ラプラス法

下限:とする。が連続なので、 が存在するので、ならばとなる。テイラーの定理により、任意の${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle f''}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |x_{0}-c|<\delta }$${\displaystyle f''(c)\geq f''(x_{0})-\varepsilon .}$${\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ),}$

${\displaystyle f(x)\geq f(x_{0})+{\frac {1}{2}}(f''(x_{0})-\varepsilon )(x-x_{0})^{2}.}$

すると、下限は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx&\geq \int _{x_{0}-\delta }^{x_{0}+\delta }e^{nf(x)}\,dx\\&\geq e^{nf(x_{0})}\int _{x_{0}-\delta }^{x_{0}+\delta }e^{{\frac {n}{2}}(f''(x_{0})-\varepsilon )(x-x_{0})^{2}}\,dx\\&=e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {1}{n(-f''(x_{0})+\varepsilon )}}}\int _{-\delta {\sqrt {n(-f''(x_{0})+\varepsilon )}}}^{\delta {\sqrt {n(-f''(x_{0})+\varepsilon )}}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,dy\end{aligned}}}$

最後の等式は変数の変更によって得られたものである

${\displaystyle y={\sqrt {n(-f''(x_{0})+\varepsilon )}}(x-x_{0}).}$

覚えておけば、その否定の平方根を取ることができます。 ${\displaystyle f''(x_{0})<0}$

上記の不等式の両辺を

${\displaystyle e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}$

そして、次の極限値を取得します。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx}{e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}}\geq \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\delta {\sqrt {n(-f''(x_{0})+\varepsilon )}}}^{\delta {\sqrt {n(-f''(x_{0})+\varepsilon )}}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,dy\,\cdot {\sqrt {\frac {-f''(x_{0})}{-f''(x_{0})+\varepsilon }}}={\sqrt {\frac {-f''(x_{0})}{-f''(x_{0})+\varepsilon }}}}$

これは任意の場合に当てはまるので、下限は次のようになります。 ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx}{e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}}\geq 1}$

この証明は、または（あるいはその両方）の場合にも機能することに注意してください。 ${\displaystyle a=-\infty }$${\displaystyle b=\infty }$

上限:証明は下限の証明と似ていますが、いくつか不便な点があります。ここでもまず を選びますが、証明が機能するためには が十分小さい必要があります。すると、上記と同様に、とテイラーの定理の連続性によりが成り立つことがわかります。 の場合、 ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle f''(x_{0})+\varepsilon <0.}$${\displaystyle f''}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$

${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})+{\frac {1}{2}}(f''(x_{0})+\varepsilon )(x-x_{0})^{2}.}$

最後に、私たちの仮定（ が有限であると仮定）により、の場合となるような が存在します。 ${\displaystyle a,b}$${\displaystyle \eta >0}$${\displaystyle |x-x_{0}|\geq \delta }$${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})-\eta }$

次に、次の上限を計算できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx&\leq \int _{a}^{x_{0}-\delta }e^{nf(x)}\,dx+\int _{x_{0}-\delta }^{x_{0}+\delta }e^{nf(x)}\,dx+\int _{x_{0}+\delta }^{b}e^{nf(x)}\,dx\\&\leq (b-a)e^{n(f(x_{0})-\eta )}+\int _{x_{0}-\delta }^{x_{0}+\delta }e^{nf(x)}\,dx\\&\leq (b-a)e^{n(f(x_{0})-\eta )}+e^{nf(x_{0})}\int _{x_{0}-\delta }^{x_{0}+\delta }e^{{\frac {n}{2}}(f''(x_{0})+\varepsilon )(x-x_{0})^{2}}\,dx\\&\leq (b-a)e^{n(f(x_{0})-\eta )}+e^{nf(x_{0})}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{{\frac {n}{2}}(f''(x_{0})+\varepsilon )(x-x_{0})^{2}}\,dx\\&\leq (b-a)e^{n(f(x_{0})-\eta )}+e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0})-\varepsilon )}}}\end{aligned}}}$

