有界型（数学）

数学では、複素平面の領域上で定義された関数は、その領域で有界となる2 つの解析関数の比に等しい場合、有界型であると言われます。しかし、より一般的には、関数が領域内で有界型であるためには、 が上で解析的であり、に調和メジャーラント (majorant) がある 場合に限ります。2 つの有界解析関数の比であることは、関数が有界型 (調和メジャーントで定義) であるための十分条件であり、が単連結である場合は、条件も必要です。 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \log ^{+}|f(z)|}$${\displaystyle \Omega ,}$${\displaystyle \log ^{+}(x)=\max[0,\log(x)]}$${\displaystyle \Omega }$

上のそのようなすべてのクラスは一般に と表記され、 のネヴァンリンナクラスと呼ばれることもあります。ネヴァンリンナクラスには、すべてのハーディクラスが含まれます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle N(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$

有界型の関数は必ずしも有界であるわけではなく、また有界である「型」と呼ばれる特性も持ちません。この名前の理由は、ディスク上で定義される場合、ネヴァンリンナ特性(ディスクの中心からの距離の関数) が有界になるためと考えられます。

明らかに、関数が 2 つの有界関数の比である場合、それは 1 で有界となる 2 つの関数の比として表現できます。

${\displaystyle f(z)=P(z)/Q(z)}$

の対数と の対数は領域内では非負なので、 ${\displaystyle |1/P(z)|}$${\displaystyle |1/Q(z)|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\log |f(z)|&=\log |1/Q(z)|-\log |1/P(z)|\\&\leq \log |1/Q(z)|\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\log ^{+}|f(z)|&=\max[0,\log |f(z)|]\\&\leq \max(0,\log |1/Q(z)|)\\&\leq \log |1/Q(z)|\\&\leq -\Re \left(\log Q(z)\right).\end{aligned}}}$

後者は解析関数の実部であるため調和関数であり、Ω に対して調和的なメジャー関数を持つことを示しています。 ${\displaystyle \log ^{+}|f(z)|}$

与えられた領域では、有界型の関数の和、差、積は有界型であり、分母がゼロでない限り、そのような 2 つの関数の商も同様です。

多項式は、任意の有界領域では有界型です。また、 n次多項式はUHP で有界となる 2 つの解析関数の比として表現できる ため、上半平面(UHP)でも有界型です。${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=P(z)/Q(z)}$

と

${\displaystyle P(z)=f(z)/(z+i)^{n}}$

${\displaystyle Q(z)=1/(z+i)^{n}.}$

多項式の逆関数も、任意の有理関数と同様に、領域内で有界型になります。

関数は、 aが実数の場合に限り、UHP で有界型になります。a が正の場合、関数自体は UHP で有界です (したがって を使用できます)。a が負の場合、関数は で 1/Q(z) に等しくなります。 ${\displaystyle \exp(aiz)}$${\displaystyle Q(z)=1}$${\displaystyle Q(z)=\exp(|a|iz)}$

UHPでは正弦と余弦は有界型です。実際、

${\displaystyle \sin(z)=P(z)/Q(z)}$

と

${\displaystyle P(z)=\sin(z)\exp(iz)}$

${\displaystyle Q(z)=\exp(iz)}$

どちらも UHP で制限されます。

上記の例はすべて、下半平面でも有界型であり、異なるP関数とQ関数を使用しています。しかし、「有界型」という用語の定義で言及されている領域は、関数が定数でない限り複素平面全体にはなり得ません。これは、領域全体で同じPとQ を使用する必要があり、リウヴィルの定理により、有界である唯一の全関数(つまり、複素平面全体で解析的な関数) は定数であるためです。

