ラプラス原理（大偏差理論）

数学において、ラプラスの原理は大偏差理論における基本定理であり、バラダンの補題に似ています。これは、 θが大きくなるにつれて、固定された集合A上のexp(− θφ ( x )) のルベーグ積分の漸近表現を与えます。このような表現は、たとえば統計力学で、温度が絶対零度に近づくにつれてシステムの極限挙動を決定するために使用できます。

Aをd次元ユークリッド空間R dのルベーグ可測 ^部分集合とし、φ  :  R ^d  →  Rを可測関数とし、

${\displaystyle \int _{A}e^{-\varphi (x)}\,dx<\infty .}$

それから

${\displaystyle \lim _{\theta \to \infty }{\frac {1}{\theta }}\log \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,dx=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}\varphi (x),}$

ここで、ess inf は本質的な最小値を表す。経験的に、これは、 θ が大きい場合、

${\displaystyle \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,dx\approx \exp \left(-\theta \mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}\varphi (x)\right).}$

ラプラス原理は、次式で与えられる 確率測度 P _θの族に適用できる。

${\displaystyle \mathbf {P} _{\theta }(A)=\left(\int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,dx\right){\bigg /}\ left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}e^{-\theta \varphi (y)}\,dy\right)}$

θが大きくなるにつれて、何らかの事象Aの確率の漸近的な表現を与える。例えば、X がR上の標準正規分布するランダム変数である場合、

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {P} {\big [}{\sqrt {\varepsilon }}X\in A{\big ]}=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}{\frac {x^{2}}{2}}}$

あらゆる測定可能な集合Aに対して。

• ラプラス法

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998)。大偏差の手法と応用。数学の応用 (ニューヨーク) 38 (第 2 版)。ニューヨーク: Springer-Verlag。pp. xvi+ 396。ISBN 0-387-98406-2。 MR1619036​