上記の不等式の両辺を

${\displaystyle e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}$

そして、次の極限値を取得します。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx}{e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}}\leq \lim _{n\to \infty }(b-a)e^{-\eta n}{\sqrt {\frac {n(-f''(x_{0}))}{2\pi }}}+{\sqrt {\frac {-f''(x_{0})}{-f''(x_{0})-\varepsilon }}}={\sqrt {\frac {-f''(x_{0})}{-f''(x_{0})-\varepsilon }}}}$

は任意なので、上限は次のようになります。 ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx}{e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}}\leq 1}$

これを下限と組み合わせると結果が得られます。

上記の証明は、または（あるいはその両方）の場合には明らかに証明が成り立たないことに注意する。これらのケースを扱うには、いくつかの追加の仮定が必要である。十分な（必須ではない）仮定は、${\displaystyle a=-\infty }$${\displaystyle b=\infty }$${\displaystyle n=1,}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx<\infty ,}$

そして、上記のような数が存在する（区間が無限大の場合には、これは仮定でなければならないことに注意）。証明は上記と同様に進むが、積分の近似が若干異なる。 ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \int _{a}^{x_{0}-\delta }e^{nf(x)}\,dx+\int _{x_{0}+\delta }^{b}e^{nf(x)}\,dx\leq \int _{a}^{b}e^{f(x)}e^{(n-1)(f(x_{0})-\eta )}\,dx=e^{(n-1)(f(x_{0})-\eta )}\int _{a}^{b}e^{f(x)}\,dx.}$

割ると

${\displaystyle e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}},}$

この学期に得られるもの

${\displaystyle {\frac {e^{(n-1)(f(x_{0})-\eta )}\int _{a}^{b}e^{f(x)}\,dx}{e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}}=e^{-(n-1)\eta }{\sqrt {n}}e^{-f(x_{0})}\int _{a}^{b}e^{f(x)}\,dx{\sqrt {\frac {-f''(x_{0})}{2\pi }}}}$

の極限はです。証明の残り（興味深い項の分析）は上と同じように進みます。 ${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle 0}$

無限区間の場合の与えられた条件は、上で述べたように十分ではあるが、必須ではない。しかし、ほとんどのアプリケーションではそうではないにしても、多くのアプリケーションでは、この条件は満たされている。この条件は、単に、私たちが研究している積分が明確に定義されなければならない（無限ではない）こと、および関数の最大値が「真の」最大値でなければならない（その数が存在しなければならない）ことを述べている。積分が に対して有限であることを要求する必要はありませんが、積分が何らかの に対して有限であることを要求すれば十分です。${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \eta >0}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n=N.}$

1. 相対誤差

この方法における「近似」は相対誤差に関係しており、絶対誤差には関係していません。したがって、

${\displaystyle s={\sqrt {\frac {2\pi }{M\left|f''(x_{0})\right|}}},}$

積分は次のように書ける。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}e^{Mf(x)}\,dx&=se^{Mf(x_{0})}{\frac {1}{s}}\int _{a}^{b}e^{M(f(x)-f(x_{0}))}\,dx\\&=se^{Mf(x_{0})}\int _{\frac {a-x_{0}}{s}}^{\frac {b-x_{0}}{s}}e^{M(f(sy+x_{0})-f(x_{0}))}\,dy\end{aligned}}}$

が小さい数で、が明らかに大きい数の場合、相対誤差は ${\displaystyle s}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \left|\int _{\frac {a-x_{0}}{s}}^{\frac {b-x_{0}}{s}}e^{M(f(sy+x_{0})-f(x_{0}))}dy-1\right|.}$

