集合の像が開集合であり、点の逆像が孤立点から構成されることを意味します。次元 2 では、これら 2 つの特性により、非定数解析関数のクラスの位相的な特徴付けが与えられます。つまり、平面領域から平面へのすべての連続開写像と離散写像は、同相写像で前合成できるため、結果は解析関数になります。これは、シミオン・ストイロフの定理です。

レシェトニャックの定理は、解析関数に関するすべての純粋な位相的結果（最大モジュラス原理、ルーシェの定理など）が準正則写像に拡張されることを意味します。

単射な準正則写像は準共形写像と呼ばれる。非単射な準正則写像の簡単な例は、3次元空間の円筒座標で次の式で表される。

${\displaystyle (r,\theta ,z)\mapsto (r,2\theta ,z).}$

この写像は2-準正則写像である。z軸を除くすべての点で滑らかである。注目すべき事実は、滑らかな準正則写像はすべて局所同相写像である。さらに注目すべきは、n≥3であるすべての準正則局所同相写像R n → ^R  n は^同相 写像である（これはウラジミール・ゾリッヒ^[2]の定理である）。

これは、準正則写像の定義において滑らかな写像に制限することが合理的でない理由を説明しています。R n からそれ自身への滑らかな準正則写像はすべて準^等角写像です。

1 つの複素変数の正則関数の幾何学的性質に関する多くの定理は、準正則写像に拡張されています。これらの拡張は通常、非常に非自明です。

おそらくこの種の最も有名な結果は、セッポ・リックマンによるピカールの定理の拡張である： ^[3]

K準正則写像 R ⁿ  →  R ⁿ は最大で有限集合を省略できる。

n = 2のとき 、この省略された集合には最大で 1 つの点しか含めることができません (これはピカールの定理の単純な拡張です)。しかし、n > 2 のとき、省略された集合には複数の点を含めることができ、その濃度はnと K の観点から上記から推定できます。実際、デビッド・ドラシンとペッカ・パンカによって示されているように、任意の有限集合を省略することができます。^[4]

f が解析関数である場合、 log | f | はサブハーモニックであり、fのゼロから離れるとハーモニックになります。準正則写像の場合、対応する事実は、 log | f | が楕円型の特定の非線形偏微分方程式を満たすことです。 Reshetnyak のこの発見は、非線形ポテンシャル理論の発展を刺激し、この理論では、通常のポテンシャル理論がハーモニック関数とサブハーモニック関数を扱うのと同じように、この種の方程式を扱います。

• ユーリ・レシェトニャク
• ウラジミール・ゾリッチ