ケーキ番号

数学において、ケーキ数 ( C _nと表記) は、3 次元立方体をちょうどn 個の平面で分割できる領域の数の最大値です。ケーキ数と呼ばれるのは、立方体を平面で分割する様子を、立方体の形をしたケーキをナイフで 1 切れ切るように想像できるからです。これは、怠け者の数列の 3D 版です。

n = 0、1、2、...の場合のC _nの値は、 1、2、4、8、15、 26 、 42 、 64 、 93 、 130 、 176 、 232 、...（OEISのシーケンスA000125 ）で与えられます。

n ! が階乗を表し、二項係数を次のように 表すとすると、

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(nk)!}},}$

そして、立方体を分割するのにn個の平面が利用可能であると仮定すると、 n番目のケーキ番号は次のようになる。^[1]

${\displaystyle C_{n}={n \choose 3}+{n \choose 2}+{n \choose 1}+{n \choose 0}={\tfrac {1}{6}}\!\left(n^{3}+5n+6\right)={\tfrac {1}{6}}(n+1)\left(n(n-1)+6\right).}$

ケーキ番号は、2次元の怠け者のケータリングの数列の3次元版です。連続するケーキ番号の差も怠け者のケータリングの数列を与えます。^[1]

ベルヌーイの三角形の 4 番目の列( k = 3) は、 n ≥ 3 の場合のnカットのケーキ番号を示します。

この数列はパスカルの三角形の各行の最初の4項までの合計から導くこともできる：^[2]

n次元の空間（時空ではない）では、マクスウェル方程式は異なる独立した実数値方程式 を表します。${\displaystyle C_{n}}$

• 円を領域に分割する（モーザーの円問題）
• 怠け者の仕出し屋の連続
• ピザ定理

• Eric Weisstein. 「平面による空間分割」. MathWorld . 2021年1月14日閲覧。
• Eric Weisstein. 「ケーキナンバー」. MathWorld . 2021年1月14日閲覧。