乗数（経済学）

乗数を計算することで、財政政策やその他の外生的支出の変化が総生産に与える影響を分析することができる。

例えば、税率を変更せずにドイツ政府の支出を100ユーロ増やすことで、ドイツのGDPが150ユーロ増加する場合、支出乗数は1.5となります。その他にも、税制変更（一括税や比例税など）の影響を表す乗数など、様々な種類の財政乗数を計算することができます。

ケインズ経済学者は、総需要への影響のみを測定する乗数を計算することが多い。（正確には、一般的なケインズ乗数式は、外生的な支出の変化に応じてIS曲線がどれだけ左右にシフトするかを測定する。）

アメリカの経済学者ポール・サミュエルソンは、1939年の画期的な研究の着想源としてアルビン・ハンセンの名前を挙げている。サミュエルソン乗数加速モデル（あるいは、彼が後に「ハンセン＝サミュエルソン」モデルと名付けたもの）は、ロバートソン型のラグを持つ単純なケインズ型消費関数に基づく乗数メカニズムに依拠している。

${\displaystyle C_{t}=C_{0}+cY_{t-1}}$

${\displaystyle 1/(1-c(1-t)+m)}$

したがって、現在の消費は過去の所得の関数である（cは限界消費性向）。ここで、tは税率、mは輸入対GDP比である。投資は、次の3つの部分から構成されると仮定する。

${\displaystyle I_{t}=I_{0}+I(r)+b(C_{t}-C_{t-1})}$

第1部は自律投資、第2部は金利によって誘発される投資、そして最終部は消費需要の変化によって誘発される投資（「加速」原理）である。b > 0 と仮定する。所得支出面に焦点を当てているため、I(r) = 0（または金利一定）と仮定すると、次のようになる。

${\displaystyle I_{t}=I_{0}+b(C_{t}-C_{t-1})}$

さて、政府部門と海外部門を除外すると仮定した場合、時点 t における総需要は次のようになります。

${\displaystyle Ytd=C_{t}+I_{t}=C_{0}+I_{0}+cY_{t-1}+b(C_{t}-C_{t-1})}$

財市場の均衡を仮定すると（したがって${\displaystyle Y_{t}=Ytd}$)、その後平衡状態になる。

${\displaystyle Y_{t}=C_{0}+I_{0}+cY_{t-1}+b(C_{t}-C_{t-1})}$

しかし、私たちはその価値を知っています${\displaystyle C_{t}}$そして${\displaystyle C_{t-1}}$単に${\displaystyle C_{t}=C_{0}+cY_{t-1}}$そして${\displaystyle C_{t-1}=C_{0}+cY_{t-2}}$それぞれ、次にこれらを代入します。

${\displaystyle Y_{t}=C_{0}+I_{0}+cY_{t-1}+b(C_{0}+cY_{t-1}-C_{0}-cY_{t-2})}$

または、2階線形差分方程式として整理して書き直すと次のようになる。

${\displaystyle Y_{t}-(1+b)cY_{t-1}+bcY_{t-2}=(C_{0}+I_{0})}$

このシステムの解法は、非常に単純になります。Y の平衡レベル（これを${\displaystyle Y_{p}}$（特定の解）は、${\displaystyle Y_{t}=Y_{t-1}=Y_{t-2}=Y_{p}}$、 または：

${\displaystyle (1-c-bc+bc)Y_{p}=(C_{0}+I_{0})}$

それで：

${\displaystyle Y_{p}=(C_{0}+I_{0})/(1-c)}$

補完機能、${\displaystyle Y_{c}}$も簡単に決定できます。つまり、次の形式になることがわかっています。${\displaystyle Y_{c}=A_{1}r_{1}t+A_{2}r_{2}t}$どこ${\displaystyle A_{1}}$そして${\displaystyle A_{2}}$は定義されるべき任意定数であり、$\displaystyle r_1}}$そして$\displaystyle r_2$これらは、次の特性方程式の2つの固有値（特性根）です。

${\displaystyle r^{2}-(1+b)cr+bc=0}$

したがって、全体の解は次のように表されます。${\displaystyle Y=Y_{c}+Y_{p}}$

ケインズ主義の反対者は、ケインズ乗数計算は誤解を招く可能性があると主張することがある。例えば、リカード等価理論によれば、人々が将来どのように赤字を返済すると予想しているかを明示しない限り、赤字による政府支出が需要に与える影響を計算することは不可能である。

最もよく知られている3つの乗数式は図に示すとおりです。

• Gは政府支出を表す
• Tは課税を意味します
• Yは名目GDPを表す
• 私は個人投資のために
• Xは輸出用
• cは消費傾向を表す
• 貯蓄傾向を表すs
• 輸入傾向を表すm