人口バランス方程式

ポピュレーションバランス方程式（PBE）は、現代科学のいくつかの分野、主に化学工学^[1]で、粒子の集団の進化を説明するために導入されています。これには、結晶化^{[2] 、} 浸出（冶金）^[3]、^[4] 液-液抽出、水電気分解のような気-液分散、^[5]液-液反応、粉砕、エアロゾル工学、生物学（個別の実体はサイズに基づく細胞または細胞内タンパク質^[6]）、重合などのトピックが含まれます。ポピュレーションバランス方程式は、粒子の凝集のみを説明するスモルホフスキー凝固方程式の拡張として導出されたと言えます。より一般的には、PBEは、個別の実体の集団が時間の経過とともに特定の特性でどのように発達するかを定義します。これらは、局所的な条件での単一粒子の挙動の分析から粒子集団の平均場挙動を与える積分偏微分方程式のセットです。^[7] 粒子系は粒子の誕生と死を特徴とする。例えば、沈殿過程（液体溶液から固体を形成）を考えてみよう。この過程には核形成、凝集、破壊などのサブプロセスがあり、その結果、特定の半径（球形粒子の形成を想定）の粒子の数が増加または減少する。ポピュレーションバランスとは、特定の状態（この例ではサイズ）の粒子の数のバランスに他ならない。

粒子状態ベクトル ( x , r ) （ここで、x はサイズ、密度などの粒子特性に対応し、内部座標とも呼ばれ、r は空間位置または外部座標に対応します）によって表される粒子特性を持つ粒子の平均数は、位相ベクトル Y( r ,t) （これも、さまざまな場所での位相特性を表すすべてのベクトルの関数です）によって定義される連続位相に分散され、 f( x , r ,t) で表されます。したがって、これは特性領域と空間領域における粒子特性を示します。 h( x , r , Y ,t) は粒子状態空間の単位体積あたりの粒子の出生率を表すため、数保存則は次のように表すことができます^[7]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega _{x}(t)}dV_{x}\int _{\Omega _{r}(t)}dV_{r}\,f(\mathbf {x} ,\mathbf {r} ,t)=\int _{\Omega _{x}(t)}dV_{x}\int _{\Omega _{r}(t)}dV_{r}\,h(\mathbf {x} ,\mathbf {r} ,\mathbf {Y} ,t)}$

これはPBEの一般化された形式である。^[7]

これらの方程式を解くには、主にモンテカルロ法^[8] 、^[9]、 離散化法^[10]、モーメント法^{[8] [9] [11] [12] [13] [14]}が用いられる。選択はアプリケーションと計算インフラストラクチャに依存する。^[1]