マッキー・グラス方程式

数学と数理生物学において、マイケル・マッキーとレオン・グラスにちなんで名付けられたマッキー・グラス方程式は、方程式のパラメータによって制御され、特定の生物学的状況における健康および病的な動作の両方を模倣する遅延微分方程式のファミリーを指します。 ^{[1]もともと、血液中の成熟}細胞の相対量の変化をモデル化するために使用されていました。方程式は次のように定義されます。^{[1] [2]}

そして

ここで、は時間の経過に伴う細胞の密度を表し、は方程式のパラメータです。 ${\displaystyle P(t)}$${\displaystyle \beta _{0},\theta ,n,\tau ,\gamma }$

特に式（２ ）は、様々な次元のカオスアトラクターを生み出す可能性があるため、力学系では注目に値する。 ^[3]

生理学的システムは、システムの特定のサブコンポーネントの周期的な動作を伴う、またはそれに依存するものが多数存在します。^[4]たとえば、多くの恒常性維持プロセスは、血液中の物質の濃度を制御するために負のフィードバックに依存しています。たとえば、呼吸は、脳が血液中の高CO ₂濃度を検知することで促進されます。 ^[5]このようなシステムを数学的にモデル化する1つの方法は、次の単純な常微分方程式を使用することです。

${\displaystyle y'(t)=k-cy(t)}$

ここで、 は「物質」が生成される速度であり、 は物質の現在のレベルが生成の継続をどの程度阻止するかを制御します。 この方程式の解は積分係数 を介して見つけることができ、次の形式になります。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle y(t)={\frac {k}{c}}+f(y_{0})e^{-ct}}$

ここで、 は初期値問題の初期条件です。 ${\displaystyle y_{0}}$

しかし、上記のモデルは、物質濃度の変化が即座に検出されることを前提としていますが、生理学的システムでは多くの場合そうではありません。この問題を軽減するために、Mackey, MC & Glass, L. (1977) は、血液中の細胞濃度が低いことを検出してから骨髄が成熟細胞を生成して血液中に放出するまでにかなりの遅延があるという事実をよりよく反映することを期待して、生成率を早い時点での濃度の関数に変更することを提案しました。 ^[6]生成率を次のようにすると、 ${\displaystyle k(y(t-\tau ))}$${\displaystyle t-\tau }$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\frac {\beta _{0}\theta ^{n}}{\theta ^{n}+P(t-\tau )^{n}}}~~{\text{ または }}~~{\frac {\beta _{0}\theta ^{n}P(t-\tau )}{\theta ^{n}+P(t-\tau )^{n}}}}$

すると、それぞれ式( 1 )と式( 2 )が得られる。Mackey, MC & Glass, L. (1977)が使用した値は、、およびで、初期条件はである。変数の変更により式は次のように簡約される ため、式( 2 )のダイナミクスを解析する目的には の値は関係ない。${\displaystyle \gamma =0.1}$${\displaystyle \beta _{0}=0.2}$${\displaystyle n=10}$${\displaystyle P(0)=0.1}$${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle P(t)=\theta \cdot Q(t)}$

${\displaystyle Q'(t)={\frac {\beta _{0}Q(t-\tau )}{1+Q(t-\tau )^{n}}}-\gamma Q(t).}$

このため、このコンテキストでは、プロットは- 軸上に配置されることが多いのです。 ${\displaystyle Q(t)=P(t)/\theta }$${\displaystyle y}$

が変化するときの方程式の解の挙動を調べることは興味深い。なぜなら、これは生理学的システムが物質の濃度変化に反応するのにかかる時間を表すからである。この遅延の増加は病理によって引き起こされる可能性があり、その結果、Mackey–Glass 方程式、特に方程式 ( 2 ) の解がカオス的になる可能性がある。 のとき、非常に規則的な周期解が得られ、これは「健全な」挙動を特徴付けると見なすことができる。一方、 のときは、解がはるかに不規則になる。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau =6}$${\displaystyle \tau =20}$

マッキー・グラスアトラクターは、ペアをプロットすることで視覚化できます。^[2]これは、遅延微分方程式が（場合によっては）常微分方程式の系に還元できることと、それらが近似的に無限次元のマップであることから、ある程度正当化されます。^{[3] [7]}${\displaystyle (P(t),P(t-\tau ))}$

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