根軌跡解析

制御理論と安定性理論において、根軌跡解析は、システムの根が特定のシステムパラメータ（通常はフィードバックシステム内のゲイン）の変化によってどのように変化するかを調べるグラフィカルな手法です。これは、 Walter R. Evansによって開発された古典的制御理論の分野で安定性基準として使用される手法であり、システムの安定性を判断できます。根軌跡は、ゲインパラメータの関数として、複素s平面における閉ループ伝達関数の極をプロットします（極零点プロットを参照）。

エヴァンスは1948年に根軌跡を計算するアナログコンピュータも発明した。これは「スパイラル」（「螺旋」と「計算尺」にちなんで名付けられた）と呼ばれ、デジタルコンピュータが登場する前から広く使われていた。^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]}

根軌跡は、システムの安定性を決定するだけでなく、フィードバック システムの減衰比( ζ ) と固有振動数( ω _n ) の設計にも使用できます。一定の減衰比の線は原点から放射状に描くことができ、一定の固有振動数の線は中心点が原点と一致する逆余弦として描くことができます。根軌跡に沿って目的の減衰比と固有振動数と一致する点を選択することで、ゲインK を計算してコントローラに実装できます。根軌跡を使用したコントローラ設計のより複雑な手法は、ほとんどの制御の教科書に記載されています。たとえば、ラグ、リード、PI、PD、およびPIDコントローラは、この手法を使用して近似的に設計できます。

減衰率と固有振動数の定義では、フィードバック システム全体が 2 次システムによって適切に近似されている、つまり、システムには主要な 1 組の極があることが前提となります。ただし、実際にはそうではないことが多いため、最終設計をシミュレートして、プロジェクトの目標が満たされているかどうかを確認することをお勧めします。

フィードバック システムの根軌跡は、特定のシステム パラメータのさまざまな値に対して閉ループ極の可能な位置を複素s平面でグラフィカルに表現したものです。根軌跡の一部である点は、角度条件を満たします。根軌跡の特定の点のパラメータの値は、大きさ条件を使用して取得できます。

入力信号と出力信号を持つフィードバック システムがあるとします。順方向パスの伝達関数は、フィードバック パスの伝達関数は です。 ${\displaystyle X(s)}$${\displaystyle Y(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle H(s)}$

このシステムでは、閉ループ伝達関数は^[10]で与えられる。

${\displaystyle T(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}}$

したがって、閉ループ伝達関数の閉ループ極は特性方程式 の根です。この方程式の根は のどこにでも見つかります。 ${\displaystyle 1+G(s)H(s)=0}$${\displaystyle 1+G(s)H(s)=0}$

純粋遅延のないシステムでは、積は有理多項式関数となり、 ^[11]のように表される。${\displaystyle G(s)H(s)}$

${\displaystyle G(s)H(s)=K{\frac {(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n})}}}$

ここで、は零点、は極、 はスカラーゲインです。通常、根軌跡図は、パラメータ のさまざまな値に対する伝達関数の極の位置を示します。根軌跡プロットは、 の任意の値に対して となるs平面上のすべての点になります。 ${\displaystyle -z_{i}}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle -p_{i}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G(s)H(s)=-1}$${\displaystyle K}$

を因数分解して単純な単項式を使用すると、角度を加算または減算し、大きさを乗算または除算するベクトル手法を使用して有理多項式を評価できます。ベクトルの定式化は、因数分解された各単項式項が s 平面の からへのベクトルを表すという事実から生じます。多項式は、これらの各ベクトルの大きさと角度を考慮することで評価できます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle (sa)}$${\displaystyle G(s)H(s)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle s}$

ベクトル数学によれば、有理多項式の結果の角度は、分子のすべての角度の合計から分母のすべての角度の合計を引いた値です。したがって、s平面の点が根軌跡上にあるかどうかをテストするには、すべての開ループ極とゼロに対する角度のみを考慮する必要があります。これは角度条件として知られています。

同様に、有理多項式の結果の大きさは、分子のすべての大きさの積を分母のすべての大きさの積で割ったものです。大きさの計算は、s 平面の点が根軌跡の一部であるかどうかを判断するために必要ありません。これは、 が変化することがあり、任意の実数値を取ることができるためです。根軌跡の各点について、 の値を計算できます。これは大きさ条件として知られています。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

根軌跡は、ゲインが変化するときのクローズドループ極の位置のみを示します。 の値はゼロの位置には影響しません。オープンループのゼロはクローズドループのゼロと同じです。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

複素s平面上の点が角度条件を満たすのは、 ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \angle (G(s)H(s))=\pi }$