上半平面におけるもう一つの例は「ネヴァンリンナ関数」、つまりUHPを閉じたUHPに写す解析関数である。f ( z )がこの型であれば、

${\displaystyle f(z)=P(z)/Q(z)}$

ここで、PとQ は有界関数です。

${\displaystyle P(z)={\frac {f(z)}{f(z)+i}}}$

${\displaystyle Q(z)={\frac {1}{f(z)+i}}}$

(これは明らかに、UHP において実部が非負である関数 にも当てはまります。)${\displaystyle f(z)/i}$

与えられた領域では、有界型の 2 つの関数 (null でない) の和、積、または商も有界型です。有界型の関数の集合は複素数上の代数であり、実際は体です。

上半平面上の有界型関数（0の近傍に有限個の根を持つ）は、商を乗じたブラシュケ積（領域で有界な解析関数で、零点を因数分解する）として表現できる。ここで、と は1で有界で、 UHPでは零点を持たない。この商は次のように表現できる。 ${\displaystyle P(z)/Q(z)}$${\displaystyle P(z)}$${\displaystyle Q(z)}$

${\displaystyle P(z)/Q(z)=\exp(-U(z))/\exp(-V(z))}$

ここで、およびは、UHPにおいて非負の実部を持つ解析関数です。これらはそれぞれ、ポアソン表現で表すことができます（ネヴァンリンナ関数を参照）。 ${\displaystyle U(z)}$${\displaystyle V(z)}$

${\displaystyle U(z)=c-ipz-i\int _{\mathbb {R} }\left({\frac {1}{\lambda -z}}-{\frac {\lambda }{1+\lambda ^{2}}}\right)d\mu (\lambda )}$

${\displaystyle V(z)=d-iqz-i\int _{\mathbb {R} }\left({\frac {1}{\lambda -z}}-{\frac {\lambda }{1+\lambda ^{2}}}\right)d\nu (\lambda )}$

ここで、cとdは虚数定数、pとqは非負の実数定数、μ と ν は実変数の非減少関数です (積分が収束するように振る舞います)。差q−p はルイ・ド・ブランジュによって「平均型」と名付けられ、虚数軸に沿った関数の増加または減少を表します。

${\displaystyle q-p=\limsup _{y\to \infty }y^{-1}\ln |f(iy)|}$

上半平面における平均型は、関数の絶対値の対数をゼロからの距離で割った加重平均の極限であり、の値が1になるように正規化されている：^[1]${\displaystyle \exp(-iz)}$

${\displaystyle q-p=\lim _{r\to \infty }(2/\pi )r^{-1}\int _{0}^{\pi }\ln |f(re^{i\theta })|\sin \theta d\theta }$

関数全体が上半平面と下半平面の両方で有界型である場合、その関数は指数型であり、それぞれの 2 つの「平均型」^[2]のうち大きい方の値に等しくなります (大きい方は非負になります)。1 より大きい次数の関数全体 (つまり、ある方向では指数型の関数よりも速く増加する) は、どの半平面でも有界型にはなりません。

したがって、適切なzの指数と任意のネヴァンリンナ関数の指数にiを掛けたものを使用して、有界型の関数を生成することができます。たとえば、

${\displaystyle f(z)=\exp(iz){\frac {\exp(i{\sqrt {z}})}{\exp(-i/{\sqrt {z}})}}}$

上記の例に関して、多項式またはその逆の平均型は 0 です。上半平面での の平均型は − aですが、下半平面ではaです。両方の半平面での の平均型は1 です。 ${\displaystyle \exp(aiz)}$${\displaystyle \sin(z)}$

上半平面上の有界型で、非正平均型であり、実軸に対して連続で二乗積分可能な 拡張を持つ関数は、積分（実軸に沿って）が次の式で表されるという興味深い性質（応用上有用）を持つ。

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(t)dt}{t-z}}}$

zが上半平面にある場合は等しく、 zが下半平面にある場合は0になります。^[3]これは上半平面の Cauchy公式と呼ばれることがあります。${\displaystyle f(z)}$

• デ・ブランジュスペース
• ロルフ・ネヴァンリンナ

• コンウェイ、ジョン B. (1996 年 6 月 13 日)。複素変数関数 II。Graduate Texts in Mathematics。第 159 巻。Springer-Verlag。p . 273。ISBN 0-387-94460-5。
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994)。ハーディ類と単葉関数に関するトピック。Birkhauser Advanced Texts: Basel Textbooks。バーゼル: Birkhauser Verlag。