質量バランス

物理学において、質量バランスは物質バランスとも呼ばれ、質量保存則^[1]を物理システムの解析に応用したものです。システムに出入りする物質を考慮することで、この技術がなければ未知の、または測定が困難であった可能性のある質量の流れを特定できます。システムの解析で使用される正確な保存則は問題のコンテキストによって異なりますが、すべて質量保存則、つまり物質が自然に消滅したり生成されたりすることはないという法則を中心に展開されます。^{[2] : 59–62}

そのため、マスバランスは工学および環境分析で広く使用されています。たとえば、マスバランス理論は、化学反応器の設計、化学物質を製造するための代替プロセスの分析、および汚染拡散や物理システムの他のプロセスのモデル化に使用されます。マスバランスはプロセス工学設計の基礎を形成します。^[3]密接に関連し補完的な分析手法には、ポピュレーションバランス、エネルギーバランス、およびやや複雑なエントロピーバランスがあります。これらの手法は、冷凍サイクルなどのシステムの徹底的な設計と分析に必要です。

環境モニタリングでは、予算計算という用語は、モニタリング データを評価するために使用される質量バランス方程式を表すために使用されます (入力と出力の比較など)。生物学では、代謝組織の動的エネルギー予算理論で、質量とエネルギーのバランスが明示的に使用されます。

質量バランスについて引用される一般的な形式は、システムに入る質量は、質量保存則により、システムから出るか、システム内に蓄積されるかのいずれかである、というものです。

化学反応のないシステムの質量バランスは数学的に次のようになる: ^{[2] : 59–62}

$${\displaystyle {\text{Input}}={\text{Output}}+{\text{Accumulation}}}$$

厳密に言えば、バランス方程式の項が総質量、つまりシステムのすべての化学種の合計を指すとすれば、上記の方程式は化学反応を伴うシステムにも当てはまります。化学反応がない場合、流入および流出する化学種の量は同じです。これにより、システム内に存在するそれぞれの化学種に対する方程式が生まれます。ただし、そうでない場合は、各化学種の生成または枯渇 (消費) を考慮して質量バランス方程式を修正する必要があります。この方程式の 1 つの項を使用して化学反応を説明する人もいます。これは、枯渇の場合は負、生成の場合は正になります。ただし、この方程式の従来の形式は、正の生成項 (つまり、反応の生成物) と負の消費項 (生成物を生成するために使用される反応物) の両方を説明するように記述されます。全体として 1 つの項でシステム全体のバランスが説明されますが、このバランス方程式を個々の化学種に適用し、次にプロセス全体に適用する場合は、両方の項が必要です。この修正された方程式は、反応系だけでなく、粒子力学の問題で生じるようなポピュレーションバランスにも使用できます。方程式は以下で示されます。生成項がゼロの場合、前の方程式に簡略化されることに注意してください。^{[2] : 59–62}

$${\displaystyle {\text{Input}}+{\text{Generation}}={\text{Output}}+{\text{Accumulation}}\ +{\text{Consumption}}}$$

• 核反応がない場合、化学反応があっても、流入および流出する原子の数は同じままでなければなりません。
• バランスを形成するには、システムの境界を明確に定義する必要があります。
• 質量バランスは、複数のスケールで物理システムにわたって行うことができます。
• 質量バランスは、蓄積項がゼロである定常状態を仮定することで簡略化できます。

簡単な例でこの概念を説明できます。スラリーが沈殿タンクに流れ込み、タンク内の固形物を除去する状況を考えてみましょう。固形物はタンク内に部分的に浸漬されたコンベア ベルトによって底に集められ、水はオーバーフロー出口から排出されます。

この例では、固形物と水という 2 つの物質があります。水オーバーフロー出口では、スラリー入口と比較して、固形物に対する水の濃度が高くなり、コンベア ベルトの出口では、水に対する固形物の濃度が高くなっています。

仮定

• 定常状態
• 非反応システム

分析

スラリー入口の組成（質量比）が固形物50%、水50%で、質量流量が100  kg /分。タンクは定常状態で動作していると想定されており、蓄積はゼロであるため、入力と出力は固形物と水の両方で等しくなければなりません。スラリータンクの除去効率が60％であることがわかっている場合、水出口には20  kg /分の固形物（40％倍）100kg  /分×50％固形分）。固形分と水を合わせた流量を測定すると、水出口は65  kg /分の場合、コンベアベルトから排出される水の量は5  kg /分。これにより、限られた情報のみで、システム境界を越えた質量バランス関係を使用して、システム内で質量がどのように分布しているかを完全に判断できます。このシステムの質量バランスは、表形式で記述できます。