さて、この積分を領域と残りの 2 つの部分に分けてみましょう。${\displaystyle y\in [-D_{y},D_{y}]}$

2.が十分に大きい場合の静止点の周り${\displaystyle e^{M(f(sy+x_{0})-f(x_{0}))}\to e^{-\pi y^{2}}}$${\displaystyle M}$

x ₀付近のテイラー展開を見て、x をyに翻訳してみましょう。比較は y 空間で行いますので、次の式が得られます。 ${\displaystyle M(f(x)-f(x_{0}))}$

${\displaystyle M(f(x)-f(x_{0}))={\frac {Mf''(x_{0})}{2}}s^{2}y^{2}+{\frac {Mf'''(x_{0})}{6}}s^{3}y^{3}+\cdots =-\pi y^{2}+O\left({\frac {1}{\sqrt {M}}}\right).}$

は定常点であるため、この式から、このテイラー展開における2次導関数よりも高次の項は の次数として抑制され、図に示すように はガウス関数に近づくことがわかります。さらに、 ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {M}}}}$${\displaystyle \exp(M(f(x)-f(x_{0})))}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi y^{2}}dy=1.}$

3. が大きいほど、範囲が狭くなります${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$

比較は y 空間で行われるため、はで固定され、 が発生します。ただし、は に反比例するため、 が増加すると の選択領域は小さくなります。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle y\in [-D_{y},D_{y}]}$${\displaystyle x\in [-sD_{y},sD_{y}]}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\sqrt {M}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$

4. ラプラス法の積分が収束する場合、積分の定常点の周囲ではない領域の相対誤差の寄与は、が増加するにつれてゼロに近づく傾向があります。${\displaystyle M}$

3 番目の概念に依拠すると、非常に大きなD _{y を}選択した場合でも、が巨大な数に増加すると、 sD _{y は}最終的に非常に小さな数になります。では、 が十分に大きい場合に、残りの積分が 0 に近づくことをどのように保証できるでしょうか。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

基本的な考え方は、が大きくなるにつれての積分が0 に近づくような関数を見つけることです。が実数である限り、の指数関数は常に 0 より大きくなり、この指数関数はの積分に比例し、 は 0 に近づくからです。簡単にするために、図に示すように、 を の点を通る接線として選択します。${\displaystyle m(x)}$${\displaystyle m(x)\geq f(x)}$${\displaystyle e^{Mm(x)}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Mm(x)}$${\displaystyle m(x)}$${\displaystyle m(x),}$${\displaystyle e^{Mf(x)}}$${\displaystyle m(x)}$${\displaystyle x=sD_{y}}$

この方法の積分の区間が有限であれば、静止領域で継続する物質が何であれ、が十分に大きいときは常に上に示した値よりも小さくなることがわかります。ちなみに、が十分に大きいとき、 の積分はゼロに近づくことが後で証明されます。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle m(x)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle e^{Mm(x)}}$${\displaystyle M}$

この方法の積分の区間が無限大の場合、と は常に互いに交差する可能性があります。その場合、 の積分が最終的にゼロに近づくことを保証することはできません。たとえば、 の場合、は常に発散します。したがって、 が無限区間の場合に収束できることを要求する必要があります。その場合、 が十分に大きいときにこの積分はゼロに近づくため、これを との交差として選択できます。${\displaystyle m(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle e^{Mf(x)}}$${\displaystyle f(x)={\tfrac {\sin(x)}{x}},}$ ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{Mf(x)}dx}$${\displaystyle \int _{d}^{\infty }e^{Mf(x)}dx}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle m(x)}$${\displaystyle f(x).}$

なぜ収束する積分として を選ばないのかと疑問に思うかもしれません。例を使って理由を説明しましょう。 の残りの部分が であるとすると、その積分は発散します。しかし、の積分が収束するとき。したがって、が大きくないとき、一部の関数の積分は発散しますが、が十分に大きいときは収束します。 ${\displaystyle \int _{d}^{\infty }e^{f(x)}dx}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle -\ln x,}$${\displaystyle e^{f(x)}={\tfrac {1}{x}}}$${\displaystyle M=2,}$${\displaystyle e^{Mf(x)}={\tfrac {1}{x^{2}}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

