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数学において、ムーファン多角形は、ルース・ムーファンが研究したムーファン平面をジャック・ティッツ が一般化したものであって、ルート群の作用を許容する階数2の既約な構築物である。このテーマに関する書籍で、ティッツとリチャード・ワイス[1]はそれらすべてを分類している。ティッツとワイスによって独立に証明された以前の定理[2] [3]は、ムーファン多角形は一般化された3角形、4角形、6角形、または8角形でなければならないことを示したため、前述の書籍の目的はこれら4つのケースを分析することであった。
定義
- 一般化されたn角形は、直径がnで周囲の長さが 2 nの二部グラフです。
- すべての頂点の価数が少なくとも 3 の場合、グラフは「太い」と呼ばれます。
- 一般化されたn角形の根は長さnのパスです。
- 一般化されたn角形のアパートメントは長さ 2 nのサイクルです。
- ルートのルート部分群は、ルートの内部頂点の 1 つに隣接するすべての頂点を固定するグラフの自己同型の部分群です。
- Moufang n角形は、任意の根の根部分群が根を含むアパートメントに対して推移的に作用するような厚い一般化n角形 ( n > 2) です。
牟芳三角
ムーファン 3 角形は、ムーファン射影平面の接続グラフと同一視できます。この同一視では、平面上の点と線は建物の頂点に対応します。リー群の実数形式は、ムーファン 3 角形の 3 つの主なタイプである例を生み出します。実除算代数は4 つあります。実数、複素数、四元数、八元数で、それぞれ次元が 1、2、4、8 です。このような除算代数上の射影平面は、ムーファン 3 角形を生み出します。
これらの射影平面は、それぞれ SL 3 ( R )、 SL 3 ( C )、 A 5の実数形式、および E 6の実数形式に付属する建物に対応します。
最初の図[どの図か説明が必要]では、丸で囲んだノードは 3 次元ベクトル空間の 1 空間と 2 空間を表しています。2 番目の図[どの図か説明が必要]では、丸で囲んだノードは4 元数上の 3 次元ベクトル空間の 1 空間と 2 空間を表しています。これは、A 5図の丸で囲んだノードによって表現されるように、6 次元複素ベクトル空間の特定の 2 空間と 4 空間を表しています。4 番目のケース (E 6の形式) は例外的で、Moufang 4 角形との類似は Weiss の本の主な特徴です。
実数から任意の体に移ると、Moufang 3 角形は上記のように 3 つのケースに分けられます。最初の図の分割ケースは任意の体上に存在します。2 番目のケースは、すべての結合的で非可換な除算代数に拡張されます。実数上では、これらは次数 2 (および次元 4) の四元数の代数に限定されますが、一部の体では他の次数の中心除算代数が許容されます。3 番目のケースは、「代替」除算代数 (結合法則の弱められた形式を満たす) に関係し、Richard Bruckと Erwin Kleinfeldの定理[4]は、これらが Cayley-Dickson 代数であることを示しています。[5]これで、Moufang 3 角形に関する説明は終わりです。
牟芳四角形
牟芳四角形は牟芳四角形とも呼ばれます。牟芳四角形の分類は最も難しく、Tits と Weiss が分類を書き始めたとき、それまで注目されていなかったタイプが F4 タイプのグループから生まれました。牟芳四角形は 3 つのクラスに分けられます。
- (i) 古典的なグループから生じるもの。
- (ii) 「混合群」から生じるもの（特性2の不完全体KとLが2つあり、K2 ⊂ L ⊂ Kとなる）。
- (iii) 四角形代数から生じるもの。
擬似二次空間から生じるいくつかの古典的な群は、四角形代数（ワイスは特殊と呼ぶ）から得られるという意味で、ここにはいくらか重複があるが、特殊でない他の群もある。これらの中で最も重要なものは、E6、E7、およびE8型の代数群から生じる。これらは、次の図式に属する代数群のk形式である：E6 E7 E8。E6のものは実数上に存在するが、E7とE8のものは存在しない。ワイスは、これらすべての場合の四角形代数をワイス正則だが特殊ではないと呼んでいる。彼が欠陥と呼ぶタイプがさらにあり、F4型の群から生じる。これらは最も風変わりで、特性2の純粋に分離不可能な体拡大を伴う。ワイスは、ティッツとの共同研究で、ムーファン4角形の分類について、存在するはずがないのに存在する奇妙な空白を調べることで初めてこれを発見した。
