多極放射

多極放射は、遠方の発生源の時間依存分布からの電磁放射または重力放射を記述するための理論的枠組みである。これらのツールは、銀河衝突による重力波から原子核崩壊によるガンマ放射線まで、さまざまな長さスケールで発生する物理現象に適用されます。^{[1] [2] [3]多極放射は、静的発生源からの場を記述する同様の}多極展開技術を使用して分析されますが、多極放射場は静的場とはまったく異なる動作をするため、分析の詳細に重要な違いがあります。この記事では主に電磁多極放射について取り上げますが、重力波の扱いも同様です。

電磁放射は、電荷と電流の発生源システムの構造の詳細に依存します。構造が不明または複雑な場合、直接解析は扱いにくい場合があります。多重極解析は、放射を複雑度が増すモーメントに分割する方法を提供します。電磁場は高次のモーメントよりも低次のモーメントに大きく依存するため、構造の詳細を知らなくても電磁場を近似できます。

マクスウェル方程式は線形であるため、電場と磁場はソース分布に線形に依存します。線形性により、さまざまな多重極モーメントからのフィールドを個別に計算し、それらを加算してシステム全体のフィールドを得ることができます。これはよく知られている重ね合わせの原理です。

多重極モーメントは、与えられた座標系の原点とされる固定された展開点を基準として計算される。原点を移動すると、最初の非ゼロモーメントを除いて、システムの多重極モーメントが変化する。^{[4] [5]}たとえば、電荷の単極モーメントは、単にシステム内の総電荷である。原点を変更しても、このモーメントは変化しない。単極モーメントがゼロの場合、システムの双極子モーメントは移動不変である。単極子モーメントと双極子モーメントの両方がゼロの場合、四極子モーメントは移動不変であり、以下同様である。高次のモーメントは原点の位置に依存するため、システムの不変特性とは見なされない。

多極子モーメントからの場は、原点からの距離と、座標系に対する評価点の角度方向の両方に依存します。^[4]特に、静止した 極からの電磁場の半径依存性は に比例します。^{[2]つまり、}電気単極子モーメントからの電場は、距離の2乗に反比例します。同様に、電気双極子モーメントは、距離の3乗に反比例する場を作り出します。距離が増加すると、高次モーメントの寄与は低次モーメントの寄与よりもはるかに小さくなるため、計算を簡略化するために高次モーメントを無視することができます。 ${\displaystyle 2^{\ell}}$${\displaystyle 1/r^{\ell +2}}$

放射波の半径依存性は静的場とは異なり、これらの波はシステムからエネルギーを運び去る。エネルギーは保存されなければならないため、単純な幾何学的解析により、球面放射のエネルギー密度、半径は に比例する必要があることが示される。球面波が拡大するにつれて、波の固定エネルギーは表面積 の拡大する球全体に広がる必要がある。したがって、時間依存の多重極モーメントはすべて、モーメントの次数に関係なく、 に比例する放射エネルギー密度に寄与する必要がある。したがって、高次のモーメントは静的な場合ほど簡単には捨てられない。そうであっても、システムの多重極係数は一般に次数が増加するにつれて減少し、通常は に比例するため、高次のモーメントを切り捨てることで放射場を近似することができる。^[5]${\displaystyle r}$${\displaystyle 1/r^{2}}$${\displaystyle 4\pi r^{2}}$${\displaystyle 1/r^{2}}$${\displaystyle 1/(2\ell +1)!!}$

時間依存の音源分布は、フーリエ解析を使用して表現できます。これにより、別々の周波数を独立に解析できます。電荷密度は で与えられ 、電流密度は で与えられます。 ^[6] 便宜上、これ以降は単一の角周波数 ω のみが考慮されます。したがって、 重ね合わせの原理を適用して、複数の周波数の結果を一般化することができます。^[5]ベクトル量は太字で表示されます。物理量を表すために、複素数の実数部を取るという標準的な規則が使用されています。 $${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\rho }}(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}}$$ $${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\mathbf {J} }}(\mathbf {x} ,\オメガ )e^{-i\オメガ t}.}$$$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$$ $${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$$

