ランバートの余弦定理

光学において、ランベルトの余弦法則は、理想的な拡散反射面または理想的な拡散放射体から観測される放射強度または光度は、観測者の視線と表面法線との間の角度θの余弦に正比例することを述べています。I = I ₀ cos θ。^{[1] [2]この法則は}、余弦放射法則^[3] またはランベルトの放射法則としても知られています。この法則は、ヨハン・ハインリヒ・ランベルトが1760 年に出版したPhotometriaにちなんで名付けられました。 ^[4]

ランバートの法則に従う表面はランバート面と呼ばれ、ランバート反射率を示します。このような表面は、観察する角度に関係なく、一定の放射輝度を持ちます。人間の目は、表面を観察する角度に関係なく、そのような表面を一定の明るさとして認識します。与えられた領域要素から放射される電力は放射角の余弦によって減少しますが、観察者に見える表面によって張られる立体角はまったく同じ量だけ減少するため、同じ放射輝度を持ちます。電力と立体角の比率は一定であるため、放射輝度 (単位立体角あたり単位投影ソース面積あたりの電力) は同じままです。

外部光源によって照射された結果、エリア要素が放射している場合、そのエリア要素に当たる放射照度(エネルギーまたは光子/時間/エリア) は、照明源と法線の間の角度の余弦に比例します。ランバート散乱体は、ランバート放射体と同じ余弦法則に従ってこの光を散乱します。つまり、表面の放射照度は法線から照明源までの角度に依存しますが、法線から観察者までの角度には依存しません。たとえば、月がランバート散乱体である場合、太陽光が表面に当たる角度が大きくなるため、散乱輝度が境界線に向かって著しく減少することが予想されます。減少しないという事実は、月がランバート散乱体ではなく、実際にはランバート散乱体よりも斜角に多くの光を散乱する傾向があることを示しています。

ランバート放射体の放射は、入射する放射の量ではなく、放射体自体から発生する放射に依存します。たとえば、太陽がランバート放射体である場合、太陽の円盤全体にわたって一定の明るさが見られることが予想されます。太陽の可視領域で周辺が暗くなるという事実は、太陽がランバート放射体ではないことを示しています。黒体はランバート放射体の例です。

ランバート面（放射または散乱）の状況は、図 1 および 2 に示されています。概念をわかりやすくするために、エネルギーや光エネルギーではなく、光子の観点から考えます。円内のくさびはそれぞれ、任意に選択されたサイズの等しい角度d Ω を表し、ランバート面の場合、各くさびに放射される 1 秒あたりの光子の数は、くさびの面積に比例します。

各くさびの長さは、円の直径と cos( θ )の積です。単位立体角あたりの光子放出の最大率は法線に沿っており、θ = 90° でゼロに減少します。数学的に言えば、法線に沿った放射輝度はI  photons/(s·m ² ·sr) で、垂直くさびに放出される 1 秒あたりの光子数はI d Ω dAです。角度θでくさびに放出される 1 秒あたりの光子数はI cos( θ ) d Ω dAです。

図 2 は、観察者が見ているものを表しています。エリア要素の真上にいる観察者は、面積dA ₀の開口部を通してシーンを見ており、エリア要素dA は、観察者のシーンの全視野角の一部であるd Ω ₀の (立体) 角度を成しています。ウェッジ サイズd Ω は任意に選択されたため、便宜上、一般性を失うことなく、放出エリア要素 dA の軌跡から「見た」ときに開口部が成す立体角と一致すると仮定できます。したがって、通常の観察者は、上記で導出された同じI d Ω dA光子/秒の放出を記録し、次の放射輝度を測定します 。

${\displaystyle I_{0}={\frac {I\,d\オメガ \,dA}{d\オメガ _{0}\,dA_{0}}}}$ 光子/(s·m ² ·sr)。

法線に対して角度θの観測者は、同じ開口部の面積dA _{0 (依然として}d Ω ウェッジに対応) を通してシーンを見ており、この斜めの視点から、面積要素dAは短縮され、(立体) 角度d Ω ₀  cos( θ ) を占めることになります。この観測者は、1 秒あたりI cos( θ ) d Ω dA の光子を記録し、したがって、次の放射輝度を測定することになります。

${\displaystyle I_{0}={\frac {I\cos(\theta )\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,\cos(\theta )\,dA_{0} }}={\frac {I\,d\オメガ \,dA}{d\オメガ _{0}\,dA_{0}}}}$ 光子/(s·m ² ·sr)、

これは通常の観察者と同じです。

一般に、表面上の点の光度は方向によって変化します。ランバート面の場合、その分布はコサイン法則によって定義され、法線方向にピーク光度が存在します。 したがって、 ランバート仮定が成り立つ場合、コサイン法則を積分することで、 ピーク光度、から全光束、を計算できます。${\displaystyle F_{\text{tot}}}$${\displaystyle I_{\max}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{tot}}&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )\,I_{\max }\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi \\&=2\pi \cdot I_{\max }\int _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )\sin(\theta )\,d\theta \\&=2\pi \cdot I_{\max }\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin(2\theta )}{2}}\,d\theta \end{aligned}}}$$

${\displaystyle F_{\text{tot}}=\pi \,\mathrm {sr} \cdot I_{\max}}$

ここで、 は単位球面のヤコビ行列の行列式であり、は 1ステラジアンあたりの光束です。^[5]同様に、ピーク強度は全放射光束 の になります。ランバート面の場合、 の同じ係数が輝度を光発散度に、放射強度を放射束に、放射輝度を放射発散度に関連付けます。^[要出典]ラジアンとステラジアンは、もちろん無次元であるため、「rad」と「sr」は明確にするためにのみ含まれています。 ${\displaystyle \sin(\theta )}$${\displaystyle I_{\max}}$${\displaystyle 1/(\pi \,\mathrm {sr} )}$${\displaystyle \pi \,\mathrm {sr} }$

例: 輝度が 100 cd/m ² (= 100 nits、一般的な PC モニター) の表面は、完全なランバート放射体であれば、光放射率は 100π lm/m ²になります。面積が 0.1 m ² (約 19 インチ モニター) の場合、放出される光の総量、つまり光束は 31.4 lm になります。

• 透過率
• 反射率
• パッシブソーラー建築設計
• 太陽の道