位相削減

位相縮約法は、非線形リミットサイクル 発振器を記述する多次元の力学方程式を1次元の位相方程式に縮約するために使用される方法です。^{[1] [2]}化学反応、電気回路、機械振動、心臓細胞、スパイクニューロンなど、私たちの世界の多くの現象はリズミカルな現象の例であり、非線形リミットサイクル発振器と見なすことができます。^[2]

位相縮小法の理論は1950年代に初めて導入され、摂動を受ける非線形振動子の周期解の存在はマルキンによって議論され、^[3] 1960年代にはウィンフリーが位相の概念の重要性を示し、生物学的同期に関する研究で非線形振動子の集団の位相モデルを定式化しました。^[4]それ以来、多くの研究者が位相縮小理論に関連するさまざまなリズム現象を発見してきました。

次のような力学系を考える。

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x),}$

ここで、は発振器の状態変数、はベースライン ベクトル場です。がシステムによって誘導される流れ、つまり が初期条件 に対するシステムの解であるとします。 この微分方程式系は、 の伝導性に関するニューロン モデルを記述できます。ここで、 は膜を挟んだ電圧差を表し、 はゲーティング変数を定義する 次元ベクトルを表します。^[5]ニューロンが刺激電流によって摂動されると、摂動されたシステムのダイナミクスは、ベースライン神経発振器のダイナミクスと同じではなくなります。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle \varphi (x_{0},t)}$${\displaystyle x(0)=x_{0}}$${\displaystyle x=(V,n)\in \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (N-1)}$

ここでの目標は、リミットサイクルの近傍の各点の位相を定義することによってシステムを縮小することです。十分に小さな摂動（たとえば、システムへの外部強制または刺激効果）を許容すると、位相が大きくずれる可能性がありますが、振幅はリミットサイクルの吸引によりわずかに摂動します。 ^[6]したがって、漸近位相（または潜在位相）の定義を導入して、位相の定義をサイクルの近傍の点に拡張する必要があります。^{[7]これは、周期軌道の}吸引域内の各点に位相を割り当てるのに役立ちます。 の吸引域内で同じ漸近位相を共有する点の集合はアイソクロンと呼ばれ（たとえば、図 1 を参照）、Winfree によって初めて導入されました。^[8]このような安定した双曲型リミットサイクルでは、アイソクロンが存在することが示されます。^[9]したがって、周期のある近傍のすべての点について、位相の発展は関係式 で与えられ、ここで は振動の固有周波数です。 ^{[5] [10]}連鎖律により、ニューロンモデルの位相の発展を支配する方程式が得られ、これは位相モデルによって与えられます。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi =\Phi (x)}$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}=\omega }$${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T_{0}}}}$

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}=\nabla \Phi (x)\cdot f(x)=\omega ,}$

ここで、はニューロンの状態ベクトルのベクトルに対する位相関数の勾配であり、この結果の導出については、^{[2] [5] [10]}を参照してください。これは、振動するニューロンのダイナミクスを記述する次元システムが、単純な1次元位相方程式に簡約されることを意味します。位相は1対1のマッピングではないため 、位相から振動子の完全な情報を取得することは不可能であることがわかります。 ^[2]${\displaystyle \nabla \Phi (x)}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi (x)}$

ここで、次のような弱い摂動を受けた系を考える。

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=f(x)+\varepsilon g(t),}$

ここで、はベースライン ベクトル場、は周期 の弱い周期的な外部強制（または刺激効果）で、これは（一般に）と異なる場合があり、周波数は振動子の状態 に依存する場合があります。 ベースライン神経振動子（つまり、 のとき）が、通常は双曲的な周期 の指数関数的に安定したリミット サイクル（例については図 1を参照）を持つと仮定すると、^{[11] は}小さな摂動の下でも持続することがわかります。^[12]これは、小さな摂動に対して、摂動を受けたシステムがリミット サイクルに近いままであることを意味します。したがって、このようなリミット サイクルは各ニューロンに常に存在すると仮定します。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \varepsilon g(t)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \Omega =2\pi /T}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$

等時線による摂動システムの進化は^[13]

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}=\omega +\varepsilon \,\nabla \Phi (x)\cdot g(t),}$

ここで、はニューロンの状態ベクトル のベクトルに対する位相の勾配であり、は時間の関数としてニューロンの発火を駆動する刺激効果です。この位相方程式は偏微分方程式(PDE) です。 ${\displaystyle \nabla \Phi (x)}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g(t)}$${\displaystyle t}$

十分に小さい に対して、摂動を受けない系のリミットサイクル上で評価される縮小位相モデルは、 の一次まで、 ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}=\omega +\varepsilon \,Z(\varphi )\cdot g(t),}$

ここで関数はリミットサイクル上の任意の点で与えられた小さな摂動による正規化された位相シフトを測定し、位相感度関数または微小位相応答曲線と呼ばれる。^{[8] [13]}${\displaystyle Z(\varphi ):=\nabla \Phi (\gamma (t))}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \gamma }$

摂動を受けた非線形システムに対応する簡約位相方程式を解析するためには、PDE を解く必要がありますが、これは簡単なものではありません。そのため、これをに対する自律位相方程式に簡約する必要があります。これにより、より簡単に解析できます。^[13]周波数とが十分に小さく、 （ただし）であると 仮定すると、新しい位相関数 を導入できます。^[13]${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \omega -\Omega =\varepsilon \delta }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle O(1)}$${\displaystyle \psi (t)=\varphi (t)-\Omega t}$

を平均する方法^[14]により、が内で変化しないと仮定すると、近似位相方程式が得られる。 ${\displaystyle \psi (t)}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\frac {d\psi (t)}{dt}}=\Delta _{\varepsilon }+\varepsilon \Gamma (\psi ),}$

ここで、は振動子位相に対する周期的な外部力の影響を表す周期関数であり、 ^[13]で定義される。 ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }=\varepsilon \delta }$${\displaystyle \Gamma (\psi )}$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \Gamma (\psi )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }Z(\psi +\eta )\cdot g\left({\frac {\eta }{\Omega }}\right)\,d\eta .}$

この関数のグラフは近似位相モデルのダイナミクスを示すものとして示され、詳細な図については^{[2]を参照のこと。}${\displaystyle \Gamma (\psi )}$

特定の非線形振動子または結合振動子のネットワークの十分に小さい摂動に対して、対応する位相感度関数または無限小 PRC を計算できます。 ${\displaystyle Z(\varphi )}$