マダヴァの正弦表

マダヴァの正弦表は、 14世紀のケーララ州の数学者・天文学者でサンガマグラーマのマダヴァ（1340年頃 - 1425年頃）によって作成された三角関数の正弦表です。この表には、3.75 °から90°までの24の角度のジャスまたはR正弦が3.75°刻みで記載されています（90°は直角の1/24です）。R正弦は、正弦に選択された半径を掛けたもので、整数で表されます。この表では、アーリヤバタの以前の表と同様に、Rは21600 ÷ 2π ≈ 3437.75とされています。   

この表は、カタパヤディ方式を用いてサンスクリット語のアルファベットで符号化されており、各項目は詩の一節のような外観を呈している。

マダヴァの原著でこの表を含むものは見つかっていない。この表は、ニラカンタ・ソーマヤージの『アーリヤバティーヤバーシャ』^{[ 1 ]}（1444年～1544年）およびシャンカラ・ヴァリアールの『タントラサングラハ』の『ユクティディピカ／ラグヴィヴルティ』注釈（1500年頃～1560年）^{[ 2 ]： 114～123に掲載されている。}

以下の詩句は、CK Raju 著『数学の文化的基礎』^{[ 2 ] : 114–123}に記載されているとおりです。また、 PK Koru 著『Karanapaddhatiのマラヤーラム語注釈』^{[ 3 ]}にも記載されていますが、若干異なります。

その詩句は以下の通りです。

最初の 6 つの詩の 4 分の 1 は、3.75° から 90° までの 24 の角度を 3.75° 刻みで表したものです (第 1 列)。第 2 列には、サンスクリット語 (デーヴァナーガリー文字) でエンコードされた Rsine 値が含まれています。第 3 列には、ISO 15919 の音訳で同じ値が含まれています。第 4 列には、現代の数字で分角、秒角、および 3分の 1

最後の節の意味は、「これらはマダヴァが述べた偉大なRサインであり、分角、秒角、3分の1角から成る。それぞれから前の値を引くと、Rサインの差が得られる」ということである。

比較してみると、マダヴァの値は、Rsin(15°)を除いて、宣言された精度である3分の1に丸められて正確に与えられていることがわかります。Rsin(15°)については、889′45″16‴に丸めるべきだったように思われます。

カタパヤディ文字体系では、数字は逆順に書かれることに注意してください。例えば、15°に対応する文字は51549880ですが、これを逆順にすると0889′45″15‴となります。なお、0は値を持たず、詩の韻律を表すためだけに用いられます。

R  =  21600  ÷  2 πという値がなぜ選ばれたのかといった哲学的な説明は省きますが、jya 表を現代の正弦表の概念と関連付ける最も簡単な方法は次のとおりです。

今日でも、正弦表は一定の精度を持つ小数で表されます。例えば、sin(15°)が0.1736と表されている場合、1736÷10000という有理数が、実際の無限精度の数値の良い近似値であることを意味します。唯一の違いは、以前は分数の分母として小数値（または10のべき乗）が標準化されていなかったことです。そのため、他の考慮事項に基づいて別の分母が使用されていました（ここでは説明しません）。

したがって、表に示されている正弦値は、表に選択されたRで割った整数値によって近似値として単純に考えることができます。

もう一つ混乱を招く可能性があるのは、Rサインを表す際に分角などの角度単位が使われている点です。現代のサインは無次元の比率です。JyaサインやRサインは、長さや距離の単位を掛けたものです。しかし、これらの表は主に天文学で使われており、天球上の距離は角度で表されるため、これらの値も同様に示されています。ただし、単位はそれほど重要ではなく、あまり気にする必要はありません。いずれにせよ、その値は有理数の一部として使用され、単位は相殺されるからです。

しかし、このことは、マダヴァがアーリヤバタの以前の表を改良する際に、六十進法による細分化を用いることにもつながります。彼はより大きなRを選択する代わりに、以前に与えられた分に加えて、秒と三分の一を用いることで、彼自身が決定した追加の精度を与えました。以前と同様に、これらは単に分数を表現する別の方法と捉えることができ、必ずしも角度の測定値として捉える必要はありません。

角度Aを考えます。半径が 1 で中心が O の円を考えます。円弧 PQ が中心 O で角度Aをなすとします。Q から OP に垂線QR を下ろすと、線分 RQ の長さは角度Aの三角関数の正弦の値になります。PS を円弧とし、その長さが線分 RQ の長さに等しいとします。さまざまな角度Aに対して、Madhava の表は対応する角度の大きさを示します。  ${\displaystyle \angle }$位置座標を分角、秒角、および60分の1秒で表します。