素粒子の固有角運動量 (スピン (物理学)を参照) も、一部のソース物質からの電磁放射に影響を与える可能性があります。これらの影響を考慮するには、システムの固有磁化を考慮する必要があります。ただし、簡単にするために、これらの影響については、一般化された多極放射の議論に委ねます。 ${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)}$

源分布を積分すると、時間依存の電位と磁気ポテンシャルφとAが得られる。式はSI単位系のローレンツゲージで表現される。^{[5] [6]}

$${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt' {\frac {\rho (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\delta \left(t'-\left(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}{c}}\right)\right)}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\delta \left(t'-\left(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}{c}} \右)\右)}$$

これらの式において、cは真空中の光速、はディラックのデルタ関数、はソースポイントx′から評価ポイントxまでのユークリッド距離です。上記の時間依存ソース分布を積分すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \delta}$${\textstyle \|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}$

$${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}e^{-i\omega t}\int d^{3}\ mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}e^{-i\omega t}\int d^{3 }\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}}$$ ここで、k = ω / cです。これらの式は、多極放射を解析するための基礎となります。

近傍場は、電磁場を準静的に評価できるソースの周囲の領域です。多極子原点からのターゲット距離が放射波長よりもはるかに小さい場合は、 となります。その結果、この領域では指数は次のように近似できます。 ${\displaystyle r=\|\mathbf {x} \|_{2}}$${\displaystyle \lambda =2\pi /k}$${\displaystyle kr\ll 1}$$${\displaystyle e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=1+{\mathcal {O}}(kr)}$$

テイラー展開を参照してください。この近似を使用すると、残りのx ′依存性は静的システムの場合と同じになり、同じ分析が適用されます。^{[4] [5]}本質的に、システムのスナップショットを取得し、それを静的であるかのように扱うだけで、特定の瞬間の近傍場のポテンシャルを評価できます。そのため、準静的と呼ばれます。^[5]近傍場と遠方場および多重極展開を参照してください。特に、逆距離は球面調和関数を使用して展開され、球面多重極係数を取得するために個別に積分されます。 ${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}$

高周波音源から遠い距離では、次の近似が成り立ちます。 ${\displaystyle \lambda \ll r}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {1}{r}}+{\mathcal {O} }(1/r^{2})}$$ $${\displaystyle e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=e^{ik(r-\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} + {\mathcal {O}}(1/r))}=e^{ikr-ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }(1+{\mathcal {O}}(1/r))}$$

遠距離では 1次の項のみが意味を持つので、展開を組み合わせると次のようになる。${\displaystyle 1/r}$

$${\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {e^{ikr}}{r}}\left(1-ik(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )+{\frac {(-ik)^{2}}{2}}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )^{2}+\cdots \right)+{\mathcal {O}}(1/r^{2})}$$

の各累乗は、異なる多重極モーメントに対応します。最初のいくつかのモーメントは、以下で直接評価されます。 ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }$

スカラーポテンシャルに適用される ゼロ次の項 は、 全電荷が周波数ωで振動する電気単極子モーメントであることを示す。電荷保存則はq = 0を必要とする。 ${\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}}$$${\displaystyle \phi _{\text{Electric monopole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )={\frac {e^{ikr-i\omega t}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}q}$$${\textstyle q=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )}$$${\displaystyle q(t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ,t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )e^{-i\omega t}=qe^{-i\omega t}.}$$

システムが閉じている場合、総電荷は変動できず、振動振幅qはゼロでなければなりません。したがって、対応するフィールドと放射パワーもゼロでなければなりません。^[5]${\displaystyle \phi _{\text{Electric monopole}}(\mathbf {x} ,t)=0}$

電気双極子放射はベクトルポテンシャルにゼロ次項を適用することで導くことができる。^[5]

$${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )}$$

部分積分の結果は^[7]

$${\displaystyle \int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )=-\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} )).}$$

そして電荷連続方程式は

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\left(-i\omega \rho (\mathbf {x} )+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )\right)e^{-i\omega t}=0.}$$