これは、

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\angle (s+z_{i})-\sum _{i=1}^{n}\angle (s+p_{i})=\pi }$

つまり、開ループのゼロから点までの角度（ゼロを通る水平線に対してゼロごとに測定）の合計から、開ループの極から点までの角度（極を通る水平線に対して極ごとに測定）を引いた値は、つまり 180度に等しくなければなりません。これらの解釈は、点とゼロ/極の間の角度の差と間違えないように注意してください。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle s}$

の値は、根軌跡の 与えられた点に対する大きさの条件を満たす。${\displaystyle K}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle |G(s)H(s)|=1}$

これは、

${\displaystyle K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p​​_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1}$。

根軌跡法では、いくつかの基本的なルールを使用して、 の値が変化するにつれて根がたどる経路（軌跡）の全体的な形状をプロットできます。根軌跡のプロットは、 のさまざまな値に対するこのフィードバックシステムの安定性とダイナミクスの概要を示します。^{[12] [13]}ルールは次のとおりです。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

• オープンループの極と零点をマークする
• 奇数個の極と零点の左側に実軸部分をマークする
• 漸近線を見つける

P を極の数、Z を零点の数と します。

${\displaystyle PZ={\text{漸近線の数}}\,}$

漸近線は実軸と交差し（重心と呼ばれる）、次式で与えられる角度で離れます。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle \phi _{l}={\frac {180^{\circ }+(l-1)360^{\circ }}{PZ}},l=1,2,\ldots ,PZ}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {\operatorname {Re} \left(\sum _{P}-\sum _{Z}\right)}{PZ}}}$

ここで、はすべての極の位置の合計、は明示的な零点のすべての位置の合計であり、実数部のみに関心があることを示します。 ${\displaystyle \sum _{P}}$${\displaystyle \sum _{Z}}$${\displaystyle \operatorname {Re} ()}$

• 出発角を見つけるためのテストポイントの位相条件
• 離脱/侵入ポイントを計算する

ブレークアウェイ ポイントは次の方程式の根に位置します。

${\displaystyle {\frac {dG(s)H(s)}{ds}}=0{\text{ or }}{\frac {d{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0}$

zを解くと、実根から離脱/再突入点が得られます。複素根は離脱/再突入の欠如に対応します。

一般的な閉ループ分母有理多項式

${\displaystyle 1+G(s)H(s)=1+K{\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}},}$

特性方程式は次のように簡略化できる。

${\displaystyle s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +(a_{m}+Kb_{m})s^{m}+\ldots +(a_{1}+Kb_{1})s+(a_{0}+Kb_{0})=0.}$

この方程式の解は、閉ループ伝達関数の根軌跡です。 ${\displaystyle s}$

与えられた

${\displaystyle 1+G(s)H(s)=1+K{\frac {s+3}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}},}$

特性方程式は次のようになる。

${\displaystyle s^{3}+3s^{2}+(5+K)s+(1+3K)=0.}$

次の MATLAB コードは、説明した手動の方法と組み込み関数 を使用して、閉ループ伝達関数の根軌跡が変化する様子をプロットします。${\displaystyle K}$rlocus

% 手動メソッド
K_array = ( 0 : 0.1 : 220 )。' ; % .' は転置です。Matlab ドキュメントで調べます。NK = length ( K_array ); x_array = zeros ( NK , 3 ); y_array = zeros ( NK , 3 );   
  
   
   

nK = 1 の場合: NK K = K_array ( nK ); C = [ 1 , 3 , ( 5 + K ), ( 1 + 3 * K )]; r = roots ( C ). ' ; x_array ( nK ,:) = real ( r ); y_array ( nK ,:) = imag ( r );終了   
     
            
     
     
     


図();
プロット( x_array , y_array );グリッドオン; 
 

% 組み込みメソッド
sys = tf ([ 1 , 3 ], [ 1 , 3 , 5 , 1 ]); figure (); rlocus ( sys );       

^{次のPythonコードは、Python制御システムライブラリ[14]}とMatplotlib ^[15] を使用して閉ループ伝達関数の根軌跡を計算し、プロットするためにも使用できます。

