ヴォーンの正体

数学および解析的整数論において、ヴォーンの恒等式は、 RCヴォーン( 1977 )によって発見された恒等式であり、ヴィノグラドフの三角関数の和に関する研究を簡略化するために使用できます 。これは、次の形式の総和関数を推定するために使用できます。 

${\displaystyle \sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)}$

ここで、fは自然整数nの何らかの算術関数であり、応用上その値はしばしば 1 の根であり、Λ はフォン マンゴルト関数である。

ヴォーンが恒等式を構築した動機については、ダベンポートの第24章の冒頭で簡単に説明されています。ここでは、恒等式の動機や応用における使用法に関する技術的な詳細のほとんどを省略し、部分による構築の設定に焦点を当てます。参考文献に従って、リーマンゼータ関数の対数微分を、それぞれ上限で打ち切られた部分ディリクレ級数である関数で展開した4つの異なる和を構築します。${\displaystyle U}$そして${\displaystyle V}$それぞれ。より正確には、次のように定義します。${\displaystyle F(s)=\sum _{m\leq U}\Lambda (m)m^{-s}}$そして${\displaystyle G(s)=\sum _{d\leq V}\mu (d)d^{-s}}$それによって、次の正確な同一性にたどり着きます。

${\displaystyle -{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=F(s)-\zeta (s)F(s)G(s)-\zeta ^{\prime }(s)G(s)+\left(-{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}-F(s)\right)(1-\zeta (s)G(s)).}$

この最後の展開は、次のように書けることを意味します。

${\displaystyle \Lambda (n)=a_{1}(n)+a_{2}(n)+a_{3}(n)+a_{4}(n),}$

ここで、構成要素関数は次のように定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}(n)&:={\Biggl \{}{\begin{matrix}\Lambda (n),&{\text{ if }}n\leq U;\\0,&{\text{ if }}n>U\end{matrix}}\\a_{2}(n)&:=-\sum _{\stackrel {mdr=n}{\stackrel {m\leq U}{d\leq V}}}\Lambda (m)\mu (d)\\a_{3}(n)&:=\sum _{\stackrel {hd=n}{d\leq V}}\mu (d)\log(h)\\a_{4}(n)&:=-\sum _{\stackrel {mk=n}{\stackrel {m>U}{k>1}}}\Lambda (m)\left(\sum _{\stackrel {d|k}{d\leq V}}\mu (d)\right).\end{aligned}}}$

次に、対応する総和関数を定義します。${\displaystyle 1\leq i\leq 4}$である

${\displaystyle S_{i}(N):=\sum _{n\leq N}f(n)a_{i}(n),}$

そうすれば私たちは書くことができる

${\displaystyle \sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)=S_{1}(N)+S_{2}(N)+S_{3}(N)+S_{4}(N)。}$

最後に、これらの合計の技術的かつ時には繊細な推定に関する複数ページにわたる議論の結論として、^{[ 1 ]}我々は、以下の仮定を置いたときに、ヴォーンの恒等式の次の形式を得る。${\displaystyle |f(n)|\leq 1,\ \forall n}$、${\displaystyle U,V\geq 2}$、 そして${\displaystyle UV\leq N}$:

${\displaystyle \sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)\ll U+(\log N)\times \sum _{t\leq UV}\left(\max _{w}\left|\sum _{w\leq r\leq {\frac {N}{t}}}f(rt)\right|\right)+{\sqrt {N}}(\log N)^{3}\times \max _{U\leq M\leq N/V}\max _{V\leq j\leq N/M}\left(\sum _{V<k\leq N/M}\left|\sum _{\stackrel {M<m\leq 2M}{\stackrel {m\leq N/k}{m\leq N/j}}}f(mj){\bar {f(mk)}}\right|\right)^{1/2}\mathbf {(V1)} .}$

場合によっては、成分の合計を扱うことで、ヴォーンの恒等式からより正確な推定値が得られることが指摘されている。${\displaystyle S_{2}}$より慎重に、それを次の形式で展開します。

${\displaystyle S_{2}=\sum _{t\leq UV}\longmapsto \sum _{t\leq U}+\sum _{U<t\leq UV}=:S_{2}^{\prime }+S_{2}^{\prime \prime }.}$

ヴォーンの恒等式を適用して得られる上限の最適性は、最適な関数に関して、適用方法に依存するように思われる。${\displaystyle U=f_{U}(N)}$そして${\displaystyle V=f_{V}(N)}$式（V1）に入力する値を選択できます。複数の著者がそれぞれ検討したさまざまな状況で発生する具体的な例については、次のセクションで引用されているアプリケーションを参照してください。

• ヴォーンの恒等式は、ボンビエリ・ヴィノグラドフの定理の証明を簡略化したり、クンマー和を研究したりするために用いられてきた（下記の参考文献および外部リンクを参照）。
• デーブンポートの第25章では、ヴォーンの恒等式の応用例の1つとして、ヴィノグラドフの重要な素数関連の指数和を推定することが挙げられている。

${\displaystyle S(\alpha ):=\sum _{n\leq N}\Lambda (n)e\left(n\alpha \right).}$

特に、これらの和の漸近的な上限（通常は無理数で評価される）が得られます。${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$) 有理近似が以下を満たす

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {a}{q}}\right|\leq {\frac {1}{q^{2}}},(a,q)=1,}$

形式

${\displaystyle S(\alpha )\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)(\log N)^{4}.}$

この推定値の根拠は、ヴォーンの恒等式から、やや複雑な議論によって証明される。

${\displaystyle S(\alpha )\ll \left(UV+q+{\frac {N}{\sqrt {U}}}+{\frac {N}{\sqrt {V}}}+{\frac {N}{\sqrt {q}}}+{\sqrt {Nq}}\right)(\log(qN))^{4},}$

そして、非自明なケースで上記の最初の式を導出すると、${\displaystyle q\leq N}$そして${\displaystyle U=V=N^{2/5}}$。

• ヴォーンの恒等式の別の応用例は、ダベンポートの第26章に見られ、そこでは3つの素数の和（指数和）の推定値を導出するためにこの方法が用いられています。
• この有益な投稿では、ヴォーンのアイデンティティの実践例を以下の参考文献/引用として示しています。^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

ヴォーンのアイデンティティはヒース＝ブラウン（1982）によって一般化された。

• ダベンポート、ハロルド（2000年10月31日）。乗法数論（第3 版）。ニューヨーク：シュプリンガー大学院数学テキスト。ISBN 0-387-95097-4。
• Graham, SW (2001) [1994]、「ヴォーンの恒等式」、数学百科事典、EMS Press
• Heath-Brown, DR (1982)、「短い区間における素数と一般化されたヴォーン恒等式」、Can. J. Math.、34 (6): 1365–1377、doi : 10.4153/CJM-1982-095-9、MR 0678676 
• Vaughan、RC (1977)、「Sommes trigonométriques sur les nombres premiers」、科学アカデミー コンプト レンデュス、シリーズ A、285 : 981–983、MR 0498434 

• ヴォーンの正体に関する証拠ウィキ
• ジョニの数学ノート（非常に詳細な解説）
• 数学百科事典
• テリー・タオのブログ記事：大篩とボンビエリ＝ヴィノグラドフの定理について