循環フローを持つシステム間でマスバランスを実行することができます。これらのシステムでは、出力ストリームがユニットの入力にフィードバックされ、さ​​らに再処理されることがよくあります。^{[2] ：97–105}

このようなシステムは粉砕回路でよく使用されます。粉砕回路では、穀物が粉砕され、その後ふるいにかけられて細かい粒子だけが回路から出され、大きな粒子はローラーミル (粉砕機) に戻されます。ただし、リサイクル フローは固体力学操作に限定されるわけではなく、液体やガスの流れでも使用されます。その一例が冷却塔です。冷却塔では、水が何度も塔に送られ、各パスで少量の水のみが取り出されます (固形物が蓄積するのを防ぐため)。その後、水は蒸発するか、取り出された水とともに排出されます。水の質量バランスは、M = D + W + Eです。

リサイクルを使用すると、入力製品の全体的な変換率を高めることができ、パスあたりの変換率が低いプロセス (ハーバープロセスなど) に役立ちます。

質量バランスは、微分的に取ることもできます。概念は大きな質量バランスと同じですが、制限システムのコンテキストで実行されます (たとえば、時間またはより一般的には体積の制限ケースを検討できます)。微分質量バランスは、対象システムをモデル化して理解するための効果的なツールとなる 微分方程式を生成するために使用されます。

微分質量バランスは通常、2 つのステップで解決されます。まず、支配的な微分方程式のセットを取得し、次にこれらの方程式を解析的に、または扱いにくい問題の場合は数値的に解く必要があります。

以下のシステムは、差分質量バランスの応用の良い例です。

1. 理想的な（撹拌式）バッチ反応器
2. 理想的なタンク反応器、連続撹拌タンク反応器(CSTR)とも呼ばれる
3. 理想的なプラグフローリアクター（PFR）

理想的な完全に混合されたバッチ反応器は閉鎖系である。等温条件が想定され、混合により、反応物濃度が減少し、生成物濃​​度が時間の経過とともに増加する際の濃度勾配が防止される。^{[4] : 40–41}多くの化学教科書では、反応速度論と化学平衡について記述する際に、研究対象のシステムがバッチ反応器として記述できることを暗黙的に想定している。物質Aの質量収支は次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}{\text{IN}}&+&{\text{PROD}}&=&{\text{OUT}}&+&{\text{ACC}}\\0&+&r_{\rm {A}}V&=&0&+&\displaystyle {\frac {dn_{\rm {A}}}{dt}}\end{array}}}$$

どこ

• r _{A は}物質Aが生成される速度を表します。
• V は体積です（一定でもそうでなくてもかまいません）。
• n _A物質Aのモル数（ n ）。

フェッドバッチリアクターでは、一部の反応物/成分が連続的またはパルス状に追加されます (最初にすべての成分をブレンドしてから沸騰させてお粥を作る方法 (バッチリアクター)、または最初に水と塩だけを混ぜて沸騰させてから他の成分を追加する方法 (フェッドバッチリアクター) を比較してください)。フェッドバッチリアクターの質量バランスは、もう少し複雑になります。

最初の例では、炭化水素系燃料油の燃焼における過剰空気の割合と燃焼生成ガス中の酸素の割合との関係を質量バランスを使って導く方法を示します。まず、通常の乾燥空気には空気1モルあたり酸素は0.2095 モルなので、 Oは1モルある。
₂で4.773 モルの乾燥空気。化学量論的燃焼の場合、空気の質量と燃料油中の各可燃性元素の質量の関係は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{array}{rccc}{\text{Carbon:}}&{\frac {\text{mass of air}}{\text{mass of C}}}&=&{\frac {4.773\times 28.96}{12.01}}&=&11.51\\[2pt]{\text{Hydrogen:}}&{\frac {\text{mass of air}}{\text{mass of H}}}&=&{\frac {{\frac {1}{4}}(4.773)\times 28.96}{1.008}}&=&34.28\\[6pt]{\text{Sulfur:}}&{\frac {\text{mass of air}}{\text{mass of S}}}&=&{\frac {4.773\times 28.96}{32.06}}&=&4.31\end{array}}}$$

一般的な分析手順の精度を考慮すると、化学量論的燃焼における燃料の質量あたりの空気の質量の式は次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {\text{mass of air}}{\text{mass of fuel}}}=\mathrm {AFR} _{\text{mass}}=11.5\,w_{\rm {C}}+34.3\,w_{\rm {H}}+(w_{\rm {S}}-w_{\rm {O}})}$$

