ミッドレンジ

統計学では、中間範囲または中間極端は、データセットの最大値と最小値の算術平均として定義されるサンプルの中心傾向の尺度です。^[1]

${\displaystyle M={\frac {\max x+\min x}{2}}.}$

中間範囲は、最大値と最小値の差として定義される統計的分散の尺度である範囲と密接に関連しています。中間範囲と範囲がわかれば、サンプルの最大値と最小値を見つけることができるという意味で、2 つの尺度は補完的です。

中間範囲は、中間点をすべて無視するため、ほとんどの対象分布の推定量としては効率が悪く、外れ値によって大きく変化するため堅牢性も欠けているため、実際の統計分析ではほとんど使用されません。実際、多くの分布にとって、中間範囲は最も効率が悪く、最も堅牢性の低い統計の 1 つです。ただし、特殊なケースでは多少の用途があります。一様分布の中心を推定するには最大限に効率的な推定量であり、トリミングされた中間範囲によって堅牢性が確保され、L 推定量として理解および計算が簡単です。

中間範囲は外れ値に非常に敏感で、2 つのデータ ポイント以外はすべて無視されます。したがって、これは非常に非堅牢な統計であり、ブレークダウン ポイントは 0 であり、1 回の観測で任意に変更できることを意味します。さらに、中間範囲は外れ値の影響を強く受けます。サンプル最大値を x だけ増やすか、サンプル最小値をxだけ減らすと、中間範囲は だけ変化しますが、やはりブレークダウン ポイントが 0 であるサンプル平均は だけしか変化しません。したがって、外れ値が既に処理されていない限り、実際の統計ではほとんど役に立ちません。 ${\displaystyle x/2,}$${\displaystyle x/n.}$

トリムされたミッドレンジは、中間要約-nn% と (100−nの平均であり、より堅牢で、nにブレークダウン ポイントが。これらの中間にあるのが中間ヒンジ、これは 25% 中間要約です。中央値は、完全にトリムされた (50%) 中間範囲として解釈できます。これは、偶数ポイントの中央値は 2 つの中間ポイントの平均であるという慣例に従います。

これらのトリミングされた中間範囲は、記述統計として、または中心位置または歪度のL推定値としても興味深いものです。中間ヒンジから中央値を引いたものなどの中間要約の差は、裾の異なるポイントでの歪度の尺度を与えます。^[2]

欠点はあるものの、場合によっては有用です。中間範囲は、十分に扁平な分布の小さなサンプルを与えられた場合、μ の非常に効率的な 推定値ですが、正規分布などの中位分布の場合は非効率的です。

たとえば、最大値と最小値が不明な連続一様分布の場合、中間範囲は平均の一様最小分散不偏推定量(UMVU) 推定量です。サンプルの最大値と最小値は、サンプル サイズとともに、母集団の最大値と最小値に対する十分な統計量です。特定の最大値と最小値を条件とするその他のサンプルの分布は、最大値と最小値の間の一様分布にすぎず、したがって情報を追加しません。詳細については、ドイツの戦車問題を参照してください。したがって、母集団平均の不偏かつ十分な推定量である中間範囲は、実際には UMVU です。サンプル平均を使用すると、この範囲内の点の無意味な分布に基づいてノイズが追加されるだけです。

逆に、正規分布の場合、標本平均は平均の UMVU 推定値です。したがって、一様分布と正規分布の中間として考えられることが多いプラティクルティック分布の場合、中間の標本点と極値の比較の有用性は、正規分布の場合は「同等」、一様分布の場合は「無意味」に変化し、分布によっては、どちらか一方 (またはそれらの組み合わせ) が最も効率的である可能性があります。堅牢な類似物は、ミッドヒンジ (25% トリムされた中間範囲) と中央値を平均する トリミアンです。

十分に扁平な分布（負の過剰尖度、γ ₂ = (μ ₄ /(μ _{2 )²) − 3 と定義）から抽出された小さなサンプルサイズ（} n 4 から 20）の場合、中間範囲は平均μの効率的な推定値です。次の表は、さまざまな尖度の分布の平均の 3 つの推定値を比較した経験的データをまとめたものです。修正平均は、最大値と最小値が削除された切り捨て平均です。^{[3] [4]}

n = 1 または 2の場合、中間値と平均は等しく (中央値と一致する)、すべての分布に対して最も効率的です。n = 3 の場合、修正平均は中央値であり、代わりに平均は、 γ ₂の値が2.0 から 6.0 および -0.8 から 2.0 の場合 の中心傾向の最も効率的な尺度です。

標準正規分布からのサイズnのサンプルの場合、中間範囲Mは不偏であり、分散は次のように表される: ^[5]

${\displaystyle \operatorname {var} (M)={\frac {\pi ^{2}}{24\ln(n)}}.}$

標準ラプラス分布からのサイズnのサンプルの場合、中間範囲Mは不偏であり、分散は次のように与えられる: ^[6]

${\displaystyle \operatorname {var} (M)={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

特に、サンプルサイズが大きくなっても分散はゼロに減少しません。

ゼロ中心一様分布から得られたサイズnのサンプルの場合、中間範囲Mは不偏であり、nMはラプラス分布である漸近分布を持ちます。^[7]

値のセットの平均は偏差の二乗和を最小化し、中央値は平均絶対偏差を最小化しますが、中間範囲は最大偏差（ と定義）を最小化します。これは変分問題に対する解です。 ${\displaystyle \max \left|x_{i}-m\right|}$

• 範囲（統計）
• ミッドヒンジ