まず、 を使って大域的最大値を表すと、この導出が簡単になります。ここで注目するのは、 と表記される相対誤差です。 ${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle |R|}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}h(x)e^{Mg(x)}\,dx=h(0)e^{Mg(0)}s\underbrace {\int _{a/s}^{b/s}{\frac {h(sy)}{h(0)}}e^{M\left[g(sy)-g(0)\right]}dy} _{1+R},}$

どこ

${\displaystyle s\equiv {\sqrt {\frac {2\pi }{M\left|g''(0)\right|}}}.}$

だから、もし私たちが

${\displaystyle A\equiv {\frac {h(sy)}{h(0)}}e^{M\left[g(sy)-g(0)\right]}}$

そして、私たちは得ることができます ${\displaystyle A_{0}\equiv e^{-\pi y^{2}}}$

${\displaystyle \left|R\right|=\left|\int _{a/s}^{b/s}A\,dy-\int _{-\infty }^{\infty }A_{0}\,dy\right|}$

以来。 ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }A_{0}\,dy=1}$

上限については、この積分をそれぞれ3つの異なるタイプ（a）、（b）、（c）の5つの部分に分割できることに留意してください。したがって、 ${\displaystyle |A+B|\leq |A|+|B|,}$

${\displaystyle |R|<\underbrace {\left|\int _{D_{y}}^{\infty }A_{0}dy\right|} _{(a_{1})}+\underbrace {\left|\int _{D_{y}}^{b/s}Ady\right|} _{(b_{1})}+\underbrace {\left|\int _{-D_{y}}^{D_{y}}\left(A-A_{0}\right)dy\right|} _{(c)}+\underbrace {\left|\int _{a/s}^{-D_{y}}Ady\right|} _{(b_{2})}+\underbrace {\left|\int _{-\infty }^{-D_{y}}A_{0}dy\right|} _{(a_{2})}}$

ここで、 と は類似しているので、を計算します。と も類似しているので、 を計算します。 ${\displaystyle (a_{1})}$${\displaystyle (a_{2})}$${\displaystyle (a_{1})}$${\displaystyle (b_{1})}$${\displaystyle (b_{2})}$${\displaystyle (b_{1})}$

については、 を翻訳した後、 ${\displaystyle (a_{1})}$${\displaystyle z\equiv \pi y^{2}}$

${\displaystyle (a_{1})=\left|{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int _{\pi D_{y}^{2}}^{\infty }e^{-z}z^{-1/2}dz\right|<{\frac {e^{-\pi D_{y}^{2}}}{2\pi D_{y}}}.}$

つまり、が十分に大きい限り、ゼロに近づくことになります。 ${\displaystyle D_{y}}$

については、 ${\displaystyle (b_{1})}$

${\displaystyle (b_{1})\leq \left|\int _{D_{y}}^{b/s}\left[{\frac {h(sy)}{h(0)}}\right]_{\text{max}}e^{Mm(sy)}dy\right|}$

どこ

${\displaystyle m(x)\geq g(x)-g(0){\text{as}}x\in [sD_{y},b]}$

とはこの領域では同じ符号を持つはずである。の点を通る接線として、すなわち図に示されているもの を選ぶことにしよう。${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle h(0)}$${\displaystyle m(x)}$${\displaystyle x=sD_{y}}$${\displaystyle m(sy)=g(sD_{y})-g(0)+g'(sD_{y})\left(sy-sD_{y}\right)}$

この図から、または が小さくなると、上記の不等式を満たす領域が大きくなることがわかります。したがって、の区間全体をカバーするのに適した を見つけたい場合、には上限があります。また、 の積分は簡単なので、これを使用して、この によって生じる相対誤差を推定します。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle D_{y}}$${\displaystyle m(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle (b_{1})}$${\displaystyle D_{y}}$${\displaystyle e^{-\alpha x}}$${\displaystyle (b_{1})}$