すると、

$${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )}$$

同様の結果は、スカラーポテンシャルに一次項を適用することによっても得られる。システムの電気双極子モーメントの振幅は であり、これによりポテンシャルは次のように表される。 ${\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )}$${\textstyle \mathbf {p} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )}$

$${\displaystyle \phi _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \cdot \mathbf {p} }$$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {p} }$$

時間依存電位が理解できれば、時間依存電場と磁場は通常の方法で計算できる。つまり、

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=-{\boldsymbol {\nabla }}\phi (\mathbf {x} ,t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t),}$$

あるいは、空間の無源領域では、磁場と電場の関係を利用して、

$${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {iZ_{0}}{k}}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)}$$

ここで、は自由空間のインピーダンスである。上記の電位に対応する電界と磁界は、 ${\textstyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\varepsilon _{0}}}}$

$${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {ck^{2}}{4\pi }}(\mathbf {n} \times \mathbf {p} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}\times \mathbf {n} )}$$

これは球面放射波と一致する。^[5]

電力密度、つまり単位面積当たりのエネルギー、単位時間当たりのエネルギーはポインティングベクトルで表されます。したがって、単位 立体角当たりの時間平均電力密度は次のように表されます 。${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }$

$${\displaystyle {\frac {dP(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {r^{2}}{2}}\Re (\mathbf {n} \cdot \mathbf {E} \times \mathbf {H} ).}$$

とのドット積は放射強度を抽出し、1/2の係数は時間平均から得られる。上で説明したように、は放射エネルギー密度の半径依存性を打ち消す。純粋な電気双極子に適用すると、 ${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle r^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {dP_{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{32\pi ^{2}}}k^{4}\|\mathbf {p} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta }$$

ここでθはに関して測定される。^[5]球面上で積分すると放射される全電力が得られる。 ${\displaystyle \mathbf {p} }$

$${\displaystyle P_{\text{Electric dipole}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {p} \|_{2}^{2}}$$

ベクトルポテンシャルに一次項を適用すると、磁気双極子放射と電気四極子放射が生じる。 ^[5]${\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )}$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Magnetic dipole / Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}(-ik)\int d^{3}\mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )}$$

積分関数はJとx ′ の対称部分と反対称部分に分離できる。

$${\displaystyle (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )={\frac {1}{2}}\left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\times \mathbf {n} }$$

2 番目の項には電流による有効磁化が含まれており、積分すると磁気双極子モーメントが得られます。 ${\displaystyle \mathbf {M} _{\text{effective}}(\mathbf {x'} )=1/2(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))}$

$${\displaystyle \int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {M} _{\text{effective}}(\mathbf {x'} )=\mathbf {m} }$$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {m} \times \mathbf {n} }$$

はと似た形をしていることに注意してください。つまり、磁気双極子からの磁場は、電気双極子からの電場と同様に動作します。同様に、磁気双極子からの電場は、電気双極子からの磁場と同様に動作します。変換を行うと、 ${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Magnetic dipole}}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}}$

$${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Electric dipole}}\rightarrow Z_{0}\mathbf {H} _{\text{Magnetic dipole}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}\rightarrow {\frac {-1}{Z_{0}}}\mathbf {E} _{\text{Magnetic dipole}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {m} /c}$$

以前の結果と比較すると磁気双極子の結果が得られる。^[5]

$${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k^{2}Z_{0}}{4\pi }}(\mathbf {n} \times \mathbf {m} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-1}{Z_{0}}}(\mathbf {E} _{\text{Magnetic dipole}}\times \mathbf {n} )}$$^[5]

磁気双極子が単位立体角あたりに放射する平均電力は

$${\displaystyle {\frac {dP_{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {Z_{0}}{32\pi ^{2}}}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta }$$

ここでθは磁気双極子に対して測定される。放射される全電力は^[5]${\displaystyle \mathbf {m} }$

$${\displaystyle P_{\text{Magnetic dipole}}={\frac {Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}}$$

前のセクションの積分関数の対称部分は、電気双極子放射の場合と同様に 、部分積分と電荷連続方程式を適用することで解決できます。

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {x} \left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)={\frac {-i\omega }{2}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )}$$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )}$$