ここで、w _C、w _H、w _S、w _{O は}燃料油中の各元素の質量分率、硫黄が燃焼してSO ₂になることを表し、AFR_質量は質量単位での空燃比を表します。

のために1kg の燃料油には86.1%のC、13.6%のH、0.2%のO、0.1%のSが含まれており、空気の化学量論的質量は14.56 kgなので、AFR = 14.56です。燃焼生成物の質量は15.56 kg . 正確な化学量論では、O
₂存在しないはずである。15パーセントの過剰空気では、AFR = 16.75であり、燃焼生成ガスの質量は17.75 kg、その中には0.505 kgの過剰酸素。燃焼ガスには2.84パーセントのOが含まれる。
₂質量％過剰空気と％Oの関係
₂燃焼ガス中の空気過剰率は0～30パーセントの範囲で有効な二次方程式で正確に表現されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\%{\text{ excess air}}=1.2804\times (\%{\ce {O2}}{\text{ in combustion gas}})^{2}+4.49\times (\%{\ce {O2}}{\text{ in combustion gas}})\\[4pt]&\%{\ce {O2}}{\text{ in combustion gas}}=-0.00138\times (\%{\text{ excess air}})^{2}+0.210\times (\%{\text{ excess air}})\end{aligned}}}$$

2 番目の例では、質量作用の法則を使用して化学平衡定数の式を導出します。

次のような液相可逆反応が起こる密閉反応器があると仮定します。

$${\displaystyle a\mathrm {A} +b\mathrm {B} \leftrightarrow c\mathrm {C} +d\mathrm {D} }$$

物質Aの質量バランスは

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}{\text{IN}}&+&{\text{PROD}}&=&{\text{OUT}}&+&{\text{ACC}}\\0&+&r_{\rm {A}}V&=&0&+&\displaystyle {\frac {dn_{\mathrm {A} }}{dt}}\end{array}}}$$

液相反応なので、（通常は）一定体積を仮定することができ、 ${\displaystyle n_{\rm {A}}=V*C_{\rm {A}}}$

$${\displaystyle r_{\rm {A}}V=V{\frac {dC_{\rm {A}}}{dt}}}$$

または

$${\displaystyle r_{\rm {A}}={\frac {dC_{\rm {A}}}{dt}}}$$

多くの教科書では、反応速度の定義としてこれが示されていますが、ここでは 1 つの反応のみがある閉鎖系での反応速度について話しているという暗黙の仮定は明記されていません。これは残念な間違いで、長年にわたり多くの学生を混乱させてきました。

質量作用の法則によれば、順反応速度は次のように表される。

$${\displaystyle r_{1}=k_{1}[\mathrm {A} ]^{a}[\mathrm {B} ]^{b}}$$

そして逆反応速度は

$${\displaystyle r_{-1}=k_{-1}[\mathrm {C} ]^{c}[\mathrm {D} ]^{d}}$$

物質Aが生成される速度は

$${\displaystyle r_{\mathrm {A} }=a(r_{-1}-r_{1})}$$

そして平衡状態ではAの濃度は一定なので、

$${\displaystyle r_{\mathrm {A} }=a(r_{-1}-r_{1})={\frac {dC_{\mathrm {A} }}{dt}}=0}$$

または、並べ替え

$${\displaystyle {\frac {k_{1}}{k_{-1}}}={\frac {[\mathrm {C} ]^{c}[\mathrm {D} ]^{d}}{[\mathrm {A} ]^{a}[\mathrm {B} ]^{b}}}=K_{eq}}$$

連続混合タンク反応器は、反応物の流入流と生成物の流出流を伴う開放系である。^{[4] : 41}湖はタンク反応器とみなすことができ、回転時間が長い湖（例えば、流量対容積比が低い）は、多くの目的のために連続的に撹拌されている（例えば、あらゆる点で均質である）とみなすことができる。その場合、質量バランスは次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}{\text{IN}}&+&{\text{PROD}}&=&{\text{OUT}}&+&{\text{ACC}}\\Q_{0}\cdot C_{\rm {A,0}}&+&r_{\rm {A}}\cdot V&=&Q\cdot C_{\rm {A}}&+&\displaystyle {\frac {dn_{\rm {A}}}{dt}}\end{array}}}$$

どこ

• Q _{0 は}システムへの体積流量です
• Q はシステムから出る体積流量です。
• C _{A,0 は}流入量中のAの濃度である。
• C _{A は}流出中の A の濃度です。

開放系では化学平衡に達することはできません。ただし、すべての状態変数（温度、濃度など）が一定（ACC = 0 ）となる定常状態には到達できます。

入浴剤が溶けている浴槽を考えてみましょう。底栓をしたまま、さらに水を注ぎます。何が起こるでしょうか?