テイラー展開に基づいて、

${\displaystyle {\begin{aligned}M\left[g(sD_{y})-g(0)\right]&=M\left[{\frac {g''(0)}{2}}s^{2}D_{y}^{2}+{\frac {g'''(\xi )}{6}}s^{3}D_{y}^{3}\right]&&{\text{as }}\xi \in [0,sD_{y}]\\&=-\pi D_{y}^{2}+{\frac {(2\pi )^{3/2}g'''(\xi )D_{y}^{3}}{6{\sqrt {M}}|g''(0)|^{\frac {3}{2}}}},\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}Msg'(sD_{y})&=Ms\left(g''(0)sD_{y}+{\frac {g'''(\zeta )}{2}}s^{2}D_{y}^{2}\right)&&{\text{as }}\zeta \in [0,sD_{y}]\\&=-2\pi D_{y}+{\sqrt {\frac {2}{M}}}\left({\frac {\pi }{|g''(0)|}}\right)^{\frac {3}{2}}g'''(\zeta )D_{y}^{2},\end{aligned}}}$

そして、それらを の計算に代入します。しかし、これら 2 つの展開の剰余は両方とも の平方根に反比例することがわかります。計算を美しくするために、剰余を省略します。残しておく方が良いですが、式が醜くなります。 ${\displaystyle (b_{1})}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(b_{1})&\leq \left|\left[{\frac {h(sy)}{h(0)}}\right]_{\max }e^{-\pi D_{y}^{2}}\int _{0}^{b/s-D_{y}}e^{-2\pi D_{y}y}dy\right|\\&\leq \left|\left[{\frac {h(sy)}{h(0)}}\right]_{\max }e^{-\pi D_{y}^{2}}{\frac {1}{2\pi D_{y}}}\right|.\end{aligned}}}$

したがって、 が大きくなるとゼロに近づく傾向がありますが、この計算中に の上限を考慮する必要があることを忘れないでください。 ${\displaystyle D_{y}}$${\displaystyle D_{y}}$

付近の積分については、テイラーの定理を使って計算することもできます。${\displaystyle x=0}$${\displaystyle h'(0)\neq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(c)&\leq \int _{-D_{y}}^{D_{y}}e^{-\pi y^{2}}\left|{\frac {sh'(\xi )}{h(0)}}y\right|\,dy\\&<{\sqrt {\frac {2}{\pi M|g''(0)|}}}\left|{\frac {h'(\xi )}{h(0)}}\right|_{\max }\left(1-e^{-\pi D_{y}^{2}}\right)\end{aligned}}}$

そして、 は の平方根に反比例することがわかります。実際、が定数の 場合、 は同じ動作をします。${\displaystyle M}$${\displaystyle (c)}$${\displaystyle h(x)}$

結論として、静止点付近の積分は、 が大きくなるにつれて小さくなり、が十分大きい限り、残りの部分はゼロに近づきます。ただし、 には上限があり、この上限は関数が常に静止領域よりも大きいかどうかによって決まることを覚えておく必要があります。ただし、この条件を満たすものが見つかる限り、 はにおけるの点の接線であるため、の上限はに正比例するように選択できます。したがって、 が大きいほど、 を大きくすることができます。 ${\displaystyle {\sqrt {M}}}$${\displaystyle D_{y}}$${\displaystyle D_{y}}$${\displaystyle m(x)}$${\displaystyle g(x)-g(0)}$${\displaystyle m(x)}$${\displaystyle D_{y}}$${\displaystyle {\sqrt {M}}}$${\displaystyle m(x)}$${\displaystyle g(x)-g(0)}$${\displaystyle x=sD_{y}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle D_{y}}$