これはトレースレス電気四重極モーメントテンソルに対応する。第2の指数を法線ベクトルで縮約すると、ベクトルポテンシャルは次のように表される^[5]。${\textstyle Q_{\alpha \beta }=\int d^{3}\mathbf {x'} (3x'_{\alpha }x'_{\beta }-\|\mathbf {x'} \|^{2}\delta _{\alpha \beta })\rho (\mathbf {x'} )}$${\textstyle [Q(\mathbf {n} )]_{\alpha }=\sum _{\beta }Q_{\alpha \beta }n_{\beta }}$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}{\frac {1}{3}}\mathbf {Q(n)} }$$

結果として生じる磁場と電場は次のようになる: ^[5]

$${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ick^{3}}{24\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \times \mathbf {Q(n)} }$$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{Electric quadrupole}}\times \mathbf {n} )}$$

電気四重極子が単位立体角あたりに放射する平均電力は

$${\displaystyle {\frac {dP_{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1152\pi ^{2}}}k^{6}\|(\mathbf {n} \times \mathbf {Q(n)} )\times \mathbf {n} \|^{2}}$$

ここでθは磁気双極子に対して測定される。放射される全電力は^[5]${\displaystyle \mathbf {m} }$

$${\displaystyle P_{\text{Electric quadrupole}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1440\pi }}k^{6}\sum _{\alpha ,\beta }Q_{\alpha \beta }^{2}}$$

源分布の多重極モーメントが増加すると、これまで採用してきた直接計算は、継続するにはあまりにも面倒になります。高次のモーメントの解析には、より一般的な理論的仕組みが必要です。前と同様に、単一の源周波数が考慮されています。したがって、電荷、電流、および固有磁化密度は次のように与えられます。 ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$$ $${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$$ $${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {M} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$$

それぞれ。結果として生じる電界と磁界は、発生源と同じ時間依存性を持ちます。

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {E} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$$ $${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {H} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$$

これらの定義と連続方程式を用いると、マクスウェル方程式は次のように書ける。

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} )=-{\frac {iZ_{0}}{k}}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} )}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} (\mathbf {x} )=ikZ_{0}\left(\mathbf {H} (\mathbf {x} )+\mathbf {M} (\mathbf {x} )\right)}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-{\frac {ik}{Z_{0}}}\mathbf {E} (\mathbf {x} )+\mathbf {J} (\mathbf {x} )}$$

これらの方程式は、最後の方程式の回転を取り、恒等式を適用することで結合できます。これにより、非同次ヘルムホルツ方程式のベクトル形式が得られます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {V} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {V} )-{\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {V} }$

$${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\frac {iZ_{0}}{k}}{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}$$ $${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ))\right]}$$

発生源のない領域における 周波数を持つ電磁放射を記述する同次波動方程式は次の形式を持ちます。${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}^{2}+k^{2}){\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )=0}$$

波動関数はベクトル球面調和関数の和として表すことができる。${\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )}$$ $${\displaystyle f_{\ell m}(kr)=A_{\ell m}^{(1)}h_{\ell }^{(1)}(kr)+A_{\ell m}^{(2)}h_{\ell }^{(2)}(kr)}$$

ここで、正規化されたベクトル球面調和関数と球面ハンケル関数です。球面ベッセル関数を参照してください。微分演算子は、特性を持つ角運動量演算子です。係数と係数は、それぞれ膨張波と収縮波に対応します。放射の場合も同様です。他の係数を決定するには、波動方程式のグリーン関数を適用します。ソース方程式が ${\textstyle \mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )=\mathbf {L} Y_{\ell m}(\theta ,\phi )/{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}$${\displaystyle h_{\ell }^{(1)}}$${\displaystyle h_{\ell }^{(2)}}$${\displaystyle \mathbf {L} =-i\mathbf {x} \times {\boldsymbol {\nabla }}}$${\displaystyle L^{2}Y_{\ell m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell m}}$${\displaystyle A_{\ell m}^{(1)}}$${\displaystyle A_{\ell m}^{(2)}}$${\displaystyle A_{\ell m}^{(2)}=0}$

$${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}^{2}+k^{2}){\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )=-\mathbf {V} (\mathbf {x} )}$$

