怠け者の仕出し屋の連続

怠け者の数列は、正式には中心多角形数と呼ばれ、指定された数の直線切断で作ることができる円盤（通常、パンケーキまたはピザが状況を説明するために使用されます）の最大ピース数を表します。たとえば、パンケーキを3回切ると、すべての切断が円内の共通点で交わる場合は6つのピースが作成されますが、そうでない場合は最大7つのピースが作成されます。この問題は、直線の配置内のセルを数える問題として数学的に形式化できます。より高次元への一般化については、超平面の配置を参照してください 。

この数列の3 次元での類似物はケーキ数です。

与えられたカット回数n（n ≥ 0 ）で作成できるピースの最大数pは、次の式で与えられる。

${\displaystyle p={\frac {n^{2}+n+2}{2}}.}$

二項係数を用いると、式は次のように表される。

${\displaystyle p=1+{\dbinom {n+1}{2}}={\dbinom {n}{0}}+{\dbinom {n}{1}}+{\dbinom {n}{2 }}.}$

簡単に言えば、各数字は三角数に 1 を加えた数です。これらはフロイドの三角形の各行の最初の数字です。

ベルヌーイの三角形の 3 番目の列( k = 2) は三角数プラス 1 なので、 nカット(n ≥ 2)の怠惰なケータリング シーケンスを形成します。

この数列はパスカルの三角形の各行の最初の3項までの合計から導くこともできる：^[1]

このシーケンス（OEISのシーケンスA000124）は、n = 0から始まり、

1、2、4、7、11、16、22、29、37、46、56、67、79、92、106、121、137、154、172、191、211、...​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

その3次元類似物はケーキ番号として知られています。連続するケーキ番号の差は、怠け者のケータリングのシーケンスを与えます。^[2]

円をn回切断して最大数のピースを生成する場合( p = f  ( n )と表される) 、n番目の切断を考慮する必要があります。最後の切断の前のピースの数はf  ( n  − 1)で、最後の切断によって追加されるピースの数はnです。

ピースの最大数を得るためには、n番目のカット ラインは円の内側にある他のすべての以前のカット ラインと交差する必要がありますが、以前のカット ラインの交差点と交差してはなりません。したがって、n番目のライン自体はn  − 1か所でn個の線分にカットされます。各線分は( n  − 1)カットされたパンケーキ 1 ピースを 2 つの部分に分割し、ピースの数にちょうどn を追加します。新しいラインは、以前の各ラインと 1 回しか交差できないため、これ以上線分を持つことはできません。カット ラインは、常に以前のすべてのカット ラインと交差できます。これは、既存の交差点ではない点の周りを小さな角度でナイフを回転させると、角度が十分に小さければ、最後に追加された線を含むすべての以前の線と交差するためです。

したがって、 n回カットした 後のピースの総数は

${\displaystyle f(n)=n+f(n-1).}$

この再帰関係は解くことができる。f  ( n −  1)を1項展開すると、関係は

${\displaystyle f(n)=n+(n-1)+f(n-2)。}$

項f  ( n − 2)の展開は最後の項がf  (0)になるまで続けられるので、

${\displaystyle f(n)=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +1+f(0).}$

f  (0) = 1なので、カットが行われる前には1つのピースが存在するため、これは次のように書き直すことができる。

${\displaystyle f(n)=1+(1+2+3+\cdots +n).}$

これは等差数列の和の公式を使って簡略化できます。

${\displaystyle f(n)=1+{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n+2}{2}}.}$

• ケーキ番号
• 円を領域に分割する– nは内接多角形の辺の数です
• フロイドの三角形
• ピザ定理

• ムーア、TL (1991)、「オイラーの公式を用いた平面分離問題の解決」、大学数学ジャーナル、22 (2)、アメリカ数学協会: 125–130、doi :10.2307/2686448、JSTOR  2686448。

• Steiner, J. (1826)、「Einige Gesetze über die Theilung der Ebene und des Raumes (「平面と空間の分割に関するいくつかの声明」)」、J. Reine Angew。数学。、1 : 349–364。

• Wetzel, JE (1978)、「平面の線による分割について」(PDF)、American Mathematical Monthly、85 (8)、Mathematical Association of America: 647–656、doi :10.2307/2320333、JSTOR 2320333、2011-07-21に オリジナル(PDF)からアーカイブ、 2008-12-15に取得。

• Weisstein、Eric W.「線による円の分割」。MathWorld。