ベンディクソン・デュラックの定理

数学において、ベンディクソン・デュラックの定理は、二次元の流れの周期軌道の存在を否定する力学系の定理です。ここで流れは池の水面に例えることができます。池に葉を落とすと、水の流れに沿って漂い、葉が同じ場所に戻ってくるのが周期軌道です。大まかに言えば、この定理は、池をゴムシートのように伸縮させることで流れの場を歪め、流れが常に膨張するか常に収縮するかのどちらかになるようにすれば、周期軌道は存在しない、というものです。

形式的には、この定理は、もしあるならば${\displaystyle C^{1}}$関数${\displaystyle \varphi (x,y)}$（デュラック関数と呼ばれる）式

${\displaystyle {\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}}$

同じ符号を持つ（${\displaystyle \neq 0}$）平面のほぼ全域で単純連結領域では、その後、平面自律システムが

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x,y),}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=g(x,y)}$

領域内に完全に含まれる非定数周期解は存在しない。 ^{[ 1 ]} 「ほぼ至る所」とは、点や線などの測度0の集合を除いて至る所を意味する。

この定理は、1901年にスウェーデンの数学者イヴァル・ベンディクソンによって初めて確立され、 1923年にフランスの数学者アンリ・デュラックによってグリーンの定理を用いてさらに改良された。

一般性を失うことなく、関数が存在すると仮定する。${\displaystyle \varphi (x,y)}$そのため

${\displaystyle {\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}>0}$

単連結領域${\displaystyle R}$。 させて${\displaystyle C}$平面自律システムの閉じた軌道である${\displaystyle R}$、 意味${\displaystyle f(t+T,x,y)=f(t,x,y)}$そして${\displaystyle g(t+T,x,y)=g(t,x,y)}$すべての人々のために$t ≥ 0$そしていくつか${\displaystyle T>0}$カーブに沿って${\displaystyle C}$。 させて${\displaystyle D}$内部${\displaystyle C}$するとグリーンの定理により、

${\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{D}\left({\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial (\varphi {\dot {x}})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi {\dot {y}})}{\partial y}}\right)\,dx\,dy\\[6pt]={}&\oint _{C}\varphi \left(-{\dot {y}}\,dx+{\dot {x}}\,dy\right)=\oint _{C}\varphi \left(-{\dot {y}}{\dot {x}}+{\dot {x}}{\dot {y}}\right)\,dt=0\end{aligned}}}$

と$\displaystyle {\dot {x}}=dx/dt}$そして${\displaystyle {\dot {y}}=dy/dt}$これはニュートンの記法であり、平面自律系から導かれる最初の等式です。定数符号のため、前の行の左側の積分は正の数に評価されなければなりません。しかし、${\displaystyle C}$、${\displaystyle dx={\dot {x}}\,dt}$そして${\displaystyle dy={\dot {y}}\,dt}$したがって、下側の被積分関数は実際にはどこでも0であり、このため右側の積分も 0になります。これは矛盾なので、そのような閉じた軌道は存在しません。${\displaystyle C}$。

• リミットサイクル § リミットサイクルの発見
• リウヴィルの定理（ハミルトニアン）、同様の定理${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {\partial H(q,p)}{\partial p}}\,(=f(q,p)),{\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial H(q,p)}{\partial q}}\,(=g(q,p))}$