ティッツとワイスによるムーファン 4 角形の分類は、彼らの興味深いモノグラフと 2 つの点で関連しています。1 つは、四角形代数の使用により、これまで知られていた方法の一部が省略されることです。もう 1 つは、この概念が、ムーファン 3 角形と 6 角形を生み出す八元数代数と 3 次ジョルダン二次除算代数に類似していることです。
実際、「混合群」（四角形の場合は特性 2、六角形の場合は特性 3）から生じない例外的な Moufang 平面、四角形、および六角形はすべて、八元数、四角形代数、またはJordan 代数から生じます。
牟芳六角形
畝方六角形は畝方六角形とも呼ばれる。畝方六角形の分類はTitsによって発表されたが[6] 、詳細はWeissとの畝方多角形の共同研究まで証明されなかった。
牟芳八角形
牟芳八角形は牟芳八角形とも呼ばれる。これらはティッツ[7]によって分類され、ティッツはこれらがすべて2 F 4型のリー群から生じることを示しました。
四角形代数
四角形代数の潜在的な用途は、2つの未解決の問題を解析することです。1つは、ルートグループ（SL nなど）によって生成された部分群によって因数分解された建物の線型変換の完全な群（GL nなど）に関するKneser-Tits予想[8]です。
この予想は、E8 型の 6 角形と 4 角形を除くすべての Moufang 建物に対して証明されています。E8 型の 6 角形と 4 角形の場合、線形変換のグループはルート グループによって生成されるサブグループに等しいと予想されます。E8 六角形の場合、これは 2 次ジョルダン代数に関する質問として言い換えることができ、E8 四角形の場合、四角形代数の観点から言い換えることができます。
E8 四角形に関するもう 1 つの未解決の問題は、離散値に関して完全な体に関するものです。そのような場合、四角形を無限遠での構造として生成するアフィン構築は存在するのでしょうか。
参照
注釈と参考文献
- ^ ティッツ、ジャック、ワイス、リチャード (2013) [2002]。Moufang Polygons。Springer Monographs in Mathematics。Springer。ISBN 978-3-662-04689-0。
- ^ ティッツ、ジャック (1976). 「確実な非存在、一般的な多角形、I、II」。数学の発明。36 (1): 275–284。Bibcode :1976InMat..36..275T。土井：10.1007/BF01390013。S2CID 189829929。 51 (3)、(1979) 267–269土井:10.1007/BF01389919。
- ^ Weiss, Richard (1979). 「特定の Moufang 多角形の非存在」. Inventiones Mathematicae . 51 (3): 261–6. Bibcode :1979InMat..51..261W. doi :10.1007/BF01389918. S2CID 120137397.
- ^ ブルック、リチャード H. ;クラインフェルド、アーウィン (1951) 。 「代替除算環の構造」。アメリカ数学会紀要。2 (6): 878–890。doi : 10.2307/2031702。JSTOR 2031702。MR 0045099 。
- ^ Kleinfeld, Erwin (1951). 「特性 2 の代替分割環」.米国科学アカデミー紀要. 37 (12): 818–820. Bibcode :1951PNAS...37..818K. doi : 10.1073 /pnas.37.12.818 . MR 0041834. PMC 1063478. PMID 16589035.
- ^ Tits, J. (1976). 「球形および Moufang 多角形の建物の分類: 調査」.組み合わせ理論に関する国際会議. 2. pp. 229–246. OCLC 313112178.
- ^ Tits, J. (1983). 「Moufang 八角形とタイプ 2 F 4の Ree 群」。Amer . J. Math. 105 (2): 539–594. doi :10.2307/2374268. JSTOR 2374268.
- ^ ジャック、ジャック (1977). 「Groupes de Whitehead de groupes algébriques simples sur un corps [d'après VP Platonov et al.]」。ブルバキセミナー 1976/77 公開 489–506。数学の講義ノート。スプリンガー。 218–236ページ。ISBN 978-3-540-35719-3。