ウェイクビーの配布

ウェイクビーの配布

パラメータ	${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\xi }$
サポート	${\displaystyle \xi }$に、もし${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \delta \geq 0,\gamma >0}$ ${\displaystyle \xi }$に 、そうでなければ${\displaystyle \xi +(\alpha /\beta )-(\gamma /\delta )}$
クォンタイル	${\displaystyle \xi +{\frac {\alpha }{\beta }}(1-(1-p)^{\beta })-{\frac {\gamma }{\delta }}(1-(1-p)^{-\delta })}$

ウェイクビー分布^[1]は、その分位関数によって定義される 5パラメータの確率分布である。

${\displaystyle W(p)=\xi +{\frac {\alpha }{\beta }}(1-(1-p)^{\beta })-{\frac {\gamma }{\delta }}(1-(1-p)^{-\delta })}$、

そしてその分位密度関数によって、

${\displaystyle W'(p)=w(p)=\alpha (1-p)^{\beta -1}+\gamma (1-p)^{-\delta -1}}$、

ここで、ξは位置パラメータ、αとγはスケールパラメータ、βとδは形状パラメータである。^[1]${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$

この分布はハロルド・A・トーマス・ジュニアによって最初に提案され、ケープコッドのウェイクビー池にちなんで命名されました。^{[2] [3]}

ウェイクビー分布は、以下の分布をモデル化するために使用されている。

• 洪水流量、^{[4] [5]}
• 引用数、^[6]
• 極端な降雨、^{[7] [8]}
• 潮流速度、^[9]
• 河川のピーク流量^[10 ]

この分布のパラメータには次の制限が適用されます。

• ${\displaystyle \beta +\delta \geq 0}$
• どちらかまたは${\displaystyle \beta +\delta >0}$${\displaystyle \beta =\gamma =\delta =0}$
• もし、${\displaystyle \gamma >0}$${\displaystyle \delta >0}$
• ${\displaystyle \gamma \geq 0}$
• ${\displaystyle \alpha +\gamma \geq 0}$

ウェイクビー分布のドメインは

• ${\displaystyle \xi }$に、もし、そして${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \delta \geq 0}$${\displaystyle \gamma >0}$
• ${\displaystyle \xi }$または、​${\displaystyle \xi +(\alpha /\beta )-(\gamma /\delta )}$${\displaystyle \delta <0}$${\displaystyle \gamma =0}$

2つの形状パラメータを使用して、Wakeby分布はさまざまな形状をモデル化できます。^[1]

累積分布関数は、上記の分位関数を数値的に反転することによって計算されます。確率密度関数は、次の関係式を使用して求められます（Johnson、Kotz、Balakrishnan ^[11]の46ページに記載）。

${\displaystyle f(x)={\frac {(1-F(x))^{(\delta +1)}}{\alpha t+\gamma }}}$

ここでFは累積分布関数であり、

${\displaystyle t=(1-F(x))^{(\beta +\delta )}}$

ウェイクビー分布の確率密度関数を計算する実装は、ルーチンWAKPDFとしてDataplot科学計算ライブラリに含まれています。^[1]

上記の方法の代替案は、PDF を としてパラメトリックに定義することです。これは、方程式のを一意に解いてを返すことにより、確率密度関数として設定できます。^{[引用が必要]}${\displaystyle (W(p),1/w(p)),\ 0\leq p\leq 1}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle W(p)=x}$${\displaystyle 1/w(p)}$

• 一般化パレート分布

• Stack Exchange でのディストリビューションの命名に関する議論

注: この作業は、米国連邦政府の著作物としてパブリックドメインとなっているNIST文書に基づいています。