輸入 制御を ctとして 
 matplotlib.pyplot を pltとして インポートします。

# 伝達関数を定義する
sys  =  ct . TransferFunction ([ 1 ,  3 ],  [ 1 ,  3 ,  5 ,  1 ])

# 根軌跡を計算してプロットする
ルート、 ゲイン =  ct . root_locus ( sys 、 プロット= True )
plt .表示()

根軌跡法は、 s平面の離散的対応物であるz平面で根軌跡を計算することにより、サンプリングされたデータ システムの解析にも使用できます。方程式z  =  e ^{sT は}、連続するs平面の極 (ゼロではない) をz領域にマッピングします。ここで、T はサンプリング周期です。安定した左半分のs平面は、 z平面の単位円の内部にマッピングされ、s平面の原点は|z|  = 1 に等しくなります( e ^{0 = 1 であるため)。} s平面 の一定減衰の対角線は、z平面の (1,0) から原点に向かって曲がる螺旋状にマッピングされます。ナイキストエイリアシング基準は、 z平面でx軸によってグラフィカルに表現され、ωnT  =  πです。先ほど説明した一定減衰の線は無限に螺旋状に広がりますが、サンプリングされたデータ システムでは、周波数コンテンツはナイキスト周波数の整数倍だけ低い周波数にエイリアシングされます。つまり、サンプリングされた応答はより低い周波数として現れ、同様により減衰されます。これは、z平面の根が、より減衰された一定減衰の異なる螺旋曲線の最初のループに同様にマッピングされるためです。他の多くの興味深く関連するマッピング プロパティが説明できますが、特に、 z平面伝達関数 (多項式の零点/極比)から直接実装できるというプロパティを持つz平面コントローラは、開ループ伝達関数のz平面プロットでグラフィカルに想像でき、根軌跡を使用してすぐに分析できます。

根軌跡はグラフィカルな角度手法であるため、根軌跡ルールはz平面とs平面で同じように機能します。

根軌跡の考え方は、単一のパラメータKが変化する多くのシステムに適用できます。たとえば、正確な値が不明なシステム パラメータをスイープしてその動作を判断するのに役立ちます。

• 位相マージン
• ラウス・ハーヴィッツの安定性基準
• ナイキスト安定基準
• ゲインと位相マージン
• ボード線図

•  Kuo , Benjamin C. (1967)。「ルートローカステクニック」。自動制御システム(第 2 版) 。 ニュージャージー州エングルウッドクリフス: Prentice-Hall。pp. 329–388。ASIN B000KPT04C。LCCN 67016388。OCLC  3805225。

• アッシュ、RH; アッシュ、GH (1968 年 10 月)、「ニュートン-ラプソン法を用いた根軌跡の数値計算」、IEEE Transactions on Automatic Control、13 (5): 576–582、doi :10.1109/TAC.1968.1098980
• ウィリアムソン、SE（1968年5月）、「根座のプロットを支援する設計データ（パートI）」、コントロールマガジン、12（119）：404–407
• ウィリアムソン、SE（1968年6月）、「ルートロキのプロットを支援する設計データ（パートII）」、コントロールマガジン、12（120）：556–559
• ウィリアムソン、SE（1968年7月）、「ルートロキのプロットを支援する設計データ（パートIII）」、コントロールマガジン、12（121）：645-647
• ウィリアムソン、SE（1969年5月15日）、「サンプルデータシステムの時間応答を取得するためのコンピュータプログラム」、エレクトロニクスレター、5（10）：209–210、Bibcode：1969ElL.....5..209W、doi：10.1049/el：19690159
• Williamson, SE (1969 年 7 月)、「純粋な時間遅延の影響を含む正確な根軌跡プロット。コンピュータ プログラムの説明」、Proceedings of the Institution of Electrical Engineers、116 (7): 1269–1271、doi :10.1049/piee.1969.0235、2019 年 6 月 29 日のオリジナルからアーカイブ

• ウィキブック: 制御システム/根軌跡
• カーネギーメロン大学 / ミシガン大学チュートリアル
• 素晴らしい例です。例5から始めて、例4から例1まで遡ってください。メインページもご覧ください。
• ルートロカス法: 手描き技法による描画
• 「RootLocs」: Mac および Windows プラットフォーム用の無料の多機能ルート軌跡プロッター
• 「Root Locus」: Windows 用の無料のルートローカス プロッター/アナライザー
• ControlTheoryPro.com のルートローカス
• 制御システムの根軌跡解析
• SISO 開ループ モデルの根軌跡を計算する MATLAB 関数
• Wechsler, ER (1983 年 1 月～3 月)、「プログラム可能なポケット電卓のルート軌跡アルゴリズム」(PDF)、電気通信およびデータ取得進捗レポート、73、NASA: 60～64、Bibcode :1983TDAPR..73...60W
• 根軌跡をプロットするためのMathematica関数
• Šekara, Tomislav B.; Rapaić, Milan R. (2015 年 10 月 1 日)。「ルートロカス法の改訂版とその応用」。Journal of Process Control。34 : 26–34。doi : 10.1016 /j.jprocont.2015.07.007。