反応がないのでPROD = 0であり、流出がないのでQ = 0である。質量バランスは

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}{\text{IN}}&+&{\text{PROD}}&=&{\text{OUT}}&+&{\text{ACC}}\\Q_{0}\cdot C_{\rm {A,0}}&+&0&=&0\cdot C_{\rm {A}}&+&\displaystyle {\frac {dn_{\rm {A}}}{dt}}\end{array}}}$$

または

$${\displaystyle Q_{0}\cdot C_{\rm {A,0}}={\frac {dC_{\rm {A}}V}{dt}}=V{\frac {dC_{\rm {A}}}{dt}}+C_{\rm {A}}{\frac {dV}{dt}}}$$

しかし、総体積の質量バランスを用いると、そしてであることは明らかである。したがって、 ${\displaystyle {\tfrac {dV}{dt}}=Q_{0}}$${\displaystyle V=V_{t=0}+Q_{0}t.}$

$${\displaystyle {\frac {dC_{\rm {A}}}{dt}}={\frac {Q_{0}}{(V_{t=0}+Q_{0}t)}}\left(C_{\rm {A,0}}-C_{\rm {A}}\right)}$$

反応は起こっておらず、したがって反応速度や反応速度則も関係していないのに、 であることに注意してください。したがって、 を使って一般的な方法で反応速度を定義することはできないという結論を導き出すことができます。と反応速度の関係を見つける前に、まず質量収支を書き出さなければなりません。しかし、多くの教科書では反応速度を次のように定義しています。 ${\displaystyle {\tfrac {dC_{\rm {A}}}{dt}}\neq 0}$${\displaystyle {\tfrac {dC}{dt}}}$${\displaystyle {\tfrac {dC}{dt}}}$

$${\displaystyle r={\frac {dC_{\mathrm {A} }}{dt}}}$$

この定義では、システムが閉じられており、体積が一定であり、反応が 1 つしかないことが暗黙的に想定されていることは言及されていません。

理想的なプラグフロー反応器は、流れの方向には混合がなく、流れの方向と垂直な方向には完全に混合するチューブに似たオープンシステムであり、流れが乱流である場合に河川や水道管などのシステムによく使用されます。チューブの質量バランスを作成するときは、まずチューブの微小な部分を考慮し、理想的なタンク反応器モデルを使用してその部分に対して質量バランスを作成します。^{[4] : 46–47}次に、その質量バランスを反応器全体の体積で積分して次の式を取得します。

$${\displaystyle {\frac {d(Q\cdot C_{\rm {A}})}{dV}}=r_{\rm {A}}}$$

数値解析では、たとえばコンピュータを使用する場合、理想的なチューブは一連のタンクのリアクターに変換されることが多く、これは PFR が直列の無限数の撹拌タンクと同等であることが示されるためですが、後者の方が、特に定常状態では解析が容易な場合がよくあります。

現実には、反応器は非理想的なものであることが多く、上記の反応器モデルの組み合わせを使用してシステムを記述します。化学反応速度だけでなく、物質移動速度も、特に不均一系におけるシステムの数学的記述において重要になる場合があります。^[5]

化学反応速度は温度に依存するため、システムを完全に記述するには、エネルギーバランス(多くの場合、完全なエネルギーバランスではなく熱バランス) と質量バランスの両方を作成する必要があります。エネルギーバランスには、別のリアクター モデルが必要になる場合があります。たとえば、熱が伝導によってシステムに入る可能性があるため、質量に関して閉じたシステムは、エネルギーに関して開いている可能性があります。

工業プロセス プラントでは、プロセス プラントのどの部分から流入する質量と流出する質量のバランスをとる必要があるという事実を利用して、データ検証および調整アルゴリズムを使用して、測定されたフローを修正できます。ただし、統計的な調整と検出可能なエラーのある測定の除外を可能にするのに十分なフロー測定の冗長性が必要です。実際の測定値にはすべて固有のエラーが含まれているため、調整された測定値は、財務報告、最適化、および規制報告の基準として測定値よりも優れています。これを日常的に商業的に実現できるようにするソフトウェア パッケージが存在します。

• 物質収支計算
• 物質収支の基礎
• 化学反応器の物質収支
• 物質とエネルギーのバランス
• 石油化学プラントおよび石油精製所のプロセス制御の熱および物質収支方法、米国特許 6751527
• モリス、アーサー E.、ガイガー、ゴードン、ファイン、H. アラン (2011)。材料処理における材料およびエネルギーバランス計算ハンドブック (第 3 版) 。Wiley。ISBN 978-1-118-06565-5。