例として、角度Asin 22.50°を 22.50° とします。マダヴァの表では、22.50° に対応するエントリは、ラジアン測定値が の値である角度の分角、秒角、および 60 分の 1 秒での測定値であり、その値は 0.3826834 です。

0.3826834ラジアンに180/ πを掛けて21.92614度に変換します。

1315分34秒07分の1秒、略記では13153407。

角度がAである場合、

${\displaystyle \angle POS=m{\text{ arcminutes, }}s{\text{ arcseconds, }}t{\text{ sixtieths of an arcsecond}}}$

それから：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(A)&=RQ\\&={\text{length of arc }}PS\\&=\angle POS{\text{ in radians}}\\\end{aligned}}}$

表の各行は8桁の数字を表しています。角度Aに対応する数字（左から右に読む）を次のようにします。

${\displaystyle d_{1}\quad d_{2}\quad d_{3}\quad d_{4}\quad d_{5}\quad d_{6}\quad d_{7}\quad d_{8}}$

すると、カタパヤディシステムの規則に従って、右から左に取り、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=d_{8}\times 1000+d_{7}\times 100+d_{6}\times 10+d_{5}\\s&=d_{4}\times 10+d_{3}\\t&=d_{2}\times 10+d_{1}\end{aligned}}}$

${\displaystyle B=m^{\prime }s^{\prime \prime }t^{\prime \prime \prime }={\frac {1^{\circ }}{60}}\left(m+{\frac {s}{60}}+{\frac {t}{60\times 60}}\right)}$

上記の角度Bの値をラジアンで表すと、 Aの正弦値に対応します。

${\displaystyle \sin A={\frac {\pi }{180}}B}$

前述のとおり、これはエンコードされた値を取得したR値で割ることと同じです。

${\displaystyle \sin A={\frac {B}{\frac {21600^{\prime }}{2\pi }}}}$

この表は、角度A = 45.00° に対応する以下の数字を示しています。  

${\displaystyle 5\quad 1\quad 1\quad 5\quad 0\quad 3\quad 4\quad 2}$

これにより、次の角度が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=2\times 1000+4\times 100+3\times 10+0{\text{ arcminutes}}\\&=2430{\text{ arcminutes}}\\s&=5\times 10+1{\text{ arcseconds}}\\&=51{\text{ arcseconds}}\\t&=1\times 10+5{\text{ sixtieths of an arcsecond}}\\&=15{\text{ sixtieths of an arcsecond}}\end{aligned}}}$

そこから次のことが分かります。

${\displaystyle B={\frac {1^{\circ }}{60}}\left(2430+{\frac {51}{60}}+{\frac {15}{60\times 60}}\right)={\frac {116681}{2880}}}$

マダヴァの表に示されているA  =  45.00°の正弦の値は、 Bをラジアンに変換した値にすぎない。

${\displaystyle \sin 45^{\circ }={\frac {\pi }{180}}B={\frac {\pi }{180}}\times {\frac {116681}{2880}}}$

上記を評価すると、sin 45°は0.70710681…であることがわかります。これは小数点以下6桁まで正確です。

No work of Madhava detailing the methods used by him for the computation of the sine table has survived. However from the writings of later Kerala mathematicians including Nilakantha Somayaji (Tantrasangraha) and Jyeshtadeva (Yuktibhāṣā) that give ample references to Madhava's accomplishments, it is conjectured that Madhava computed his sine table using the power series expansion of sin x:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

• Madhava series
• Madhava's correction term
• Madhava's value of π
• Āryabhaṭa's sine table
• Ptolemy's table of chords

• Bag, A.K. (1976). "Madhava's sine and cosine series"(PDF). Indian Journal of History of Science. 11 (1). Indian National Academy of Science: 54–57. Archived from the original(PDF) on 5 July 2015. Retrieved 21 August 2016.
• For an account of Madhava's computation of the sine table see : Van Brummelen, Glen (2009). The mathematics of the heavens and the earth : the early history of trigonometry. Princeton: Princeton University Press. pp. 113–120. ISBN 978-0-691-12973-0.
• マダヴァの正弦表の計算に関する詳細な議論と歴史的参照については 、CK Raju (2007) を参照してください。「数学の文化的基盤：数学的証明の性質と16世紀のインドからヨーロッパへの微積分学の伝達」。インド文明の哲学、科学、文化の歴史。第10巻第4部。デリー：文明研究センター。pp. 114–123。