マーティンの公理

集合論の数学分野において、ドナルド・A・マーティンとロバート・M・ソロベイによって導入されたマーティンの公理^{[ 1 ]}は、ZFC集合論の通常の公理とは独立した命題である。これは連続体仮説によって暗示されるが、ZFCおよび連続体仮説の否定と矛盾しない。

非公式には、連続体の濃度より小さいすべての基数は、${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$おおよそ次のように振る舞う$\displaystyle \aleph _{0}}$この背後にある直感は、ラシオワ・シコルスキの補題の証明を研究することで理解できる。これは、特定の強制論証を制御するために用いられる原理である。

基数の場合${\displaystyle \kappa }$次の文を定義します。

MA( κ )

可算連鎖条件（以下、ccc）を満たす任意の半順序Pと、 |D| ≤ κを満たすPの稠密部分集合の任意の集合D = { D _i } _{i ∈ I}に対して、すべてのD _i ∈ Dに対してF ∩ D _iが空でないようなP上のフィルタFが存在する。       

この文脈では、集合D は、 Pのすべての要素がD内に下限を持つ場合に稠密であると呼ばれます。 ccc の適用においては、反鎖とは、 Pの部分集合Aであって、 Aの任意の異なる 2 つの要素が互換性を持たないものを指します (2 つの要素は、部分順序において両方の要素の下に共通の要素が存在する場合に互換性があると言われます)。これは、例えば、木の文脈における反鎖の概念とは異なります。

MA(ℵ ₀ ) は ZFC で証明可能であり、Rasiowa–Sikorski の補題として知られています。

MA(2 ^{ℵ ₀} ) は偽です。[0,  1] は可分コンパクトハウスドルフ空間であり、したがって (包含関係にある開集合の半順序集合Pは) ccc です。しかし、ここでP内の次の 2 つの𝔠サイズ稠密集合を考えます。x  ∈  [0,  1] は孤立しておらず、したがって各x は稠密部分集合 { S | x ∉ S } を定義します。また、各r ∈ (0, 1] は稠密部分集合 { S | diam( S ) < r } を定義します。これら 2 つの集合を合わせたサイズも 𝔠 であり、両方を満たすフィルタは、[0, 1] のすべての点を同時に回避しつつ、任意の直径の小さい集合を含まなければなりません。しかし、任意の直径の小さい集合を含むフィルタFは、コンパクト性により ⋂ F内の点を含まなければなりません。( § MA(κ) の同値形式も参照)               

マーティンの公理は、MA(${\displaystyle \kappa }$) はすべての${\displaystyle \kappa }$それによって可能になる可能性がある：

マーティンの公理（MA）

MA(${\displaystyle \kappa }$) はすべての${\displaystyle \kappa <{\mathfrak {c}}}$。

以下の記述はMA( κ )と同等です。

• Xがcccを満たすコンパクトなハウスドルフ位相空間である場合、Xは${\displaystyle \kappa }$あるいは、どこにも密でない部分集合がさらに少ない場合もある。
• P が空でない上向き ccc 半順序集合であり、Y が|Y| ≤ κを満たすPの共終部分集合の集合である場合、 Yのすべての要素と交わるような上向き集合Aが存在する。  
• A を非ゼロの cccブール代数とし、Fを|F| ≤ κ を満たすAの部分集合の集合とする。このとき、ブール準同型 φ: A → Z /2 Zが存在し、すべてのX ∈ Fに対して、 φ( a ) = 1 となるa ∈ Xが存在するか、またはφ( b ) = 0 となる上限b ∈ X が存在する。               

マーティンの公理には、他にも興味深い組み合わせ論的、解析的、位相的な帰結が数多く存在する。

• ポーランド空間上の原子を持たないσ有限ボレル測度において、 κ個以下の零集合の和集合は零集合である。特に、ルベーグ測度が0であるRのκ個以下の部分集合の和集合もまた、ルベーグ測度が0である。
• |X| < 2κを満たすコンパクトなハウスドルフ空間Xは、列コンパクトである。すなわち、すべての列は収束する部分列を持つ^。  
• N上の非主超フィルターはκ未満の基底濃度を持たない。
• 同様に、任意のx  ∈  β N \ Nに対して𝜒( x )  ≥ κが成り立ち、ここで 𝜒 はxの指標であり、したがって 𝜒(β N ) ≥ κとなります。   
• MA(ℵ ₁ )は、ccc位相空間の積がcccであることを意味します（これは、Suslin線が存在しないことを意味します）。
• MA  +  ¬CH は、自由ではないホワイトヘッド群が存在することを意味する。シェラはこのことを利用して、ホワイトヘッド問題が ZFC とは無関係であることを示した。

マーティンの公理はベールのカテゴリー定理の一般化と見なすことができる。連続体仮説が成り立つ場合、上記のMAの同値な形式の1つは、単にcccコンパクト空間に制限されたベールのカテゴリー定理である（位相空間は、互いに素な非可算集合の集合を持たない場合にcccである）。 ^{[ 2 ]}

マーティンの公理をモデルにした他の様々な公理は、強制公理として知られている。これらには、適切な強制公理とマーティンの最大値公理が含まれ、どちらもマーティンの公理を含意する。