解決策は次のようになります。

$${\displaystyle \Psi _{\alpha }(\mathbf {x} )=\sum _{\beta }\int d^{3}\mathbf {x'} G_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )V_{\beta }(\mathbf {x'} )}$$

グリーン関数はベクトル球面調和関数で表現できます。

$${\displaystyle G_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }ikh_{\ell }^{(1)}(kr)j_{\ell }(kr')X_{\ell m\alpha }(\theta ,\phi )X_{\ell m\beta }^{*}(\theta ',\phi ')}$$

はソース関数 に作用する微分演算子であることに注意してください。したがって、波動方程式の解は次のようになります。 ${\textstyle \mathbf {X} _{\ell m}^{*}=Y_{\ell m}^{*}\mathbf {L} /{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}$${\displaystyle \mathbf {V} }$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x'} )}$$

上記の解を電気多重極波動方程式に適用すると

$${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ))\right]}$$

磁場の解を与える：^[5]

$${\displaystyle \mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )}$$ $${\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x'} )+{\boldsymbol {\nabla '}}\times \mathbf {J} (\mathbf {x'} )+{\boldsymbol {\nabla '}}({\boldsymbol {\nabla '}}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))\right]}$$

電界は次のようになります。

$${\displaystyle \mathbf {E} ^{(E)}(\mathbf {x} )={\frac {iZ_{0}}{k}}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )}$$

この式は、次の等式を適用することで簡略化できる。

$${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} )=i{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))=i\nabla ^{2}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))-{\frac {i\partial }{r\partial r}}(r^{2}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}s(\mathbf {x} )=0}$$

を積分関数に代入すると、^[5]

$${\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))-{\frac {i}{k}}\nabla ^{2}(\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-{\frac {c\partial }{r'\partial r'}}(r'^{2}\rho (\mathbf {x'} ))\right]}$$

グリーンの定理と部分積分により、式は次のように操作される。

$${\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))+ik\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} )\right]+cY_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr'))}$$

球面ベッセル関数は、 放射長スケールがソース長スケールよりもはるかに大きいと仮定することで簡略化することもできます。これはほとんどのアンテナに当てはまります。 ${\displaystyle j_{\ell }(kr')}$

$${\displaystyle j_{\ell }(kr')={\frac {(kr')^{\ell }}{(2\ell +1)!!}}+{\mathcal {O}}((kr')^{\ell +2})}$$

最低次の項のみを残すと、電気多重極係数の簡略化された形が得られる。^[5]

$${\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ick^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[Q_{\ell m}+Q_{\ell m}']}$$ $${\displaystyle Q_{\ell m}=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} )}$$ $${\displaystyle Q_{\ell m}'=-{\frac {ik}{c(\ell +1)}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi '){\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))}$$

${\displaystyle Q_{\ell m}}$は、静電荷分布に適用された場合、静的ケースの電気多極子モーメントと同じであるが、ソース材料の固有磁化から誘導された電気多極子モーメントに対応します。 ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$${\displaystyle Q_{\ell m}'}$

上記の解を磁気多重極波動方程式に適用すると

$${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}$$

電界の解を与える：^[5]

$${\displaystyle \mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )}$$ $${\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}$$

磁場は次のとおりです。

$${\displaystyle \mathbf {H} ^{(M)}(\mathbf {x} )=-{\frac {i}{kZ_{0}}}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )}$$

以前と同様に、式は次のように簡略化されます。

$${\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-k^{2}\mathbf {x'} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )\right]+Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi '){\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr'))}$$

最も低次の項のみを残すと、磁気多重極係数の簡略化された形が得られる。^[5]

$${\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[M_{\ell m}+M_{\ell m}']}$$ $${\displaystyle M_{\ell m}={\frac {1}{\ell +1}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi '){\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))}$$ $${\displaystyle M_{\ell m}'=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi '){\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )}$$